讀國內外微積分教材的深刻體會

張敏

摘要：隨著高考的不斷改革，微積分模塊在高中數學中地位越來越重要，這也就對高中教師的業務要求越來越高。為了更深入地把握微積分內容的知識體系，筆者通讀了國內外的幾套微積分教材。本文談了筆者通讀微積分后的深刻體會以及在后續教學中的一些想法。

關鍵詞：微積分;基本概念;習題;計算機

隨著高考的不斷改革，高中數學中不斷引入大學課程，如導數，隨機變量，統計學，正態分布等等，更多大學的基礎知識下放到高中，促使基礎教育改革和教育教學質量的進一步提高，讓同學們更快的適應大學知識體系，為后續的拔尖創新人才的培養做足準備。 尤其是“微積分”模塊。? 隨著工作時間越長，接觸的學生越來越多，筆者越來越發現要把“微積分”模塊講解的通俗易懂，便于學生接受，還需要更深入的學習大學課程里面的微積分內容。于是筆者重新通讀了國內外幾套微積分教材，期間有很多深刻的理解和體會。于是筆者查閱了大量的參考資料， 在查閱的眾多資料中，國外教材中史迪沃特和托馬斯的《微積分》，給自己耳目一新的感覺。下面從基本概念，實例，計算機軟件等方面，談談筆者讀國外微積分教材的體會。

一、注重基本概念的引入

基本概念的引入總是采用“實際-理論-實際”的方式。具體而言，在每個概念引入之前，總是運用大量啟發性的實際例題，然后從中歸納提煉出定義，進而再把微積分形成的理論和方法應用于各種實際問題。例如在史迪沃特的《微積分》中，引入極限這個非常抽象的概念時，史迪沃特采用的是形象思維，先通過兩個具體例子----曲線的切線和變速直線運動的速度，告訴我們日常生活中確實需要利用極限來解決一些實際問題，進而需要引入極限。史迪沃特似乎明白大家的心理，通過兩個圖形，圓的切線與圓只有一個交點，而另外一條曲線在某一點處的切線卻與曲線有兩個交點，先將大家固有的思維糾正過來。為了揭開極限這個概念的神秘面紗，考慮雙曲線y=x²在點P（1，1）處的切線。先給出數值計算的近似結果，然后從左右兩側的Q點趨向于點P（1，1），給出十分美觀的幾何直觀圖，力圖對抽象的知識先有一個感性認識。對于速度問題，考慮了多倫多塔自由落體運動在某一點處的瞬時速度。在考慮每個問題時，總會和實際相聯系。有了兩個例題后，緊跟著就是簡單的具有實際意義的練習題，幫助讀者更好的理解切線問題和速度問題。有了兩個實際問題的深入理解，給出極限的描述性定義，然后通過數值計算，對于一些具體函數，考慮在某點處相應的極限值。當具體函數結合數值模擬理解好極限后，極限的神秘面紗就完全揭開了，進而給出了極限的精確性定義，也就是定義！就這樣一個極限概念的引入，作者給出了三十幾個圖形，十幾個表格，讓學生非常形象的理解了極限的概念。

二、習題量大而廣

國外微積分教材，例題非常多，并且習題量很大，各種類型均包含，同時設計精妙，每個專題中的例題總是從簡單到復雜，層層深入，由簡單概念到難度各異的計算題、證明題和應用題，一直到綜合性較強的探索研究題。 例如在托馬斯的《微積分》中，為了深刻理解極限這個抽象概念，僅在練習2.1中，就給出了46個練習題，包含有直觀的圖形題（利用分段函數圖形，考慮極限是否存在），抽象的構造題（構造函數滿足某點處極限的存在性），具體的理解題（冪函數，指數函數，三角函數，絕對值函數等在某點處的極限值），形象的實際題（速度問題，經濟問題），適當的操作題（利用計算機軟件模擬具體函數的圖形及某點處的函數極限）。力圖通過不同類型的題目深入理解極限這個抽象概念，既有純數學角度的練習，也有實際問題的思考，更加結合有計算機的操作，追隨著這個思路筆者不難將極限概念理解深入透徹。為了增加教材的可讀性與實用性，例題和練習題中的實際問題涉及到很多領域，如物理、建筑、生物、醫學、金融、軍事、政治、社會發展等眾多方面。不同學科交叉，開闊思路，更容易引起學習的興趣。高中學生思維非常活躍，多接觸一些實際應用的例題，也會激發他們的學習興趣和學習積極性。

三、充分結合計算機軟件

國外微積分教材在引入專題內容前，總會形象直觀的給出一些圖形、數據，將問題轉化的更加易于理解，而在設計的練習題時，還有很多與計算機技術結合的題目，增加趣味性，吸引學生的眼球。例如托馬斯的《微積分》中，為了理解一些復雜的函數，在1.7節中，專門通過計算機繪制了一些圖形，有助于更加直觀形象的理解復雜函數。通過計算機的實際操作，可以將抽象問題形象化，具體思路程序化，有助于問題的深入理解和研究基礎的知識點。當今是個信息時代，計算機軟件和多媒體教學也廣泛引用于高中數學的教學中，將一些枯燥抽象的數學知識形象的展現在學生面前，降低了學習的難度，提高了學習的趣味性。例如講解“曲邊梯形面積”相關積分概念的知識點時，教師就可以借助計算機軟件做好一個動態過程，利用多媒體演示無限細分和無限接近的過程，使學生較好的理解“曲化直，小替大”的過程，掌握積分的思想和概念。

這一遍國外微積分教材的通讀，筆者受益頗深。吸收每個教材中的長處，更好的理解和駕馭每個知識點。借鑒多樣化的題目，介入實際應用，同時，數學軟件的應用，讓一些抽象問題更加形象化，直觀化，更加便于理解。在后續教學中筆者將優化教學內容，豐富教學手段，充分調動學生的學習積極性，使學生發展更全面。

參考文獻

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