抓住數(shù)學(xué)概念本質(zhì) 破解解析幾何難題

賈龍春 王翠花

【摘 要】“圓錐曲線”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點(diǎn)，學(xué)生感覺到最困難的地方一是“想不到”，即找不到解決問題的入手點(diǎn);二是“消不掉”，即無法將要求的幾何對(duì)象表示出來，由于含有多個(gè)變量，參數(shù)消不掉。本文通過列舉實(shí)例，解決學(xué)生在圓錐曲線中遇到的問題，以期為廣大教師提供參考。

【關(guān)鍵詞】概念本質(zhì);解析幾何;高中數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）22-0140-03

高中數(shù)學(xué)中的“圓錐曲線”的本質(zhì)特征是用代數(shù)方法研究平面幾何問題，研究的載體是曲線的方程，其基本思維特征是“根據(jù)題意畫出圖形—分析幾何對(duì)象特征—將幾何特征代數(shù)化—進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算”。通過引導(dǎo)學(xué)生解決圓錐曲線問題，能夠培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值[1]。

1? ?抓住幾何對(duì)象的幾何特征，解決學(xué)生“想不到”的問題

在解決圓錐曲線問題的過程中，需要分析幾何對(duì)象的幾何特征。題目出現(xiàn)的主要幾何對(duì)象可能是一個(gè)，也可能是兩個(gè)或兩個(gè)以上。如果只有一個(gè)幾何對(duì)象，需要研究它的幾何性質(zhì)，通過抓住其幾何性質(zhì)，找到解決問題的突破口;如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上的幾何對(duì)象，需研究幾何對(duì)象之間的位置關(guān)系，通過位置關(guān)系找到解決問題的突破口。這樣就可以解決學(xué)生“想不到”的問題。

例1：（2020年高考海南卷第21題）已知橢圓C：（a>b>0）過點(diǎn)M（2，3），點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且直線AM的斜率為。

（1）求橢圓C的方程;

（2）若點(diǎn)N為橢圓C上任意一點(diǎn)，求?AMN面積的最大值。

【分析】（1）要求C的方程，需要確定參數(shù)a，b的值。

方法1：由已知條件，橢圓C：（a>b>0）。過點(diǎn)M（2，3），將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入橢圓C：（a>b>0）的方程，得到一個(gè)關(guān)于a，b的等式;點(diǎn)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為（?a，0），由于直線AM的斜率為，根據(jù)斜率公式，再得到一個(gè)關(guān)于a，b的等式;兩個(gè)等式聯(lián)立方程組，求出a，b的值，得到橢圓C的方程。

方法2：根據(jù)已知條件，已知橢圓C：（a>b>0）過點(diǎn)M（2，3），點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且的AM斜率為。可以直接求出直線AM的方程，利用直線方程可以直接求出它在x軸上的截距，從而得到a的值，把a(bǔ)的值代入橢圓方程，求出b的值。

（2）當(dāng)點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，如何求?AMN面積的最大值？先根據(jù)題意畫出橢圓C，再畫出AM，通過圖形可以看出，直線AM與橢圓C交于兩個(gè)定點(diǎn)A，M，所以橢圓C的弦AM的長(zhǎng)度是一個(gè)定值，即?AMN的一邊是定值。只需要求出?AMN的一邊AM上的高的最大值即可，即需要求出點(diǎn)N到直線AM距離的最大值。

方法1：過點(diǎn)N作平行于直線AM的直線，可以發(fā)現(xiàn)，在直線AM的上下方可以作出多條平行直線，?AMN的面積最大時(shí)，點(diǎn)在N直線并且當(dāng)這條直線與橢圓C相切時(shí)，點(diǎn)N到直線AM的距離最大，并且最大值就是這兩條平行線間的距離。

方法2：利用橢圓C的參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4cos θ，sin θ），求出橢圓C的弦AM的長(zhǎng)是一個(gè)定值，表示出點(diǎn)N到直線AM的距離d，先求出d的最大值，再求?AMN面積的最大值。

【解答】（1）方法1：由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（?a，0），則

由①得，a=4，代入②得，=1，解得b2=12。

方法2：由題意可知直線AM的方程為：y?3=?（x?

2），即x?2y=?4。

當(dāng) y=0時(shí)，解得x=?4，所以a=4。

橢圓C：（a>b>0），過點(diǎn)M（2，3），可得=1，

解得b2=12，所以C的方程：=1。

（2）方法1：設(shè)與直線AM平行的直線方程為：x?2y=m，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)?AMN的面積取得最大值。

聯(lián)立直線方程x?2y=m與橢圓方程=1，可得：3（m+2y）2+4y2=48。

化簡(jiǎn)可得：16y2+12my+3m2?48=0，所以?=144m2

?4×16（3m2?48）=0，即m2=64，解得m=±8。與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：x?2y=8，直線AM方程為：x?2y=?4。

點(diǎn)N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：d== ，由兩點(diǎn)之間距離公式可得|AM|==。

所以?AMN的面積的最大值：=18。

方法2：由（1）可知，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（?4，0），M的坐標(biāo)為（2，3），由兩點(diǎn)之間距離公式可得|AM|==，直線AM的方程為：y?3=（x?2），即x?2y+4=0。

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4cos θ，sin θ），則點(diǎn)N到直線直線AM的距離為

d=

=

=

d的最大值為d== ，

所以?AMN面積的最大值：=18。

【反思】解決第一問求圓錐曲線的方程時(shí)，要注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確直線、橢圓的條件，利用函數(shù)與方程的思想方法，通過列方程組、解方程組的方法，求出參數(shù)的值，得到方程。解決第二問時(shí)，需要先畫出圖形，分析幾何對(duì)象的幾何特征，抓住幾何對(duì)象的幾何特征是解決問題的入手點(diǎn)。同時(shí)，強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題。

2? ?明確主變?cè)c次變?cè)鉀Q學(xué)生“消不掉”的問題

在解決圓錐曲線問題的過程中，將幾何特征代數(shù)化后，需要進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，往往會(huì)遇到多個(gè)變量參與運(yùn)算的問題，增加了學(xué)生運(yùn)算的難度，學(xué)生不知道如何將多變量的問題轉(zhuǎn)化成少變量的問題，即不知道在運(yùn)算過程中應(yīng)消掉誰保留誰才能得出問題的結(jié)果。要解決這個(gè)問題，還需要明確問題中的變量分為主動(dòng)點(diǎn)與次動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)算過程中，主動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)就是主變?cè)蝿?dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)就是次動(dòng)元。在實(shí)際運(yùn)算過程中，通常消去次動(dòng)元，保留主動(dòng)元。這樣學(xué)生在運(yùn)算過程中，就有了明確的方向，就能夠解決“消不掉”的問題。

例2：（2019年高考北京卷理科第18題）已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）。

（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;

（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線 y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B。求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)。

【分析】（1）如何求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程？根據(jù)題意，拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1），所以點(diǎn)

（2，?1）的坐標(biāo)滿足拋物線的方程，將點(diǎn)（2，?1）的坐標(biāo)代入方程x2=?2py，求出p的值，得到拋物線C的方程，再根據(jù)方程，求準(zhǔn)線方程。

（2）如何證明以AB為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)？需要求出該圓的方程，利用方程求出圓與 y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，縱坐標(biāo)為常數(shù)即可。先畫出本題的圖形。畫開口向下的拋物線C：x2=?2py，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，連結(jié)OM，ON，作直線 y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B。

由于直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，所以直線l一定存在斜率。設(shè)直線l的斜率為k，拋物線x2=?4y的焦點(diǎn)為（0，?1），可以利用點(diǎn)斜式直接寫出直線l的方程;將直線l的方程與拋物線x2=?4y聯(lián)立，設(shè)兩根為x1，x2，即M，N的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，利用韋達(dá)定理，得到關(guān)于x1，x2，k的關(guān)系式，可以用它們表示出點(diǎn)M，N的坐標(biāo);從而可以利用x1，x2進(jìn)一步分別表示出直線OM，ON的斜率，表示出直線OM，ON的方程，再分別與直線 y=?1聯(lián)立，用x1，x2表示出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，可以表示出圓心和半徑，從而寫出圓的方程，求出圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，最后解決

問題。

【解答】（1）將點(diǎn)（2，?1）代入拋物線方程：22=

2p×（?1）可得：p=2，故拋物線方程為：x2=?4y，其準(zhǔn)線方程為：y=1。

（2）由題意可知，直線l的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，?1），設(shè)直線方程為 y=kx?1，與拋物線方程x2=?4y聯(lián)立可得：x2+4kx?4=0。

故x1+x2=?4k，x1x2=?4。

設(shè)M（x1，?），N（x2，?），

則kOM=?，kON=?。

直線OM的方程為 y=?x，與y=?1聯(lián)立可得：

A（，?1），同理可得B（，?1）。

易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：（，?1），

圓的半徑為：，

且==2k，

=2×

=2。

則圓的方程為：（x?2k）2+（y+1）2=4（k2+1）。

令x=0整理可得：y2+2y?3=0，解得：y1=?3，y2=1。

即以AB為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)（0，?3），（0，1）。

【反思】本題第一問求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與準(zhǔn)線方程，利用待定系數(shù)法，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，通過解方程，求出參數(shù) p的值，進(jìn)一步求出準(zhǔn)線方程，解題過程體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。本題第二問，由于點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)引起了點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)的角度分析，點(diǎn)M、N為主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A、B是次動(dòng)點(diǎn);從變量的角度分析，直線l的斜率是主變量，而點(diǎn)M、N橫坐標(biāo)為次變量，在求方程的過程中，用點(diǎn)M、N的坐標(biāo)表示直線點(diǎn)OM、ON的方程，在運(yùn)算的過程中，用直線l的斜率表示運(yùn)算結(jié)果，使變量由多到少，達(dá)到解決問題的目的。解決問題的過程中，體現(xiàn)出了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，有利于提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

總之，平面解析幾何的運(yùn)算難度主要體現(xiàn)在運(yùn)算量較大、討論內(nèi)容較多。因此掌握常用的運(yùn)算技能，可以在很大程度上簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，優(yōu)化學(xué)生的思維過程，從而解決學(xué)生“算不對(duì)”的問題。學(xué)生需要掌握的常用的運(yùn)算技能有：利用定義，回歸本質(zhì);設(shè)而不求，整體代入;根系關(guān)系，化繁為簡(jiǎn);巧設(shè)參數(shù)，方便運(yùn)算。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2017.

【作者簡(jiǎn)介】

賈龍春（1969～），男，漢族，寧夏同心人，本科，高級(jí)教

師。研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)，高三備考，考試命題，教學(xué)管理。

王翠花（1970～），女，漢族，寧夏平羅人，本科，高級(jí)教師。研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)，高三備考，考試命題，班級(jí)管理。