立足教材培養學生數學運算核心素養

【摘 要】2017年版普通高中數學課程標準中明確指出，數學運算作為數學核心素養之一在教學中具有重要地位，要求學生理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路并求得運算結果，能有效借助運算方法解決實際問題。筆者認為，教師應從高一開始注重課本的使用，研究教材、教法、作業的布置，根植教材、回歸本質，使學生的學習實現螺旋上升，抓住關鍵節點對學生進行針對性的訓練，以提高學生數學運算能力。

【關鍵詞】教材;數學運算;學科核心素養;高考

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）22-0098-02

數學運算體現的“量化”數學觀，是學生學習數學需要具備的重要的基本素養之一，也是邏輯推理、數學建模和數據分析的基礎。近年的高考題十分重視對學生數學運算能力的考查，一些教師在教學中為提高學生數學運算能力而借助教輔資料開展“題海”戰術，雖能在一定程度上提高學生的運算水平，但也存在消磨學生學習興趣、禁錮學生思維等明顯負面作用。教師須明晰教材是核心素養與高中數學內容的有機結合體，是發展學生素養的核心載體，具有普遍適用性與科學性。

1? ?高考對數學運算核心素養的考查

新課標理念剛剛落地便在高考中體現得淋漓盡致。2019年全國Ⅱ卷不僅在組卷形式上、內容上相較以往變化較大，試題在計算量與計算難度上也有所提高，特別關注學生應用與創新能力，突出體現了新課改的精神[1]。

如該卷第4題：2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系。為解決這個問題，我國發射了嫦娥四號月球探測器的中繼衛星“鵲橋”，“鵲橋”圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行，L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上。設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：

，

設α=，由于α的值很小，因此在近似計算中

，則r的近似值為（? ）。

A.? ? ? B.

C.? ? ?D.

該題雖以物理學知識為背景，實則考查學生邏輯推理與數學運算能力，也考查學生代數變形化簡的能力。不少學生即使抽絲剝繭般得到了要化簡的代數式“”，但也可能不知從何下手化簡得到“r”的表達式。

試卷中解析幾何部分，解答題中橢圓大題的難度增加，繁瑣的計算仍是考生得分的障礙。根據考生反饋的情況來看，此類題雖入手容易，但運算復雜、公式繁瑣，難以得到求最值的表達式。它的難點不僅在于需要幾何條件的代數化，還在于需要巧妙地簡化解析幾何的運算。縱觀全卷，面對新課改，學生要改變學習方式，除了要深刻理解數學的本質，還要學會靈活運用數學知識分析、解決問題，數學運算能力應隨著高中三年學習內容和廣度的不斷延伸而不斷提升。

2? ?立足教材提高學生的運算能力的要點

筆者在教學實踐中認識到，培養學生的數學運算能力是一個長期的過程，是一個螺旋式上升的過程，其重點不是能否“算出來”“算的準”的問題[2]。筆者認為，在高中前兩年的基礎內容教學中，立足教材，貼近課本，是提高學生數學運算能力的有效途徑之一，主要體現在以下幾個方面。

2.1 重視課本例題及習題的講解

學生作業形式不能單純依靠教輔資料，對于關鍵知識，教師要留有書面作業，讓學生將題目抄在作業本上并完成習題，“磨刀不誤砍柴工”。教師除讓學生做題以外，還可改編課本習題，引導學生發散思維，如北師大版高中數學必修一第一章“復習題一B組”第三題：

設A={x|?40}，分別求滿足下列條件的m的取值集合：①AB;②A∩B=。教師可將題中B集合的條件“m>0”去掉，則題目的思維度會有很大的變化，以此促進學生思考。

又如必修一“習題3-2”中的題目：已知x+x?1=3

（x>0），求下列各式的值：①+;②?;③+;④?”，從學生作業完成情況來看，第②題錯誤率較高，此題運算不難，但學生忽略了細節，沒有仔細思考就算出了答案，更缺乏在得到答案之后的反思。教師應認識到這些題目的價值，對學生進行針對性的訓練，提高學生的運算能力。

2.2? 引導學生推導公式

“授人以魚不如授人以漁”，教師不能將教材內容都直接呈現給學生，要適時引導學生理解數學內容，了解數學的演繹邏輯體系，如用定義對對數換底公式的推導，用向量方法證明“三垂線定理”等都可以讓學生去推導公式。如北師大版必修二中關于“點到直線距離公式”，公式的詳細推導是在平面向量部分采用向量的方法給出的，必修二中只有“點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離的一般步驟的算法框圖（如圖1）”，學生能理解這樣的算理，但操作起來卻并不簡單，教師可布置作業：根據算法框圖寫出點到直線距離公式的證明。讓學生在規定時間內自己嘗試推導公式。筆者不止一次試過，高三學生也難在限定時間內寫出“邏輯嚴謹、表達規范、結構完整”的證明過程。此外，在高三復習中教師還可以嘗試引導學生從多角度采用不同的方法證明點到直線距離的公

式[3]。再如必修二第一章習題1-6中有如下習題：如圖2，P為?ABC所在平面外一點，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC于H，求證：①H是?ABC的垂心;②?ABC為銳角三角形。

對于初學者來說，在不使用空間直角坐標系及空間向量的前提下，此題難度較大。

圓錐曲線部分知識較多，有價值的結論和定理也較多，如橢圓的焦半徑公式、焦點三角形面積公式、拋物線常用的結論等。但教師不應“滿堂灌”，而應引導學生去探究這些內容，充分發揮學生的主觀能動性。重要的不是結論本身，而是推導、證明結論的過程。推導結論、定理能使學生更好地進行數學運算，是學生探索圓錐曲線計算策略的重要途徑。

2.3? 追根溯源

2016年全國卷Ⅱ第17題以數列相關知識為載體，綜合考查學生對取整函數的理解和對數形結合、特殊與一般等數學思想的掌握。教師在教學取整函數時如何處理課本習題在很大程度上決定了學生對取整函數的掌握程度。如2019年全國卷Ⅱ的解析幾何壓軸題，在人教版課本上也能追根溯源找到其模型：

課本習題1：（人教B版，選修2-1，2.2.1節練習B）已知點B（6，0）和C（?6，0），過點B的直線l與過點C的直線m相交于點A，設直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，如果k1·k2=?，求點A的軌跡方程，并說明此軌跡是何種曲線。

課本習題2：（人教B版，選修2-1，習題2-3B）已知點B（6，0）和C（?6，0），過點B的直線l與過點C的直線m相交于點A，設直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2：①如果k1·k2=，求點A的軌跡方程，并說明此軌跡是何種曲線。②如果k1·k2=a，其中a≠0，求點A的軌跡方程，并根據a的取值討論此軌跡是何種曲線。從以上例題和習題來看，課本內容的重要性不言而喻，用好課本是學生能力提升的必要方法和途徑，即使高考題也能從課本中找到“源”與“流”[4]。

學生的數學運算素養不是單從數學課堂上就可以培養起來的，是一個復雜而系統的工程，從課堂系統層級化的有效提問方式、授課方式到作業布置的形式與內容，教師都要細細琢磨，從高一開始就要有“大一輪”教學的思想，從一開始就立足課本，緊貼教材，研讀大綱，科學、系統、全面地訓練學生數學運算能力。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部定制.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018（1）.

[2]趙思林，柴文斌，胡富雅.核心素養立意是高考數學命題的基本原則[J].教學月刊：中學版（教學參考），2019（003）.

[3]沈瑜敏.高中數學核心素養之數學運算能力培養[J].數學學習與研究，2019（8）.

[4]高超敏.基于數學核心素養的高三學生數據處理現狀調查研究[D].南京：南京師范大學，2017.

【作者簡介】

王雪峰（1985～），男，漢族，江蘇徐州人，碩士，中教一級。研究方向：數學教育與數學史（HPM）。