拋物線定義在無理函數最值的應用演繹

王淼生 葉建聰

（1.廈門第一中學，福建 廈門 361003；2.福建教育學院數學教育研究所，福建 福州 350025；3.廈門市五顯中學，福建 廈門 361100）

拋物線作為圓錐曲線“大家庭”中的一員，其定義在很多方面有突出表現.以下通過三個具體案例，凸顯拋物線定義在無理函數最值（最大值、最小值）上的精彩應用，彰顯拋物線（圓錐曲線的精髓）的精髓——數形結合思想：以數構形，由形助數.

一、案例呈現

構造點A(2,3)，B(1,0)，P(x2,x)，則上式表明f(x)max就是|PA|-|PB|的最大值.

事實上，動點P(x2,x)的軌跡方程為y2=x（之所以配方就是為了構造拋物線），即在拋物線y2=x上尋找點P，使得|PA|-|PB|有最大值，如圖1 所示.觀察圖1 易得：

圖1

此時，線段AB的延長線與拋物線y2=x的交點正是滿足題意的點P.

解法2：其實，還可以將函數f(x)的表達式適當變形為：

構造點C(3,2)，D(0,1)，Q(x,x2)，則上式表明f(x)max就是|QC|-|QD|的最大值.

事實上，動點Q(x,x2)的軌跡方程為x2=y，即在拋物線x2=y上尋找點Q，使得|QC|-|QD|的最大值，如圖2 所示.觀察圖2 可得：

圖2

此時，線段CD的延長線與拋物線x2=y的交點正是滿足題意的點Q.

解：函數g(x)表達式后半部分的根號表示動點P(x,x2)與定點之間的距離|PA|.動點P的軌跡為準線l方程為、焦點為的拋物線x2=y，定點A為該拋物線外一定點.函數g(x)表達式前半部分“x2”的含義即為動點P到x軸的距離|PB（|B為垂足），如圖3 所示.據此可知g(x)=|PB|+|PA|.觀察圖3 可得：

圖3

依據拋物線定義可得|PC|=|PF|，于是得到

此時，線段AF與拋物線x2=y的交點正是滿足題意的點P.

解：依據兩點間距離公式，不難發現函數h(x,y)表達式前半部分的根號表示動點P(x,lnx) 與動點之間的距離|PQ|，而動點P(x,lnx)在曲線y=lnx上運動，動點在準線l方程為y=-1、焦點為F(0,1)的拋物線x2=4y上運動.函數h(x,y)表達式后半部分就是拋物線上的動點Q的縱坐標，即為Q到x軸的距離|QN|（N為垂足），如圖4 所示.據此可知h(x,y)=|PQ|+|Qn|.觀察圖4 可得

圖4

依據拋物線定義可得|QM|=QF，于是得到

這表明h(x,y)最小值取決于F到曲線y=lnx上的動點P之間距離的最小值.

再一次利用兩點間距離公式得到|PF|=

構造函數φ(x)：φ(x)=x2+(hnx-1)2，則有φ(x)=

再構造函數ω(x)：ω(x)=x2+lnx-1，則有

因x∈(0,+∞)，則ω(x) ＞0 恒成立，即ω(x) 在x∈(0,+∞) 為單調增函數.當x→+∞ 時，ω(x) →+∞；當x→0+時，ω(x) ＞0.注意到ω(1)=0，則當x∈(0,1)時，ω(x) ＜0；當x∈(1,+∞)時，ω(x) ＞0，也就是說x∈(0,1) 時，φ(x) ＜0；當x∈(1,+∞) 時，φ(x) ＞0，于是φ(x)在x∈(0,1)上為單調減函數，φ(x)在x∈(1,+∞)上為單調增函數，則φ(x)min=φ(1)=2，即故h(x,y)min=此時，R(1,0)正是滿足題意的點P.

當然，作為填空題，可以借助圖形直觀性直接看出|PF|的最小值.因為曲線y=lnx在點R(1,0)處的切線方程為y=x-1，而此時直線FR的方程為y=1-x，恰好這兩條直線相互垂直，如圖5 所示，因此|PF|的最小值就是即1，此時R就是滿足條件的點P.

圖5

值得特別說明的是：案例2、案例3 均可以類似于上述案例1 中的解法2 那樣，將函數g(x)與h(x,y)的表達式分別變形為：

請讀者模仿案例1 中的解法2 的過程，自行推理.

二、回顧反思

案例1 是一道競賽題.f(x)表達式中不僅含有與而且根號里面均為高次.即使移項、平方去掉根號也難以處理，因此需要將f(x)表達式適當變形.變形的本質就是構造拋物線的過程，為借助拋物線定義解決問題奠定基礎.

案例2 由名校自主招生改編而來g(x)表達式含有根號而且根號里面已經配方，似乎比案例1 簡單，其實不然.因為案例1 中兩個根號經過適當變形后，可以看作同一個動點到兩個定點距離之差（幾何意義），而案例2 中根號與前半部分“x2”僅從表面上很難發現其內在的幾何意義.學生普遍害怕案例2 這類試題.

案例3 源自高三模擬考填空題壓軸題.相比案例2，h(x,y)表達式顯得更為復雜.盡管學生能夠理解幾何意義，即為點P(x,lnx)與點之間的距離.但這是兩個動點，而且學生難以構建后半部分之間的“橋梁”，導致前功盡棄，很少學生得到正確答案.

三、心得體會

涉及無理函數的最值問題，需要特別關注表達式外部結構特征，常常通過恰當配方，借助兩點間距離公式，實現等價轉化，凸顯幾何背景，順勢構造相關圖形（尤其圓錐曲線），滲透數形結合思想，利用圓錐曲線定義與性質，往往能找到最佳的解決方法.以數構形，由形助數，將邏輯推理、數學運算與直觀想象等核心素養演繹得淋漓盡致.在享受數學簡潔之美的同時，對培養數學興趣、優化思維品質、發展學生智力、激發創造能力大有裨益.

圓錐曲線是一個和諧的“大家庭”，拋物線只是圓錐曲線“大家族”中的一員，因此在處理綜合性較強的問題時，常常需要將拋物線與橢圓、雙曲線乃至圓、直線、點等相關定義、性質“強強聯手”，交輝相應，從而演繹整個圓錐曲線的精彩應用.事實上，拋物線、橢圓、雙曲線定義在其他很多方面同樣有精彩的演繹（比如文［1］、文［2］、文［3］等）.以上案例僅僅只是管中見豹，意在拋磚引玉，期盼同行有更多的研究成果.