立足教材 回歸課本
——基于“讀”“探”“升”維度探尋高三數學復習路徑

謝梓璋

（南安第一中學，福建 泉州 362300）

課本是教師教和學生學的載體.課本上的例題、習題更是經過精選、具有很強的代表性的，它不僅是教師施教、學生學習的主要材料，也是高考命題的重要取材途徑之一.面對撲面而來的各式各樣的復習材料，教師要對高三數學復習負起責任，要重視引導學生回歸課本，認真鉆研教材，拓展其教育功能.本文試析通過“讀”“探”“升”三個維度，深究課本上的典型例題與習題本源，提升總復習有效.

一、“讀”——課本經典例題再讀

課本的一些例題、習題富有代表性、思想性，是復習的良好載體，值得學生回歸再讀.這類例題、習題在各個模塊都有，高三年復習時，教師可結合復習進度，向學生明確要求哪些例題、習題需要再讀、再做.當然，為了檢測提升學生再讀、再做的成效，教師要做一定的引導，避免學生只是簡單的“重復”.

例1（人教A 版必修4 第39 頁例5）.“求函數y=，x∈[-2π,2π]的單調遞增區間.”

①拋出原題，讓學生“新”做，檢測學生是否“看”了；

②解法新：你還有其他解法嗎？檢測學生是否“思”了；

③條件新：若把x∈[-2π,2π]改為x∈[0,4π]呢？若是求單調遞減區間呢？檢測學生是否“懂”了.

單調性是三角函數的重要性質，也是重要考點之一.本例5 主要通過化歸方法并利用正弦函數的單調性進行求解，在三角函數的學習中有著重要的教育價值，一是它揭示了三角函數性質研究的范式（變量代換、化歸、數形結合），二是可生成性強（如可改變區間大小，或是改變問法，如拓展為求“最值問題、不等式問題”等），值得學生“再讀”、感受經典.高三年復習時，“再讀”課本經典例題（建議適當改變問題呈現形式），可以在較短的時間內實現對解題范式、解題策略進行歸納總結，不失為一種高效、接地氣的復習方法.

二、“探”——不同問題不同變式探究

（一）對比與比較：建立知識的合理聯系與區別的變式

對例題、習題進行歸類整理，觀察共性和個性，發現它們之間共同的本質屬性或解題規律，這是培養學生數學核心素養，提高解題能力的重要途徑之一.

例如，圓錐曲線之間很多知識可以進行類比、探究，值得師生研究.

例2（人教A 版選修2-1 第55 頁探究）.如圖1，設點A,B的坐標分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之積是，求點M的軌跡方程并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與P412.2 例3 比較，你有什么發現？

圖1

教學中教師可以此為契機，引導學生進一步思考斜率之商（和、差）為定值的軌跡問題，詳見教材P42練習4 的“斜率的商”、P74B 組題3 的“斜率的差”、P81B 組題5 的“斜率的和”.

教材對于三種圓錐曲線的定義都是立足“距離”間的關系給出，本例則從“角度”間的關系反映圓錐曲線的性質.復習中，教師若能通過對斜率之積（商、和、差，即四則運算）為定值情形的進行對比與比較，不僅可以幫助學生形成解析幾何研究問題的一般方法：數學問題→代數問題→方程求解，加深對“坐標法”的理解，而且可以滲透學習方法的指導——“類比”是圓錐曲線的重要學習方法.當然，教師還可啟發學生逆向思考問題，獲得圓錐曲線的一條性質：橢圓、雙曲線上的點【長軸（或實軸）端點除外】與長軸（或實軸）的兩個端點連線的斜率之積是定值，同時，這條性質可以進一步推廣.

可見，教師引導學生對教材的例題、習題進行適當的對比與比較，不僅可以對相關知識進行梳理，而且能夠較好實現“多題一法”，形成此類問題的“解題范式、解題策略”，提升復習的實效性.

（二）延伸與拓展：由點到面、拓展推廣引發的變式

高三復習中，不僅要有橫向的深入，更需要有縱向的聯系組合、類比、溝通知識聯系，實現知識由“厚”到“薄”、由“散亂”到“有序”的轉化，實現“一個”問題到“一類”問題的轉變.

例3（人教A 版選修2－1P73A 組第6 題）.如圖2，直線y=x-2 與拋物線y2=2x相交A,B兩點，求證：OA⊥OB.

圖2

①逆向思考

拋物線y2=2x上不同兩點A,B，若滿足OA⊥OB，則直線AB是否恒過定點？（經驗證，直線AB經過定點（2，0）.（過程略）

②逆向推廣

設直線l與拋物線y2=2px(p＞0)交于不同兩點A,B，若滿足OA⊥OB，則直線l恒過定點P(2p,0).…………（*）

略證：由條件可知直線AB的斜率不為0，可設直線AB：x=my+b(b≠0)，代入y2=2px得：y2-2pmy-2bp=0，∴y1+y2=2pm,y1y2=-2pb.

若OA⊥OB，則容易求得=-2pb+b2=0.∵b≠0,∴b=2p，∴直線AB：x=my+2p，即直線AB恒過定點P(2p,0).

③延伸拓展

如：在平面直角坐標系x0p中，直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點.

（I）求證：“如果直線l過點T(3,0)，那么=3”是真命題；

（II）寫出（I）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

根據以上的思考，不難判斷（I）中命題的逆命題是假命題.

④類比遷移

結論(*)是否可以類比到橢圓？

過拋物線y2=2px(p＞0)的頂點O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于另外兩點M.N，則直線MN過定點P(2p,0).類比此命題，寫出關于橢圓1(a＞b＞0)的一個真命題：____

圖3

⑤以點帶面

從問題①②③④的解決，我們可以發現，解決問題OA⊥OB，往往可以轉化為研究可見，轉化與化歸思想是解析幾何常見的解題思想.為此，在復習時，要注重培養學生的轉化意識，比如，數量積型的轉化：?點O在以AB為直徑的圓上；點O在以AB為直徑的圓外（圓內）?∠AOB為銳角（鈍角）.

《普通高中數學課程標準（2017 版）》明確指出，數學教學要發展學生的數學學科核心素養.顯然，圍繞碎片化的知識點，以“知識點講解+例題+練習”的方式設計教學活動，已經無法承載數學基本思想和基本活動經驗教學的要求，對核心素養發展不利.采用“由點到面、拓展推廣”的變式探究，可以在較大程度上緩解“知識點講解+例題+練習”帶來的弊端，避免“就題論題”“只見樹木，不見森林”的局限性，可以較好實現知識間的融會貫通、知識網絡的構建，引導學生實現“有聯系”的數學思考.

（三）思想與方法：由核心思想、方法引發的變式

回歸課本不能僅僅只是停留在表面上，而應該對課本上的數學知識與隱藏其中的數學思想方法加以總結提高，加工成“串”，使知識“升華”，從而達到知識的融會貫通，體會數學內涵，領悟數學核心思想.

例如，三角函數的單位圓定義是三角函數的核心內容，復習時，

首先要引導學生理清兩條主線：

一是計算主線：單位圓定義→三種三角函數的值在各象限的符號判斷→同角三角函數的基本關系式→誘導公式；

二是圖象主線：單位圓定義→三角函數線→三角函數的圖象.

其次，要強化單位圓定義的應用：

一是單位圓上點的坐標表示.

二是定義的直接應用.

例4（人教A 版必修4 第59 頁B 組3）.如圖4，點P是半徑為rcm 的砂輪邊緣上的一個質點，它從初始位置P0開始，按逆時針方向以角速度wrad/s做圓周運動.求點P的縱坐標y關于時間t的函數關系.（由sin ∠xOP=sin(wt+φ)=有y=rsin(wt+φ).

圖4

相比陳述性知識而言，數學思想方法是“活”知識，是數學知識在更高層次上的抽象與概括，它蘊含在數學知識發生、發展和應用的過程中.對于解題，數學思想方法就是解題的策略、指導思想，是能實現知識的遷移和轉換，是創造性思維的基礎.高三年復習，教師要注重引導學生對數學思想方法進行梳理與總結、提煉，認識它們的本質特征，自覺、靈活地加以應用.比如，在本例4 中，教師要注意引導學生挖掘解題的數學本質——三角函數的定義（思考：如何建系、設角、定義表達），這樣在“水車”“摩天輪”等問題中，學生就容易實現知識的遷移.

值得注意的是，核心思想方法的滲透貴在立足平常教學.比如，“坐標法”是解析幾何的核心思想，“設而不求”“轉化與化歸思想”是求解直線與圓錐曲線問題的重要思想，“空間問題平面化”“降維”是解決空間立體幾何的重要思想等等，這些都需要平時教學的滲透，方能被學生所內化.

三、“升”——改進提升教材不盡完美之處

“智者千慮，必有一失”，教材不可能十全十美！師生分析、處理教材時，要敢于大膽質疑，對教材中不夠規范、不夠簡潔的地方進行改進，使教材更好地發揮教學的基本素材作用.

例5（人教A 版必修5 的第14 頁的例5）.如圖5，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側遠處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，求此山的高CD.

圖5

這是有關測量底部不可到達的建筑物的高度問題，立意很好，回歸再讀課本時，筆者發現學生不甚理解，究其原因，原來是弄不清角度之間的關系.而其根本原因在于題目的分析不到位（應明確指出本題是屬于空間幾何中的三角形問題）、況且圖畫得不好.為此，筆者以生活情境為入口，理清條件之間（特別是角度）的關系，同時，與學生共同把圖形畫好（如圖6），突出平面ABC，方便學生的理解.

圖6

普通高中數學課程標準（2017 版）明確指出，要開展獨立思考、自主探究、合作交流等學習活動.步入高三年復習，學生由于知識儲備量的增加，對問題的看法也就更加豐富.此時，教師可以因勢利導，引導他們對一些重要的數學概念、定理、公式、例題、習題等重新審視，鼓勵他們提出不同見解、不同解法，形成不同解決方案，同時，教師要及時做出積極的評價.如此回歸課本，學生獲得不僅是新鮮感，而且是成就感，再有的是滿滿的自我內驅力.