一類具有非線性擾動的新冠肺炎SIRC 隨機模型研究

金薇 廖新元 駱金鵬 楊永麗

（南華大學數理學院,衡陽,421001）

1 引言

2019 年12 月發現的新冠肺炎病毒是目前已知的第7 種可以感染人的冠狀病毒.它以一種驚人的速度在中國各省份和全世界迅速蔓延,研究人員建立數學模型研究疾病的傳播機制并給出疫情的防控措施[1,2].考慮到降水量、溫度、濕度等諸多環境因素對傳染病的傳播都有重大的影響,因此,我們認為隨機微分方程模型相比于確定性模型,能更好地描述傳染病的傳播機制[3,4].目前,在隨機微分方程中引入白噪聲的方法有兩種：一是加入與系統狀態成正比的隨機擾動項[5,6,7],二是加入與系統變量呈現非線性關系的隨機擾動項[8,9].

根據傳染病的傳播規律,人群可被分為四個部分：易感者、感染者、恢復者、交叉免疫者,在時刻t各部分的人數分別以S(t),I(t),R(t),C(t)來表示.S(t)與C(t)的區別在于是否存在免疫個體差異,當不存在此類免疫差異時,SIRC 模型即是SIRI 模型.S(t)+I(t)+R(t)+C(t)表示人群的個體總數.本文通過加入非線性隨機擾動項改進文獻[10]的模型,得到如下的新冠肺炎SIRC 隨機模型:

其中Λ 和μ分別表示出生率和死亡率,η表示交叉免疫體的平均再感染率,α表示感染者的恢復率,β表示交叉免疫體再次易感的比率,γ表示恢復者變為交叉免疫者的比率,ξ表示接觸率,σij(i,j=1,2,3,4)表示隨機干擾的強度.假設模型(1.1)定義在具有濾子{Ft}t≥0且滿足通常條件（濾子遞增且右連續,F0包含所有P零集）的完備概率空間(?,F,{Ft}t≥0,P)上.

2 疾病的隨機持久性和平穩分布

2.1 疾病的隨機持久性

2.2 疾病的平穩分布

3 疾病滅絕性

4 數值模擬

本節利用Milstein 數值模擬仿真([16])驗證本文的主要結果.參照文獻[17,18,19,20,21]對系統(1.1)定義參數如下：S(0)=0.6,I(0)=0.2,R(0)=0.11,C(0)=0.09,θ=0.4.

4.1 疾病平穩分布模擬

1.取Λ=0.07,μ=0.1,ξ=0.66,α=0.1,β=0.05,η=0.08,γ=0.19,v11=0.03,v12=0.02,v21=0.06,v22=0.04,v31=0.22,v32=0.22,v41=0.02,v42=0.02,Rs0=0.893<1,結果如圖1 所示.

2.取Λ=0.07,μ=0.08,ξ=0.66,α=0.15,β=0.05,η=0.08,γ=0.19,v11=0.1,v12=0.02,v21=0.06,v22=0.04,v31=0.22,v32=0.22,v41=0.32,v42=0.32=1.458>1,結果如圖2 所示.

圖1 表示在1 時,經過一段時間疾病會達到平穩分布.圖2 表示在1 時,經過一段時間疾病不會達到平穩分布,這與定理2.2 的結論相符.

圖1 疾病持久且平穩分布圖

圖2 疾病持久且不平穩分布圖

4.2 疾病滅絕和不同噪聲強度下感染者人數變化的情況模擬

3.取Λ=0.07,μ=0.3,ξ=0.25,α=0.18,β=0.02,η=0.38,γ=0.04,v11=0.4,v12=0.2,v21=0.3,v22=0.4,v31=0.3,v32=0.4,v41=0.1,v42=0.3=0.497<1,結果如圖3 所示.

4.取Λ=0.07,μ=0.3,ξ=0.25,α=0.2,β=0.2,η=0.28,γ=0.39,三條曲線i1,i2,i3分別表示在不同強度的干預措施下感染者的變化趨勢,隨機變量參數取值如下：

曲線i1:隨機擾動為零,即是確定性模型,v11=0,v12=0,v21=0,v22=0,v31=0,v32=0,v41=0,v42=0.

曲線i2:隨機擾動較小,v11=0.1,v12=0.2,v21=0.1,v22=0.2,v31=0.1,v32=0.1,v41=0.2,v42=0.2.

曲線i3:隨機擾動較大,v11=0.7,v12=0.5,v21=0.5,v22=0.6,v31=0.6,v32=0.6,v41=0.8,v42=0.5.

圖3 表示在1 時,疾病趨于滅絕,這與定理3.1 的結論相符.圖4 表示干擾強度越大,疾病滅絕的時間越短,這說明強力的干擾措施有利于疾病的防控.

圖3 疾病滅絕圖

圖4 不同噪聲強度下感染者人數的變化圖

5 結論

本文考慮到隨機變量可能與系統變量存在非線性關系,引入了非線性隨機擾動項到傳統的SIRC 傳染病模型[10].通過構建合適的Lyapunov 函數,我們得到系統(1.1)具有隨機最終有界性和隨機持久性的充分條件?通過引入參數和,我們給出了系統(1.1)存在唯一遍歷平穩分布和疾病滅絕的相關結論：類似于基本再生數的性質,若1,則疾病存在平穩分布,若1,則疾病不存在平穩分布,將會流行傳播,若1,則疾病將會趨于滅絕?我們還通過分析不同噪聲強度下感染者人數的變化趨勢發現：干擾措施越大越有利于疾病的防控.