CFD不確定度量化方法研究綜述

陳 鑫，王 剛，*，葉正寅，吳曉軍

(1.西北工業大學 航空學院，西安 710072；2.中國空氣動力研究與發展中心 計算空氣動力研究所，綿陽 621000)

0 引 言

計算流體力學（CFD）在航空航天領域展現出巨大的發展潛力和工程應用價值，被廣泛地應用于飛行器氣動布局設計、氣動性能評估和復雜流動模擬等方面[1-2]。CFD不確定度量化已經成為當前CFD發展的研究重點與難點。一方面，CFD數值方法中采用的模型及假設會對數值模擬結果產生影響，因此需要發展CFD不確定度量化方法，定量描述預測結果的不確定范圍，評估CFD結果的可信度。另一方面，確定性的CFD計算無法考慮飛行器工作環境的隨機變化對其性能的影響，不確定度量化方法能夠給出關注變量的不確定隨機解，從而支撐飛行器外形、結構及飛行控制系統的精細化設計。

不確定性的概念源自驗證與確認工作。國外的專家學者很早就開展了CFD不確定度量化研究工作。1998年，美國航空航天協會（AIAA）在CFD驗證與確認指南[3]中初步給出不確定性的定義。Oberkampf等[4]對不確定性的基礎理論進行了補充和完善。美國機械工程協會（ASME）[5-7]進行了大量驗證與確認方面的工作，進一步意識到不確定度量化工作的重要性，制定并完善了驗證與確認標準。驗證與確認工作的展開是為了檢驗計算模型是否真實反映物理模型。大多數CFD模擬所采用的數學模型都是確定性的，物性參數、幾何模型和邊界條件等也都是確定性的，并以尋求確定性解為目標。然而現實的物理環境中存在著大量的不確定性因素，如果研究對象的性能參數對某些不確定性因素較為敏感，采用確定性方法將會帶來較大的風險。不確定性CFD技術的發展為工業設計提供了新的思路。歐盟實施NODESIM-CFD[8]項目，旨在辨識不確定性來源，發展不確定度量化方法，對CFD典型算例進行不確定性模擬。NASA在《CFD2030愿景》報告[9]中將不確定度量化作為未來研究的重點之一。空客在歐洲流動、湍流和燃燒研究共同體（ERCOFTAC）2015研討會[10]中強調了CFD不確定度量化在工程實踐中的需求及挑戰，指出不確定度量化在飛行器設計各個環節發揮的重要作用。

隨著國內對CFD驗證與確認工作的逐漸重視，不確定度量化工作逐步展開。張涵信[11]等參照試驗不確定度估算的做法，提出了CFD不確定度估算方法，用計算數據有效位數可以達到真值的前n位來表示計算結果的準確度。王瑞利等[12]結合爆轟流體力學多物理耦合的非線性偏微分方程和數值求解，介紹多物理耦合數學建模與模擬中的不確定度量化方法，開展大量的爆轟流體力學不確定度量化工作[13-14]。中國空氣動力研究與發展中心組織召開了第一屆航空CFD可信度研討會[15]，采用自主設計的單通道運輸機模型（CHN-T1）開展CFD驗證與確認工作，評估國內CFD當前技術狀態，探索CFD進一步發展的研究方向，為不確定度量化提供了標準模型及數據庫。國家數值風洞工程（NNW）設置不確定度量化研究專題，發展了一整套完整的參數不確定度量化方法[16]。

本文主要回顧國內外已經開展的諸多不確定度量化工作，總結不確定度量化工作的基本內容和方法，并結合CFD系統包含的典型環節介紹不確定度量化方法在CFD領域中的應用，最后給出進一步開展不確定度量化工作的思考與建議。

1 不確定度量化的基本內容及方法

不確定度量化的目標是定量地分析不確定因素對計算結果的影響。不確定度量化工作圍繞以下四個方面展開[5,17-18]：（1）識別。明確不確定性產生的來源。（2）表征。探究不確定性的表現形式，并用恰當的數學表達對其進行表征。（3）傳播與融合。采用不確定度量化方法研究不同種類不確定性變量在CFD系統中的傳播，并給出數值模擬結果的整體不確定度。（4）分析。分析變量的不確定性對于CFD系統的影響。

1.1 識別與表征

對不確定性來源的辨識是CFD不確定度量化的前提。Schaefer等[19]對數值模擬中的不確定性來源進行了歸納總結。CFD系統的不確定性主要產生于以下幾個方面：（1）模型形式的不確定性。例如，幾何建模過程中的簡化處理使得計算采用的幾何模型不能完全反應真實的物理模型，從而影響最終的計算結果；采用不同的假設構造湍流模型會對數值模擬結果有較大的影響。（2）模型參數的不確定性。例如湍流模型系數，湍流模型中的系數通常根據基礎流動標定，改變參數設置將會對計算結果帶來影響。（3）數值求解方法的不確定性。采用不同的時間、空間離散方法以及數值格式將會對CFD計算結果有較大的影響。（4）輸入量的不確定性。風洞試驗洞壁干擾等因素導致數值計算設置的來流邊界條件不能完全反應真實情況，從而引入此類不確定性。（5）結果后處理的不確定性。流場分析需要采用插值、積分等方法對CFD計算結果進行后處理，從而導致此類不確定性。

用恰當的數學表達描述不確定變量是CFD不確定度量化工作的基礎。不確定性按照表現形式的不同可以分為隨機不確定性和認知不確定性[20]。隨機不確定性是一類客觀存在的不確定性，無法消除。隨機不確定變量易于用概率表征，此類不確定性通常可以采用概率學的方法進行量化分析。認知不確定性是一類主觀的不確定性，因為對問題的認識不足而造成。認知不確定變量通常難以給出具體的概率分布，此類不確定性通常采用非概率方法來進行量化和分析。

1.2 傳播與分析

不確定性的傳播與分析是CFD不確定度量化工作的重點。依據不確定性表現形式的不同，人們發展了多種不確定度量化方法。

1.2.1 隨機不確定度量化方法

隨機不確定度量化通常采用概率相關的方法。其中，基于抽樣的方法是最為簡單有效的。多種多樣的抽樣方法為此類不確定度量化方法提供了不同的研究思路。蒙特卡洛方法（MC）[21]是一種簡單通用的抽樣方法，通過構造隨機過程并從已知的空間中進行抽樣，得到大量的抽樣結果，對抽樣結果進行計算分析從而獲取隨機變量的統計信息。

對于隨機變量 φ (θi)，其期望的計算公式為：

方差的計算公式為：

其誤差精度可表示為：

其中，λα與置信度α一一對應，可以通過查表獲得。Maitre等[22]詳細研究了蒙特卡洛方法的收斂性，指出該方法的收斂速度階為，這里N為采樣點的個數。理論上當樣本數量達到無窮大時，蒙特卡洛方法收斂到精確的隨機解，為高維問題的處理帶來便利，然而在處理低維問題時因為仍然需要大量的樣本，會造成分析效率的降低。

根據變量特點抽樣可以有效減少樣本點數量，從而提高抽樣方法的效率，典型的方法有：分層抽樣、拉丁超立方抽樣[23-26]等。上述加速算法能夠在一定程度上提高計算效率，但是并沒有改變抽樣方法本質上對樣本數量的高需求，仍然需要進行大量的計算。為了進一步提高效率，科研工作者們開始將多項式混沌方法應用于不確定度量化。

式中，ak(X,t)為確定性系數；Ψk(ξ)是具有隨機性質的正交多項式；隨機變量 ξ服從特定的概率分布。近似表達式中，NPC為多項式的總數，它可以由以下公式來確定：

其中，p為所采用的多項式混沌的階數，n為隨機變量的個數。參數的概率密度由要求解的實際問題決定，展開式中多項式Ψk(ξ)是關于權函數ω(ξ1(θ),ξ2(θ),···,ξn(θ))的正交多項式：

式中，δij為Kronecker函數。據此可以推出隨機變量的統計特性。

按照與求解器耦合方式的不同，多項式混沌方法可以分為嵌入式與非嵌入式兩種。嵌入式方法將流動變量展開為多項式混沌形式，在求解流體力學方程的同時可以直接得到變量的統計特性，計算量相對較小。Dinescu等[28]成功地將多項式混沌方法耦合到NUMECA的結構求解器FINE?/Turbo以及非結構求解器FINE?/Hexa中，并對NASA rotor37模型進行不確定度量化分析。然而嵌入式方法需要對求解器進行修改，大大增加了程序編寫的工作量，實用性受到很大的限制。

非嵌入式方法將求解器看成“黑箱”，以確定性解為基礎計算關注變量的統計特性。非嵌入式多項式混沌方法的核心是展開式系數的求解，其實現方式主要有兩種：譜投影方法以及線性回歸方法（又稱為配置點法或隨機響應面法[29]）。譜投影法利用內積對每個基函數的響應進行投影，根據正交性計算展開式系數。線性回歸方法通過線性最小二乘擬合求解展開式系數。非嵌入式概率配置點法[30-31]結合了多項式混沌與配置點思想，利用概率分布函數的特性得到混沌多項式系數的近似值，可以進一步減少計算量，提高效率。當隨機輸入變量服從標準正態分布時，對應的多項式系數可以通過Askey方法求得[32]。對于任意分布的不確定變量，相應的正交多項式系數可以通過Gram-Schmidt方法求得[33]。

為了實現對多個不確定變量的綜合不確定度量化，需要將非嵌入式概率配置點方法擴展到多維。目前主要的思路是通過張量積實現多維求積，然而擴展到多維后其維度的增加將會導致配置點的數量呈幾何級數增長，從而引發“維度災難”。稀疏網格[34]以及降階模型[35]的引入可以在一定程度上克服“維度災難”的問題，提高非嵌入式概率配置點方法在不確定變量較多情況下的分析效率。

1.2.2 認知不確定度量化方法

由于對輸入變量概率分布的認識不足，很難用概率類方法對認知不確定性進行量化分析。傳統的認知不確定度量化方法有區間法[36]、模糊邏輯法[37]等。區間法將變量以區間的形式表達，區間包含變量所有可能的取值，經過CFD計算后得到關注變量的不確定帶，該不確定度帶包含關注變量的所有取值。模糊邏輯法可以用來表達界限不清晰的定性知識與經驗，采用隸屬函數描述模糊性，運用無窮連續值的模糊集合去研究模糊性對象。

1.2.3 混合不確定度量化方法

實際的物理問題十分復雜，既包含隨機不確定性，也包含認知不確定性。混合不確定度量化方法針對兩種不確性來源分別進行處理，實現對復雜物理過程的不確定度量化。混合不確定度量化方法主要有兩種。

一種是嵌套迭代的方法：在外循環中處理認知變量而在內循環中處理隨機變量[38]。根據外層循環中對認知不確定變量處理方式的不同可以分為區間值概率方法（IVP，也被稱為概率范圍分析PBA）、二階概率方法（SOP）以及DS證據理論（DSTE）。IVP方法[39]將不確定性變量轉化為區間的形式，通過嵌套迭代的方式得到關注變量的累積分布函數（CDF）或互補累計分布函數（CCDF）。SOP方法與IVP方法類似，也采用嵌套迭代的方式，有所不同的是，SOP方法[40]通過主觀概率分布描述不確定性變量。DSTE方法[41]證據理論以兩種互補的不確定性度量方式（信任測度和似然測度）描述不確定變量。在計算統計量時采用隨機展開法并且在計算上下界限時采用區間優化算法將會大大提高上述三種方法的精度和效率[42]。

另一種混合不確定度量化方法是P-box方法[43-45]。P-box方法通過上下界的方式給出變量的CDF，按照上下界計算方式的不同通常可以分為參數化P-box和非參數化P-box。參數化P-box可以由一組參數位于同一區間的分布函數表示，而非參數化P-box由CDF的包絡線產生。

以上內容介紹了不確定度量化工作涉及的基本內容以及不同表現形式不確定變量的量化分析方法。下面將根據CFD計算中的不確定性來源介紹不確定度量化方法在CFD計算中的應用情況。

2 計算網格的不確定度量化

網格的拓撲關系、黏性網格的第一層高度、增長率以及網格的空間分布等因素決定了網格的質量，也影響了CFD計算的收斂以及數值模擬的最終結果。開展計算網格的不確定度量化工作對于CFD可信度評估具有重要意義。

Richardson外推方法[46-47]可以估算離散誤差，研究人員將其應用于CFD網格的不確定度量化。如圖1所示，Celik等[48]在Richardson外推方法的基礎上提出了網格收斂性指標（GCI），并以此研究了網格數量對二維后臺階流動計算結果的影響，結果表明，在速度接近0時軸向速度對網格的敏感度最大。趙訓友等[49]對現有的GCI離散不確定度估算法進行了改進，用加權平均的數值解代替細網格數值解來估算離散誤差及不確定度，使得結果具有更高的置信度。Schaefer等[50]研究了網格以及湍流模型系數的不確定性對于RAE2822翼型氣動特性的影響。按照網格的疏密分布、第一層網格高度以及拓撲關系的不同，Schaefer等生成了6套計算網格，并采用非嵌入式多項式混沌方法對SA、Wilcoxk-ω以及SST湍流模型系數的不確定度進行量化分析，并通過sobol靈敏度分析了各個湍流模型系數對于總不確定性的貢獻。結果表明，少部分的湍流模型系數對CFD數值模擬結果有較大影響，例如SA模型中的σ和κ等。該研究為湍流建模以及后續的三維構型不確定度量化工作打下了基礎。

圖1 二維后臺階流動軸向速度分布[48]Fig.1 Wall-normal profiles of axial velocities for a twodimensional backward-facing-step laminar flow simulated by different grids[48]

3 幾何外形的不確定度量化

由于制造公差的存在以及對真實模型的簡化處理，用于計算的幾何模型與真實情況不可避免地存在著一些誤差，從而引入幾何外形的不確定性。對幾何外形的不確定度量化對于飛行器氣動設計有著重要的意義。

Loeven等[51]為了減少不確定性因素的數量，采用參數化方法對NACA 4系列翼型進行建模，并利用概率配置點法研究了翼型的最大彎度、最大彎度位置以及厚度等關鍵設計變量的不確定性對翼型氣動特性的影響。圖2給出了NACA5412翼型最大彎度、最大彎度位置以及厚度等不確定性因素影響下的升力系數不確定帶。對于升力系數而言，最大彎度帶來的不確定性最大，大迎角下厚度帶來的不確定性較大。Parussini等[52]將張量展開混沌配置法與虛擬域方法結合，對幾種基本流動問題的幾何不確定性進行量化分析。Liu等[53]采用梯度增強的徑向基函數方法（GERBF）、多項式混沌方法等研究了RAE2822翼型幾何隨機擾動對跨聲速條件下氣動特性的影響，研究表明，梯度增強的降階模型方法較之直接積分方法效率更高。Liu等[54]采用非嵌入式概率配置點方法考察了風速的不確定性對風力機氣動特性的影響，探究了不確定性在流場中的傳播，實現了不確定CFD技術對傳統驗證與確認工作的補充。Trojak等[55]研究了非均勻網格對多維通量重構的影響，歸納總結了波角和網格變形對通量重構的影響規律。Liu等[56]等基于RBF插值對翼型進行參數化，通過Kriging響應面法建立翼型流場的代理模型，并采用蒙特卡洛方法研究了壓敏材料厚度分布不確定性對自然層流機翼氣動力的影響。

圖2 NACA5412翼型升力系數不確定帶[51]Fig.2 The uncertainty bounds of lift coefficient for NACA5412 airfoil[51]

4 來流條件的不確定度量化

CFD流場求解過程涵蓋了湍流模型、離散方法和數值格式等核心要素。這些模型代表了對物理問題的近似，然而不同的方法依據不同的假設，其近似的程度也有所不同，對這些要素的不確定性進行量化分析是CFD計算和可信度評估的核心環節。目前在流場計算這一層級的工作主要集中在湍流模型以及來流邊界條件這兩個方面。

Xiu等[57]提出了廣義多項式混沌方法（GPC），理論證明了不同的概率分布存在不同的最優多項式混沌與之對應，多項式展開可以按照指數收斂，并用此方法研究了不可壓槽道流動和方柱繞流的不確定度量化問題。Loeven等[58]發展了用拉格朗日插值多項式（LIP）構造隨機變量的非嵌入式概率配置點法，可以在保證計算精度一定的情況下減小確定性計算的數量，并且將該方法應用于NACA0012翼型的不確定性分析中。Mariotti等[59]運用概率配置點法對二維矩形柱體的來流不確定性進行了研究，考察了入射角、來流縱向湍流強度以及湍流積分尺度的不確定性對其空氣動力學特性的影響。Avdonin等[60]采用多項式混沌展開方法研究了預混合層流火焰傳遞函數的工況不確定性，考察了入口速度、燃燒器板溫度和等效比等因素的影響。研究表明，非嵌入式多項式混沌方法能夠高效地處理熱聲學不確定性問題，不確定變量概率分布函數的方差對結果的影響較大。

如圖3所示，Zhu等[61]采用概率配置點方法考察了來流條件不確定性對NASA0714翼型跨聲速抖振狀態氣動特性的影響。研究表明，激波運動區域對于來流條件十分敏感。劉智益等[62]采用非嵌入式概率配置點法研究了轉子葉頂間隙尺寸不確定性對某軸流壓氣機流量、效率、壓比以及馬赫數變化量的影響。鄔曉敬等[63]采用非嵌入式概率配置點法研究了迎角及馬赫數不確定性對NACA0012翼型跨聲速條件下氣動特性的影響。王言金等[64]采用非嵌入式多項式混沌方法考察了不可壓圓柱繞流的不確定性問題。鄧小兵等[65]通過在自由來流中引入隨機脈動的方式開展了復雜構型細長體飛行器大迎角橫側向氣動力不確定性的數值模擬研究。研究表明，大迎角氣動力出現不確定性的原因是頭部分離渦的結構不穩定性。徐林程等[66]發展了基于自動微分方法的不確定度量化方法，研究了來流參數不確定性對風洞試驗結果精確度的影響。結果顯示，在亞聲速來流條件下，迎角是影響風洞試驗精度的主要因素；在跨聲速來流條件下，影響風洞試驗精度的主要因素轉變為馬赫數。

圖3 NASA SC(2)-0714翼型表面壓力系數及脈動壓力系數不確定帶[61]Fig.3 The mean and root-means-square of the pressure coefficient with uncertainty bounds[61]

5 湍流模型的不確定度量化

以湍流模式理論為基礎建立的湍流模擬方法是目前CFD最常使用的計算湍流的手段，在精度和效率方面取得較好的平衡，滿足絕大多數的工程需求。湍流模式理論以雷諾平均運動方程與隨機脈動運動方程為基礎，通過一系列的假設，建立描述湍流脈動量的封閉方程。在進行雷諾平均的過程中，將會進行多個層次的假設，引入潛在誤差，從而限制模擬結果的可信度。

Duraisamy等[67]將RANS湍流模型中的不確定性來源歸納為以下四個方面：系綜平均導致的不確定性、雷諾應力函數和運算表達的不確定性、模型中函數形式的不確定性以及模型系數的不確定性。圖4中以雷諾應力輸運模型和線性渦黏模型為例，標注出湍流模型中可能存在的不確定性來源。

圖4 不同類別的湍流模型以及其中的不確定性來源[67]Fig.4 A sketch of uncertainties introdued by turbulence models[67]

Xiao等[68]對RANS模擬中湍流模型的不確定度量化方法進行了歸納和總結。根據二階對稱張量有三個不變量：跡、平方以及立方跡。進而可以利用雷諾偏應力張量和主應力的物理含義分析出雷諾偏應力的約束條件，即Lumley曲邊三角形[69]。如圖5所示，Banerjee等[70]用線性關系式的方式建立了雷諾偏應力張量特征值和坐標之間的關系，從而將Lumley曲邊三角形這一限制條件轉換到重心坐標系統下的直邊三角形。Emory等[71-72]在雷諾應力張量中引入物理約束并對雷諾應力進行攝動，從而對湍流模型的不確定性進行量化。該方法建立在雷諾應力特征值分解的基礎之上，著重考慮了對特征值的限制，忽視了對湍動能以及特征向量的約束。Iaccarino等[73]探究了給定約束條件下雷諾應力的變化范圍，對已有考慮特征值約束的方法進行了補充。采用極限狀態的特征值給出湍動能的最大值和最小值，通過五次RANS計算就能得到流動演化過程中特征空間的攝動范圍，從而給出CFD計算結果的不確定度帶。Iaccarino等采用該方法研究了湍流射流模擬中湍流模型不確定性對流動的影響。

圖5 雷諾偏應力張量不變量圖[70]Fig.5 Reynolds stress ellipsoids, in the eigenspace[70]

如圖6所示，Mishra等[74]同時考慮了對特征值及特征向量的約束，以攝動法雷諾應力橢球極值狀態的形式形象地闡釋了該方法的物理含義。如圖7所示，Mishra等將這種方法應用于MD30P30N多段翼型，得到該翼型在湍流模型渦黏假設不確定條件下的壓力系數及摩擦力系數不確定帶。

圖6 攝動法雷諾應力橢球極值狀態可視化顯示[74]Fig.6 Schematic visualization of the extremal states as Reynolds stress ellipsoids in the eigenspace perturbation methodology [74]

圖7 MD30P30N多段翼型采用雷諾應力攝動法表面壓力系數及摩擦力系數不確定帶Fig.7 The mean and root-mean-square of (a) pressure and (b)friction coefficients on MD30P30N with uncertainty bounds

作為對基于特征值分解的物理方法的替代，Xiao等[75]給出了雷諾應力不確定性的概率描述。將雷諾應力用一個半正定的隨機矩陣來表示，期望為RANS模型的雷諾應力，并且定義了雷諾應力張量的最大熵分布，通過對其采樣來表征雷諾應力的不確定性。隨機矩陣法和基于特征值分解的方法類似，無論是對雷諾應力張量進行攝動還是對雷諾應力張量的分布進行抽樣都能保證其可實現性。Wang等[76]采用隨機矩陣法研究了特征值和特征向量的不確定性空間，并且通過定義在隨機矩陣上的最大熵分布，說明了他們之間存在的關聯性。與特征值分解方法相比，這種方法不能從物理的角度對極限狀態做出明確的解釋。這兩種方法都側重于單點的雷諾應力誤差帶研究，忽視了雷諾應力隨空間變化導致的不確定性。Edeling等[77]提出了“回歸渦黏模型”，對雷諾應力張量進行攝動，采用該方法對亞聲速射流進行數值模擬，分析了湍流模型不確定性的影響。

湍流模型中的模型參數通常是通過一些基本流動進行校準的（例如，均勻各向同性湍流、平板流動、槽道流動等）。然而這些參數并不是普適的，需要根據流動的特性進行調整，例如，Pope[78]以及Eisfeld[79]列舉了幾種典型自由剪切流的最優參數（平板射流、圓形射流以及尾流等）。在復雜湍流流動的數值模擬中，如果模型參數仍然采用基本流動的默認值，會引入不確定性。采用經典的不確定度量化方法可以簡單地考察湍流模型中系數的選擇對于仿真結果的影響。這些方法基本都依賴于對湍流模型中相關系數的描述。Dunn等[80]采用拉丁超立方抽樣方法研究了k-ε模型系數不確定性對二維后臺階流動的影響。研究表明，模型系數對再附點附近回流區的流向速度以及自由剪切層湍流強度影響較大。Platteeuw等[81]采用概率配置點法研究了帶有壁函數的k-ε模型系數不確定性對平板流動的影響。研究表明，壁函數參數的波動對平板流動有著顯著的影響。

6 混合不確定度量化

CFD系統非常復雜，涉及到大量的不確定性因素，將這些因素割裂分析將會忽略他們之間的聯系，需要對CFD系統進行整體不確定度量化。混合不確定度量化方法被廣泛地應用于CFD整體不確定度量化中。Shah等[82]將DS證據理論與非嵌入式概率配置點方法結合，研究了迎角、來流馬赫數以及SA模型系數等不確定性因素對RAE2822翼型跨聲速條件下氣動特性的影響。高超聲速再入流動模擬中存在著大量的不確定性因素，采用傳統方法計算量過大，針對這種情況，West等[83]發展了多步不確定度量化方法。多步不確定度量化方法首先采用局部敏感性分析對不確定性變量降維，最終采用改進的非嵌入式概率配置點方法進行不確定度量化。Quagliarella等[84]將五種基于元模型的蒙特卡洛方法、多級蒙特卡洛方法以及非嵌入式概率配置點法分別應用于NACA2412翼型的不確定度量化中，研究了來流馬赫數以及幾何外形不確定性對其氣動特性的影響。

Duque等[85]開發了“Spectre”平臺，該平臺能夠根據用戶的自定義進行網格以及來流參數（馬赫數、迎角、雷諾數等）的不確定度量化，實現CFD整體不確定度量化的商業化。圖8、圖9展示了利用該平臺對NACA0012翼型進行不確定度量化獲取的升力系數及表面壓力系數的統計信息。該平臺能夠根據用戶需求給出關注變量的統計信息以及整體不確定度。Schaefer等[86]采用了SOP方法實現了對網格、來流參數以及SA湍流模型系數的整體不確定度量化，并成功應用于NASA高升力CRM構型，驗證了集成不確定度量化方法在工程應用上的可行性。Wignall等[87]結合數據融合和降階模型技術研究了模型以及風洞試驗數據轉化的不確定性對火箭氣動載荷的影響。

圖8 NACA0012翼型升力系數累積密度分布函數[86]Fig.8 The cumulative probability distribution of lift coefficient for NACA0012[86]

圖9 NACA0012翼型表面壓力系數不確定帶[85]Fig.9 The total UQ of pressure coefficient for NACA0012[85]

7 不確定性因素的敏感性分析

對不確定度量化結果的分析也是不確定性研究中不可或缺的內容。一旦明確了CFD數值模擬中的各種不確定性來源和表現形式，并且對這些不確定性在CFD系統中的傳遞進行了量化，研究各類不確定性因素對總不確定性的貢獻就顯得尤為關鍵。敏感性分析常常被用來研究不確定性因素對CFD計算結果的影響大小。目前對敏感性分析的研究主要集中在提升效率和精度上。

如圖10所示，Schaefer等[88]采用非嵌入式概率配置點方法研究了SA湍流模型系數不確定性對NASA CRM構型氣動特性的影響，借助sobol靈敏度指標分析了SA模型各個系數的不確定度在總體不確定度中所占的比重。研究表明，SA湍流模型中系數σ和κ對于跨聲速近壁面流動的影響最大。肖思男等[89]對基于概率描述的不確定性結構全局靈敏度分析方法進行了概述。傳統靈敏度指標分析方法在輸入變量很多時效率較低且準確性得不到保證。針對這種情況，Storlie等[90]提出了一種基于元模型和引導置信區間的敏感性分析方法，在提高敏感性分析效率的同時也保證了方法的準確性。Saltelli等[91]采用基于方差的敏感性分析方法對模型的全局輸出進行了敏感度的考察。Sudret等[92]引入廣義多項式混沌展開方法構建降階模型，實現高效的全局敏感性分析。與基于蒙特卡洛方法的敏感性分析方法相比，該方法可以應用于不確定變量很多的情況，并且大大提高計算效率。Duvigneau等[93]采用連續靈敏度方程方法（CSEM）實現了對翼型形狀參數的快速不確定度量化。Fiorini等[94]推導了管道流問題的敏感性方程，利用敏感性方程方法給出入口速度不確定條件下管道內流動變量的不確定帶。將定常流動模擬結果與蒙特卡洛方法進行了對比，驗證了該方法的準確性。針對非定常流動模擬敏感性隨時間增加的情況，對敏感性導數進行濾波，依據濾波后的敏感性導數計算出流動變量的不確定帶。

圖10 NASA CRM模型表面壓力系數結果圖[88]Fig.10 Pressure coefficient for the NASA CRM configuration[88]

8 CFD不確定度量化工作的總結與展望

隨著CFD技術在工程實踐中的廣泛應用以及對CFD算法認識的不斷加深，CFD不確定度量化已經成為當前的研究熱點，國內外針對CFD系統各個關鍵環節開展了大量的不確定度量化工作。CFD不確定度量化首先需要辨識不確定性因素的來源，按照形式的不同選擇恰當的方法考察不確定性在CFD計算過程中的傳播，最終根據結果的統計特性分析不確定性因素對于CFD系統的影響。

目前針對幾何外形、來流條件、湍流模型等因素的不確定度量化方法已經較為成熟，然而針對數值格式的不確定度量化工作開展較少，對計算網格的不確定度量化也僅僅是針對網格量這一因素。發展對這些不確定性因素的量化分析方法對于完善CFD系統的不確定度量化體系有著重要的作用。

CFD系統中存在大量的不確定性因素，為了探究不確定性來源之間的關聯性，從而更好地指導CFD方法的工程應用，需要對CFD系統進行全局不確定度量化分析。然而，隨著待考察變量的增加，不確定度量化的計算量急劇增加，為了實現對物理問題的快速不確定度量化，需要進一步提升不確定度量化方法的效率。

當前不確定度量化工作大多針對簡單構型以及一些較為簡單的流動問題。隨著CFD數值模擬對象的逐漸復雜化，需要擴展不確定度量化的應用范圍，對更為復雜的構型以及流動進行不確定度量化。

現代飛行器需要面臨復雜的飛行環境，其性能參數對某些不確定性因素非常敏感，確定性CFD計算已經不足以滿足工程實際的需求，利用不確定性CFD技術進行飛行器外形、結構及飛行控制系統的精細化設計已經成為未來不斷探索的研究方向。