電磁式電壓互感器“低頻過電壓激勵-響應”逆問題求解

楊 鳴 熊 釗 司馬文霞 李永福 何東升 鄒濱陽

（1. 輸配電裝備及系統安全與新技術國家重點實驗室（重慶大學） 重慶 400030 2. 國網重慶市電力公司重慶電力科學研究院 重慶 401123 3. 國家智能電網輸配電設備質量監督檢驗中心 東莞 523325）

0 引言

電力系統中的電壓傳感裝置大多是將高電壓轉換為可直接測量的低電壓信號，實現對電力系統電壓狀態的實時觀測，其傳感過程的數學本質是電力系統電壓“激勵-響應”正問題，即已知傳感裝置的端口電壓傳變特性和一次激勵電壓，獲得與一次激勵電壓具有映射關系的二次響應[1]。通過傳感裝置測量電力系統高電壓的本質是電壓“激勵-響應”逆問題的求解，也即已知傳感裝置二次響應及其傳變特性，求解獲得其一次激勵電壓。

電磁式電壓互感器（Potential Transformer, PT）是35kV及以下交流電力系統中大規模應用的電壓傳感裝置。額定工況下，PT電壓“激勵-響應”逆問題的求解可簡化為：將二次響應電壓按變比進行齊次性放大而獲得具有極高精度的一次激勵電壓。然而，由于PT具有頻率特性和鐵心非線性特性，在高幅值工頻過電壓、鐵磁諧振、直流偏磁等電磁暫態電壓作用下，PT鐵心可能會出現飽和，其中最為典型的是鐵磁諧振，當PT與整個系統的對地電容構成特殊的單相或三相共振回路，滿足發生鐵磁諧振的參數條件時就會出現鐵磁諧振，造成系統中產生較嚴重的諧振過電壓、過電流導致設備損壞[2]，若按變比對電壓“激勵-響應”逆問題進行求解，會導致測量電壓的波形畸變、誤差激增，對電能質量監測、暫態電壓感知、事故溯源等產生嚴重影響[3]。因此，亟需實時監測電力系統運行狀態，包括各種復雜工況和故障情況下的電磁暫態特性，得到精確的暫態電壓波形，以支撐電網的安全運行。

通過PT獲得電力系統寬頻或寬幅電壓的關鍵是準確求解PT電壓“激勵-響應”逆問題，需提出表征PT電壓傳變特性的逆向數學模型及其求解方法，其中PT逆向數學模型是PT正向模型的逆函數[4]。因此，求解“激勵-響應”逆問題的基礎是構建能夠準確表征寬頻、寬幅電壓激勵下PT電壓傳變特性的正向模型[5]。目前，國內外學者提出的PT正向模型及其“激勵-響應”逆問題求解方法主要分為兩類。

一類是根據黑盒模型理論和掃頻測量技術建立PT正向寬頻模型[6]，基于矢量匹配法結合時域遞歸卷積逆向求解暫態電壓，能夠通過PT二次側高度畸變的雷電電壓響應計算得到具有較高精度的一次雷電電壓。然而，PT鐵心具有非線性勵磁特性，鐵心極易飽和而引起二次波形失真[7]。該正向高頻模型參數辨識所采用的測量設備與技術難以精確地將PT鐵心非線性特性納入模型考量[8]，來準確表征鐵心飽和時的正向電磁暫態傳變特性。因此，當低頻過電壓激勵導致PT鐵心飽和時，該模型和方法不適用于一次激勵電壓的逆向求解。

另一類是建立PT正向電路模型，根據其拓撲結構和元件詳細參數進行暫態電壓的逆向計算[9]。雷電電壓激勵下，PT端口電壓傳輸特性主要考慮導體間雜散電容的影響[10]，在傳統電路模型的基礎上增加合適的電容，可表征高頻電壓激勵下的PT傳輸特性，實現基于電路模型進行雷電電壓激勵的逆向求解[11]。在低頻暫態電壓的激勵下，PT傳輸特性主要取決于短路阻抗和飽和特性等[12]。其中，通過建立電路模型表征PT鐵心飽和特性時存在難題：鐵心深度飽和狀態下，勵磁曲線膝點之后數據難以獲取[13]。因此，現有PT正向電路模型難以支撐鐵心飽和狀態下的一次側暫態電壓逆向求解。

綜上，低頻暫態電壓激勵下PT二次響應測量誤差激增的主要原因是鐵心飽和導致其傳輸特性發生變化。PT作為一種儀用變壓器，其結構、電磁暫態模型與電力變壓器類似，依據拓撲，其電磁暫態模型可分為T、Γ和π型等效電路模型等[14]。其中，T模型和Γ模型為端口等價模型，均采用單一勵磁支路表征鐵心的非線性特性，該模型不存在嚴格的電磁對偶關系。EMTP理論指導書指出：在勵磁特性曲線的深度飽和段，變壓器類設備芯柱與旁柱的勵磁曲線存在明顯差異[15]，因此，當PT鐵心飽和造成顯著的二次電壓失真時，T模型和Γ模型不能準確表征其鐵心結構上勵磁特性的差異，難以準確描述PT飽和狀態的電壓傳輸特性[16]。同時，T模型和Γ模型內部參數的物理意義不夠明確，當鐵心過激勵時，模型內部節點電壓和支路電流與真實物理狀態不具備一一映射關系[17]。因此，將T模型和Γ模型應用于PT一次激勵電壓逆向求解時會引起較大的計算誤差。

π模型采用電磁對偶原理通過嚴密推導得到，其模型參數物理意義明確[18]。π模型由兩條勵磁支路構成，可準確表征變壓器類設備鐵心結構勵磁特性的差異，在研究電磁暫態（尤其是深度飽和特性）時具有更高的精度。此外，π模型內部節點電壓和支路電流對應于真實物理參數，具有準確求解PT內部真實運行狀態的能力。因此，π模型具備求解PT“低頻過電壓激勵-響應”逆問題的潛力。

本文以典型PT為研究對象，以電磁對偶π模型為基礎，建立了準確表征鐵心非線性特性的PT正向電路模型并進行參數提取[19]，基于正向電路模型構建其逆向數學模型，進而提出含高度非線性元件的離散狀態量數值計算方法，求解PT一次暫態電壓，實現了PT“低頻過電壓激勵-響應”逆問題的準確求解。最后開展PT低頻暫態電壓試驗，通過電磁暫態仿真與試驗，驗證本文方法的可行性和有效性。

1 “低頻過電壓激勵-響應”逆問題求解方法

圖1 為PT的“低頻過電壓激勵-響應”正問題與逆問題求解示意圖。PT“低頻過電壓激勵-響應”逆問題求解的基本思路為：以PT正向電路模型為基礎，構建其逆向數學模型并提出模型求解方法，在已知二次側響應電壓波形數據的條件下計算得到其一次激勵電壓波形數據，實現對電磁暫態電壓的獲取。

圖1 PT暫態電壓求解示意圖Fig.1 Schematic diagram of the calculation of PT transient voltage

1.1 PT正向電路模型構建方法

基于電磁對偶理論構建PT的π模型電路具有清晰物理意義，有利于提高PT“低頻過電壓激勵-響應”逆問題求解精度，因此本文以π模型為基礎建立PT正向電路模型。根據IEEE[8]與CIGRE[11]關于變壓器低頻暫態模型的規定，低頻暫態模型主要考慮其短路阻抗與飽和特性，本文采用常數電阻表征PT的渦流損耗與鐵心損耗。考慮鐵心飽和特性的PT正向電路模型如圖2所示。圖2中PT正向電路模型的電磁對偶關系可參見文獻[20]，其中Rs1、Rs2分別為一次、二次繞組電阻；Lm1、Lm2、Rm1、Rm2分別為兩條勵磁支路的勵磁電感（非線性）和損耗電阻；iLm1、iLm2和iRm1、iRm2分別為兩條勵磁支路電流的感性分量和阻性分量；Ls為一次、二次繞組之間的漏感；端口電壓與端口電流分別為u1、u2、i1、i2；u3、u4、u5為π模型內部節點電壓；N1、N2分別為PT一次、二次繞組匝數。兩個理想變壓器用于中間電路的歸算并為外電路提供接口，可規定為

圖2 考慮鐵心飽和特性的PT正向電路模型Fig.2 Forward circuit model of PT considering the saturation characteristics of the iron core

式中，k為PT的額定變比。

1.2 PT正向電路模型參數測量與提取方法

針對本文提出的PT正向電路模型進行參數的測量與提取，通過變壓器標準短路試驗及開路試驗可以獲得電路模型短路阻抗、鐵損電阻及鐵心非深度飽和段勵磁曲線。在高幅值低頻暫態電壓作用下，變壓器鐵心進入飽和或深度飽和狀態，因此，本文通過PT深度飽和試驗提取鐵心深度飽和狀態下模型參數。

1.2.1 非深度飽和段參數提取

1）開路試驗

進行PT開路試驗，在低壓側施加交流電源，保持高壓側開路，逐漸增加空載電壓至鐵心輕微飽和，在不同電壓幅值下進行多次試驗，繪制PT鐵心非深度飽和段勵磁支路的單值無磁滯勵磁曲線。磁鏈通過端電壓的積分進行求解，即

實際應用中，采集到的電壓為離散數據，采用梯形積分法計算勵磁支路磁鏈。梯形積分法是一種簡單的一步積分法，具有二階精度，并且在任何時間步長下都不會發散，如式（3）所示。

式中，λ為鐵心磁鏈；u為勵磁支路端電壓；Δt為采樣步長；n=1, 2, 3, …。

鐵損和電阻可按式（4）和式（5）計算得到。

式中，P為有功功率；T為電源周期；Urms為電壓有效值；Rm為鐵損電阻。

連接磁滯回線頂點可得到非深度飽和段基本磁化λ-i曲線。當PT工作在非深度飽和狀態時，π模型勵磁電感遠大于漏感，兩勵磁支路的勵磁特性差異可忽略，可將端口測得的勵磁電流平分至兩勵磁支路，并使兩條勵磁支路的損耗電阻等于鐵損電阻Rm的2倍，保證整體損耗平衡，求解方法為

式中，i為PT端口電流；λ為式（3）得到的磁鏈。

2）短路試驗

采用交流電壓源對PT進行標準短路試驗。PT漏磁參數為式中，Zs為漏阻抗；Rs為繞組電阻；f為電源頻率，f=50Hz；Irms為電流有效值。

一次、二次繞組電阻Rs1和Rs2可依據繞組直流電阻Rdc1和Rdc2按比例分配得到，即

1.2.2 深度飽和段參數提取

為獲得PT深度飽和特性，本文采用交直流混合電源對PT進行飽和測試，試驗電路如圖3所示。其中，混合電源中直流分量激勵PT鐵心進入飽和狀態，利用耦合交流小信號測量PT在不同飽和狀態下的勵磁支路增量電感。深度飽和狀態下PT勵磁支路電感采用式（12）~式（14）進行計算，僅需一次測試即可計算得到雙端口勵磁支路參數。

圖3 飽和試驗原理圖Fig.3 Schematic diagram of saturation test

式中，Lm1_s、Lm2_s分別為PT鐵心飽和時，一次側與二次側勵磁支路的增量電感；U˙1′為互感器一次電壓折算至二次側的電壓值；U˙2為互感器二次側端口電壓；I2˙為二次側端口電流相量；I˙Ls為漏感電流；Im(·)用于提取向量的虛部分量。

由交直流混合測試原理可得，勵磁曲線斜率可用增量電感值表示。因此，根據文獻[20]在鐵心不同飽和程度下進行飽和試驗，可獲得勵磁曲線多個飽和點參數，基于多個飽和點計算得到飽和段勵磁曲線。隨著鐵心飽和程度的加深，勵磁支路增量電感值（即勵磁曲線斜率）逐漸減小。將端口勵磁曲線分配至一次側與二次側勵磁支路的方法如式（15）~式（17）所示。

式中，idc為端口電流直流分量；(λLm1(0),Lm1(0)),(λLm2(0),Lm2(0))為式（6）計算得到的最后一個點，即非深度飽和段基本磁化曲線的頂點。

通過上述參數提取方法，可分段線性表征PT勵磁支路電感Lm1和Lm2的深度飽和段勵磁特性，結合非深度飽和段勵磁參數即可建立完整的考慮鐵心飽和特性的PT正向電路模型。PT出廠報告中包含短路試驗測試數據，部分PT還將進行勵磁特性的測量，并向用戶提供勵磁曲線[21]。因此，PT廠家僅需額外開展飽和試驗即可滿足參數辨識需求。

1.3 PT逆向數學模型構建與求解

基于圖2所示的PT正向電路模型構建其逆向數學模型，列寫節點電壓方程，推導一次端口電壓，得到PT的逆向數學模型為

式中，u2為實測二次響應電壓；u1為待求解的一次激勵電壓；u4為內部節點電壓。

由于實測信號為離散量，因此可將式（18）中電壓積分轉換為離散點求和，得到

當低頻暫態電壓作用于PT時，可能造成鐵心飽和或深度飽和，此時流過勵磁電感的電流iLm1、iLm2與磁鏈表現為非線性特性，非線性函數表征為

式中，fLm1、fLm2函數表征勵磁支路的非線性勵磁曲線，包含PT非深度飽和段與深度飽和段的完整勵磁特性；磁鏈λLm1和λLm2均為時間的函數。

勵磁支路電感Lm1、Lm2的磁鏈λLm1、λLm2可采用梯形積分法對勵磁支路的電壓進行積分得到。

將已知離散電壓u2結合式（22）和式（23）代入PT逆向數學模型式（18）中進行逐點計算即可求解得到一次側激勵電壓數據，實現PT“低頻過電壓激勵-響應”逆問題的求解。

2 PT正向模型參數測試與提取試驗

本文針對JDZ10(G)-10B3型PT進行研究，其銘牌參數見表1。

表1 JDZ10(G)-10B3型PT銘牌參數Tab.1 Nameplate of the JDZ10(G)-10B3 PT

2.1 PT正向模型參數提取

根據第1.2.1節所述的PT非深度飽和段試驗與參數提取方法對試驗PT進行開路試驗和短路試驗，模型電阻、電感參數見表2。圖4所示為開路試驗測得PT的非深度飽和段磁滯回線，連接磁滯回線的頂點得到非深度飽和段勵磁曲線。

表2 JDZ10(G)-10B3型PT電阻、電感參數Tab.2 Resistance and inductance parameters of the JDZ10(G)-10B3 PT

圖4 JDZ10(G)-10B3型PT磁滯回線Fig.4 Hysteresis loops of the JDZ10(G)-10B3 PT

2.2 勵磁電感深度飽和參數測試與提取試驗

根據第1.2.2節中PT深度飽和段勵磁曲線參數提取方法，對PT進行飽和試驗，獲得PT飽和段勵磁曲線。混合電源由信號發生器（RIGOL DG1000）激勵功率放大器（AE TECHRON 7548）實現，可獨立調節交流、直流分量，激勵PT至不同飽和程度進行測試。

本文對PT鐵心不同飽和程度進行多點測試。按式（13）~式（17）計算得到PT勵磁支路電流ILm1、ILm2，勵磁支路磁鏈λLm1、λLm2以及勵磁支路的增量電感Lm1_s、Lm2_s，JDZ10(G)-10B3型PT飽和點參數見表3。綜合PT鐵心非深度飽和段勵磁點與深度飽和點即可得到PT正向電路模型兩條勵磁支路的完整勵磁曲線。

表3 JDZ10(G)-10B3型PT飽和點參數Tab.3 Saturation points of the JDZ10(G)-10B3 PT

3 PT“低頻過電壓激勵-響應”逆問題求解驗證

3.1 基于電磁暫態仿真數據的驗證

應用ATP-EMTP電磁暫態軟件建立PT暫態電壓仿真模型，使用Type-96型非線性電感元件表征鐵心非線性特性。在一次側施加高于額定值的交流電壓激勵PT鐵心進入深度飽和狀態，記錄低頻過電壓作用下PT的一次側、二次側端口電壓波形。仿真電路模型如圖5所示，其中，R2為PT二次側額定負載，分別驗證PT負載為0V·A、5V·A、15V·A（額定負載）條件下，暫態電壓逆向求解的準確性。

圖5 PT ATP仿真模型Fig.5 ATP simulation model of the PT

基于仿真得到的二次電壓數據，采用1.3節提出的“低頻過電壓激勵-響應”逆問題求解方法計算一次側激勵電壓，額定負載條件下暫態電壓逆向求解結果如圖6所示。

圖6 基于PT仿真數據的逆向求解結果Fig.6 Inverse calculation results based on simulation voltage of the PT

二次歸算電壓U2′為PT二次端口測量電壓值U2與變比k的乘積，其計算方法為

暫態電壓求解相對誤差可按式（25）和式（26）計算。

方均誤差（MSE）可用于反映估計量與被估計量之間的差異程度，本文通過求解方均誤差檢驗歸算電壓、逆向求解電壓對一次真實電壓波形的還原程度，即

式中，Uobserved為電壓觀測值，即一次真實電壓；Upredicted為電壓估計值。

對比分析電磁暫態仿真與一次電壓逆向求解結果，在負載分別為0V·A、5V·A、15V·A條件下，歸算電壓最大誤差分別為77.6%、77.7%、78.1%，方均誤差最大為0.182，未能準確反映真實激勵電壓；而本方法逆向求解電壓最大誤差分別為2.22%、2.24%、2.26%，方均誤差最大為0.003 18，可以較好地還原一次真實電壓波形，證明本文所提出的逆問題求解方法理論上正確且具有可行性。

3.2 基于真型PT試驗數據的驗證

3.2.1 真型PT暫態電壓激勵試驗與逆向求解

由于電磁暫態仿真難以模擬實際工況中的不確定性和隨機性，基于JDZ10(G)-10B3型PT搭建低頻過電壓試驗平臺，如圖7所示。其中，AT為試驗調壓器；T為試驗變壓器；D為阻容分壓器；PT為10kV電磁式電壓互感器；C1為交流電源及線纜等效雜散電容；C2為PT端口等效雜散電容；OSD為錄波器。

圖7 PT暫態電壓試驗平臺Fig.7 Transient voltage test platform of the PT

在PT一次側施加不同幅值的交流電壓激勵鐵心至飽和，采用標準阻容分壓器測得一次側真實電壓波形，并同步記錄PT二次側波形，采用小波閾值去噪法對二次波形進行濾波以降低外部干擾的影響[22]，驗證PT發生飽和失真時暫態電壓逆向求解的準確性。對比歸算電壓、實測電壓與逆向求解電壓，如圖8（暫態）與圖9（穩態）所示。

圖8 基于PT的暫態電壓逆向求解結果（暫態部分）Fig.8 Inverse calculation results of transient voltages of PT(transient part)

圖9 基于PT的暫態電壓逆向求解結果（穩態部分）Fig.9 Inverse calculation results of transient voltages of PT(steady state part)

結果表明，由于電源側與PT端口均存在雜散電容，造成PT鐵心飽和而產生諧振，二次電壓發生嚴重失真。歸算電壓與一次真實電壓在鐵心飽和狀態下存在較大的誤差，無法準確得到真實波形數據，而本文方法可得到較為準確的一次電壓波形。

3.2.2 誤差分析

按式（24）~式（27）計算基于π模型的低頻電壓逆向求解誤差，結果見表4。

表4 PT低頻暫態電壓逆向求解誤差Tab.4 Errors of the inverse calculation of low frequency transient voltage of PT

由表4可知，通過本文提出的PT正向電路模型與逆向求解方法可將PT的測量誤差由65.6%降低至9.12%，MSE由0.615降低至0.015 2，更準確地還原得到一次真實電壓波形。

基于本文3.2.1節中PT暫態電壓試驗，對比分析其一次真實電壓、二次歸算電壓、逆向求解電壓的主要諧波分量（如圖10所示）。結果表明：逆向求解電壓的基波、3次諧波、5次諧波分量誤差分別為3.33%、4.42%、7.58%，較為準確地還原了真實激勵電壓，證明通過本文的方法可以實現基于PT測量低頻寬幅值電磁暫態電壓。本文研究中主要考慮了PT鐵心的飽和特性，忽略了磁滯和渦流效應的影響，因此諧波分量求解仍存在一定誤差，后續將改進本文算法以實現PT磁滯特性和繞組渦流特性的準確表征，進一步提高PT暫態電壓逆向求解精度。

圖10 PT逆向求解電壓頻譜對比Fig.10 Frequency spectrum comparison of the PT

4 結論

本文提出了一種針對PT“低頻過電壓激勵-響應”逆問題的求解方法，建立了考慮鐵心非線性的PT正向電路模型；通過PT端口測試提取其正向模型參數以及鐵心深度飽和的勵磁數據；基于PT正向電路模型提出其逆向數學模型及模型數值求解方法，通過PT二次側響應電壓計算其一次激勵電壓；最后以某真型10kV PT為研究對象，通過ATPEMTP軟件仿真以及試驗驗證，證明本文所提出的逆問題求解方法能夠還原具有較高精度的一次電壓波形，可將PT的低頻暫態電壓測量誤差從65.6%降低至9%，MSE從0.615降低至0.015 8，大幅提高PT量測的頻率適用范圍。本文方法不需要新增任何一次設備，為電力系統低頻電磁暫態電壓準確獲取提供了有效的解決方案。