面向集群對抗的多彈協同目標分配模型與仿真分析

吳詩輝，賈 軍，鮑 然，周 宇，夏青元

（1.空軍工程大學裝備管理與無人機工程學院，陜西西安710051；2.上海機電工程研究所，上海201109；3.南京理工大學計算機科學與工程學院，江蘇南京 210094）

0 引言

當前，世界軍事強國都十分重視發展無人集群作戰裝備，可以預見，無人集群將成為未來空防作戰的重要威脅。美軍率先提出了多導彈協同作戰的概念，通過多枚導彈協同提高突防能力［1］。國內在多導彈多目標協同作戰方面也開展了一些研究［2-8］。其中：文獻［3］研究了多導彈協同作戰的目標分配問題，主要針對多導彈對空中戰機和地面目標的分配，以對目標形成的威脅指數和毀傷效果最大為目標函數，構建了優化模型，但攻擊的目標并非集群目標；文獻［5］研究了多導彈多目標協同探測的信息融合方法，能夠完成多機動目標的協同探測任務；文獻［6］研究了一種面向突防的多導彈協同彈道規劃方法，通過彈道設計降低飛行過程中雷達探測概率，針對同地先后發射和不同地同時發射情況，均得到了滿足攻擊時間/攻擊角度協同的優化彈道；文獻［7］針對多無人機超視距協同作戰多目標分配問題進行了探討，主要針對的是多無人機對多作戰飛機的目標優化分配，旨在解決如何根據戰場態勢合理分配目標，以避免重復攻擊，并相互支援，充分發揮作戰無人機的打擊效能；文獻［8］針對多導彈攔截高馬赫數飛行器問題，研究了多個導彈如何協同配合，以覆蓋其可能的機動空間并實施攔截的策略。同時，針對多導彈協同作戰問題，許多學者就多導彈協同攔截目標的制導律［9-11］、多導彈協同發射時序規劃［12］等問題進行了大量研究。

但是，現有文獻缺乏對多導彈與無人機集群對抗的智能化目標分配方法的研究。本文針對多導彈多目標的空中集群對抗的目標分配問題開展研究，將該問題視為一個有約束的非平衡任務分配問題［13］。該問題不同于常規的武器目標分配問題（weapon target assignment，WTA）［2，14-19］，區別在于不能直接得到彈目兩兩遭遇時的攔截效果，而是需要利用比例導引法進行彈道仿真，因此需要考慮過載約束、導彈運動時間約束、軌跡交叉等因素。同時，提出了分配均勻度的概念，以保證將導彈均勻分配給每個集群目標，提高綜合毀傷效果。

1 問題描述

假設有nm枚導彈，欲協同抗擊nt個無人機組成的集群。已知導彈的初始坐標和速度，如何快速進行任務分配，對nt個無人機進行最大程度的毀傷，是本文的研究目標。為方便研究，做以下假設：

1）導彈數量大于目標無人機數量，即nm>nt；

2）每個目標無人機至少分配一枚導彈進行攻擊；

3）一枚導彈只能選擇一個目標進行攻擊；

4）考慮到導彈與目標遭遇時間非常短，通常只有幾秒，認為只完成一次任務分配，即導彈分配一個目標后，不再更改目標；

5）假設導彈按照比例導引法對目標進行攻擊，目標無人機始終勻速平飛，且導彈的初始速度遠大于無人機飛行速度，導彈因空氣阻力做勻減速飛行，減速的加速度為α；

6）用第i枚導彈與第j個目標遭遇時導彈與目標的末速度差ΔVij作為衡量打擊效果的指標，目標是如何指派使完成任務的總效率最高，即

由于導彈數量nm大于目標數量nt，該問題可看作一個非平衡指派問題。不同于傳統的非平衡指派問題，該問題的打擊效果指標ΔVij需要經過比例導引法仿真得到，且存在導彈未能毀傷目標的情況（如導彈的末速度過低（假設最低攔截速度為Vlim），導彈在規定飛行時間tlim內不能飛到目標附近，導彈由于過載限制不能命中目標等）。

2 模型與仿真分析

2.1 態勢初始化

假設有nm個導彈，編號為{M1，M2，…，Mnm}，欲協同抗擊nt個無人機組成的集群，編號為{T1，T2，…，Tnt}。

用一個六維向量表示導彈或者目標的初始態勢，即：{X，Y，Z，v，θv，φv}，如圖1所示，其中前三項表示該實體的三維坐標值，第4項表示其速度大小（用馬赫數表示），第5 項表示速度矢量與oxz平面的夾角（也稱彈道傾角），第6 項表示速度矢量在oxz平面的投影OW′與ox軸的夾角（也稱彈道偏角）。

圖1 三維空間速度矢量表示Fig.1 Velocity vector in 3-D space

這樣，nm個導彈形成態勢矩陣為：

nt個目標形成態勢矩陣為：

2.2 帶約束的三維比例導引律仿真研究

比例導引法是在自尋的導彈上采用較多的一種導引規律，它易于工程實現，同時不需要太大的法向過載，對不同機動特性的目標適應能力較強，因此被廣泛應用于各類導彈上［20］。

假設導彈（追蹤實體）和無人機（逃逸實體）為質點，從運動學角度，實現三維空間中比例導引彈道的仿真，計算過程如下。

2.2.1 輸入初始態勢

逃逸實體位置(xt，yt，zt)，速度Vt，彈道傾角θt，彈道偏角φt；追蹤實體的位置(xm，ym，zm)，速度Vm，彈道傾角θm，彈道偏角φm。

初始化循環次數n=1，運動時間t=0。

2.2.2 計算彈目相對距離R

2.2.3 判斷是否攔截成功

判斷R是否小于距離閾值，若是，表示攔截成功，結束循環，記錄運動時間t，追蹤實體末速度Vm1，及末速度差ΔV=Vm1-Vt；否則繼續下一步計算。

2.2.4 計算追蹤實體的飛行距離

選定一個足夠小的時間間隔Δt，計算追蹤實體在Δt時間內的飛行距離在三個坐標方向的分量，即

2.2.5 計算逃逸實體的運動距離

計算逃逸實體在Δt時間內的飛行距離在三個坐標方向的分量，即

2.2.6 計算追蹤實體-逃逸實體相對距離變化量

計算在Δt時間內的追蹤實體與逃逸實體相對距離變化，即

2.2.7 計算縱向過載ny和側向過載nz

式中：k1、k2分別為縱向通道和偏航通道導引系數；

計算總過載nyz

如果nyz超過過載限制范圍nmax，取

2.2.8 計算追蹤實體彈道角變化量

計算在Δt時間內的追蹤實體彈道傾角變化

計算在Δt時間內的追蹤實體彈道偏角變化

2.2.9 更新追蹤實體及逃逸實體位置及速度

更新追蹤實體位置在三個坐標方向的分量：

更新逃逸實體位置在三個坐標方向的分量：

更新追蹤實體彈道傾角：

更新追蹤實體彈道偏角：

更新追蹤實體速度大小：

2.2.10 判斷是否攔截失敗

更新運動時間：t=t+Δt。判斷運動時間是否達到最大運動時間tlim，或追蹤實體運動速度達到最低速度Vlim，若是，表示攔截失敗，令t=-1 且Vm1=Vt，則末速度差ΔV=Vm1-Vt=0，計算結束，跳出循環；否則，令循環次數n=n+1，重復2.2.2～2.2.10。

2.3 獲取彈目遭遇末速度差矩陣

令nm個導彈{M1，M2，…，Mnm}，分別攻擊nt個無人機集群{T1，T2，…，Tnt}，用ΔVij表示導彈Mi攻擊目標Tj時，二者遭遇時的末速度差，則兩兩匹配后可得到末速度差矩陣(ΔVij)nm×nt。

為計算方便，假定

由于遭遇時刻的末速度差越大，成功攔截的概率就越大，因此可用末速度差作為衡量方案優劣的指標。

2.4 非平衡任務分配模型

則優化模型可描述為

式中：目標函數表示所有導彈與其分配的目標遭遇時的末速度差之和達到最大；第一個約束函數表示分配用來攻擊第j個目標的導彈的最大數量為L，最少為Lmin個（默認取1，若考慮至少兩發導彈攻擊1 個目標，則可取2），這里L也稱為分配均勻度，Lmin為最小分配均勻度，且Lmin≥1。例如，當L=2 時，表示每個目標最多有2 發導彈對其進行攻擊；第2 個約束函數表示每個導彈必須選擇且只能選擇一個攻擊目標。

該模型是一個0-1 整數線性規劃問題，常用的求解方法有隱枚舉法和匈牙利算法。運用MATLAB 或LINGO軟件，可以很快得出最優解。

2.5 軌跡交叉判斷模型

在仿真的同一時刻，若兩追蹤實體之間的距離小于dmin時，認為存在軌跡交叉。在采用以上尋優方法得到分配方案后，需要驗證在該分配方式下整個運動過程中是否存在軌跡交叉的情況，即遍歷在所有運動時刻，判斷任意兩個追蹤實體Mi1、Mi2之間的距離是否滿足

式中：(xMi1，yMi1，zMi1)、(xMi2，yMi2，zMi2)分別表示Mi1、Mi2在同一時刻的坐標。

若某一時刻存在某兩個追蹤實體之間的距離不滿足以上條件，則采取對其中一條軌跡增加懲罰系數的方法，以避免出現軌跡交叉的分配方案。令其中一條末速度差較低的軌跡為攔截失敗即可，即該軌跡對應的導彈-目標組合的末速度差取為0。

2.6 問題求解步驟

步驟1：初始化。隨機生成導彈群的態勢集、目標無人機群的態勢集。

步驟2：獲取彈目遭遇末速度差矩陣。遍歷每個導彈對每個目標的攻擊效果，利用第2.2 節的比例導引法，仿真得到導彈運動軌跡，以及末速度差矩陣。

步驟4：判斷最優分配方案是否出現兩兩交叉。如果未出現交叉，認為導彈群不會出現軌跡交叉情況，輸出最優方案，算法結束；否則，令交叉軌跡中末速度差較小的一個導彈-目標組合為攔截失敗（假設ΔVIJ為出現交叉中末速度差較小的一個），即令ΔVIJ=0，返回步驟3重新進行優化，直到找到最優方案。

3 算例分析

假設已知初始態勢如表1所示。其中前10行表示導彈的態勢；后5行表示無人機集群的態勢。假設彈目遭遇成功的閾值為：dmin=5 m，導彈的最大過載：nmax=20g（超出最大過載按照最大過載運動），導彈在飛行過程中因阻力做勻減速運動（α=-87.43 m/s2），比例導引法導引系數均取5，導彈Vlim=0.3Ma，tlim=10.5 s。

表1 初始態勢數據Tab.1 Initial situation data

利用第2.2 節的仿真方法，得到追蹤實體-逃逸實體末速度差如表2所示。

表2 遍歷末速度差表Tab.2 Final speed gap matrix for all pairwise combinations m/s

利用第2.4 節的優化模型，假設分配均勻度L為2、3、4，可算出最優方案如表3所示。其中，當L=2時，最優分配［2，2，1，5，5，1，3，3，4，4］，表示T1分配給導彈M3和M6，T2分配給M1和M2，T3分配給M7和M8，T4分配給M9和M10，T5分配給M4和M5。此時，末速度差之和為1 577.6，未出現軌跡交叉。該最優分配方案對應的三維軌跡圖如圖2所示，從圖2 中也可以看出，對每個目標，均有2發導彈對其攻擊，且攔截點有一定距離，故軌跡未出現交叉。

表3 不同分配均勻度對應的最優化方案（當Lmin=1時）Tab.3 Optimum schemes for different maximum assigned missiles for a single target（when Lmin=1）

圖2 L=2時的最優分配方案（未出現軌跡交叉）Fig.2 Optimum assignment scheme for L=2（No trajectory intersection occurs）

對于L=3，最優分配方案為[2,1,1,3,5,1,3,2,2,4]，經判斷，導彈M1和M8在攻擊T2時出現了軌跡交叉。該最優分配方案對應的三維軌跡圖如圖3所示，從圖3 中也可以看出，對于目標T2，有3 發導彈對其攻擊，且攔截點幾乎重疊，這導致了飛行末段出現軌跡交叉。因此，該方案不可行，根據2.5 節的方法，令其中一條末速度差較低的軌跡為攔截失敗即可，即該軌跡的末速度差取為0。由表2 可知，ΔV12=ΔV82=173.3 m/s，故隨機選擇其中一條軌跡，假設ΔV12=0，得到表4，利用優化算法，得到新的最優分配策略為[3,1,1,3,5,1,2,2,2,4]，經檢驗，此方案未出現軌跡交叉。該最優分配方案對應的三維軌跡圖如圖4所示，從圖4 中也可以看出，對于目標T2，有3 發導彈對其攻擊，且攔截點相互錯開一定距離，未出現軌跡交叉，可作為L=3 時最優分配方案。

圖3 L=3時的最優分配方案（出現軌跡交叉）Fig.3 Optimum assignment scheme for L=3（Trajectory intersection occurs）

圖4 L=3（改）時的最優分配方案（未出現軌跡交叉）Fig.4 Optimum assignment scheme for L=3 with modified final speed gap matrix（No trajectory intersection occurs）

表4 修改后的遍歷末速度差表（*表示修改的）Tab.4 Modified final speed gap matrix for all pairwise combinations（where*means the modified value）m/s

為了說明本文方法的有效性，本文對比了文獻［21］在武器目標分配問題中采用的遺傳算法，其中遺傳算法按照實數編碼，編碼共10位，取1到5之間的整數，如表5中的最優分配結果的形式（2254513314表示一個染色體編碼），非線性約束條件為10 個編碼位取值1 到5 的次數均應介于［Lmin，L］。算例運算均在Intel Core i5 2.3GHz 的計算機上實現，優化結果及用時如表5所示。

由表5 可知，采取文獻［21］的遺傳算法建模求解該問題，隨機運行5次，優化的平均用時達到3 s以上，且只有第5 次的結果達到了最優解，其余4 次均為滿意解。本文方法隨機運行了3 次，每次都能夠精確找到最優解，且用時均不超過20 ms，能夠滿足實時性要求。顯然，無論從解的精度、還是實時性要求上，本文方法均優于文獻［21］的遺傳算法。

表5 不同算法的比較（當Lmin=1且L=2時）Tab.5 Comparison results of different methods（when Lmin=1 and L=2）

幾點說明：

1）關于分配均勻度L的選擇。筆者認為，分配均勻度不宜過大，盡管分配均勻度為3時，可以得到更大的末速度差之和（如表3所示），但是，L取值過大可能導致以下問題：一方面，可能出現多個導彈被分配打擊同一個目標的情況，增大了發生軌跡交叉的概率，如L=3 和4 時，均出現了軌跡交叉；另一方面，會導致更多的目標只能被分配到1 枚導彈，這樣勢必帶來命中概率降低的問題，如表3 中，當L=4 時目標T3和T5均只有1 枚導彈對其實施攻擊，成功概率將會低于兩發導彈同時對其攻擊的情況（如L=2 的最優方案）。故建議分配均勻度取值介于和之間，其中表示比該值大的最小整數，表示比該值小的最大整數。如表6所示，按此分配均勻度設計，可保證每個目標分配到數量接近的導彈數，從而保證對目標集群的最大毀傷概率。

表6 分配均勻度的優化設計Tab.6 Optimum design of maximum assigned missiles for a single target

2）關于目標威脅權重不同的情況。對于集群中威脅度高的目標，應分配更多的導彈。對于這類問題，可以通過修改模型公式（22），通過增加設定一個約束條件（其中，J為需要指定攻擊導彈數量的目標序號，LJ為針對目標J指定的分配導彈數量），以保證對威脅度高的目標具有更高摧毀概率。

4 結束語

本文設計了一種面向集群對抗的多導彈協同目標分配方法。將該問題轉化為一個帶約束的非平衡任務優化分配問題，其中的約束主要包括目標分配方案可能出現的軌跡交叉、過載約束、導彈飛行時間約束、分配均勻度約束等。通過仿真分析可知，本文方法能夠有效進行目標分配，實現對目標集群打擊效率的最大化。案例部分對比了不同分配均勻度下的最優方案，并據此提出了分配均勻度L的選擇建議，同時，對目標威脅權重不同的情況如何優化分配進行了說明。

本文算法假定目標始終勻速運動，未考慮目標的機動，同時，由于比例導引法無法解析計算末速度，需用仿真方法求得，而仿真需要消耗較大的計算量，是整個分配優化算法的計算瓶頸。針對以上問題的改進，是下一步的研究重點。