經歷過程感悟思想

宋海清

在小學階段，教師有意識地向學生滲透基本數學思想方法可以加深學生對數學概念、公式、定律的理解，提高學生分析與解決問題的能力。人教版五年級上冊《數學廣角》把“植樹問題”作為學習支點，滲透數學思想方法。教學中，教師要引導學生發現規律，抽象出數學模型（點段關系），培養學生從實際問題中探索解決問題的有效方法的能力。

一、經歷探索過程，感悟化歸思想

在解決“兩端都栽”的問題時，教材通過圖文結合的形式呈現例題：“同學們在全長100m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？”例題旁，筆者通過教材中小精靈和小學生的提示“100m太長了，可以先用簡單的數試試”“我先看看20m可以栽幾棵”引出解決問題的常用方法——從簡單的情況入手解決復雜的問題。這種處理已經滲透了簡單的化歸思想——化繁為簡。在教學時，很多教師出示例題后先讓學生猜測結果，然后直接告訴學生：“我們先看看20m可以栽幾棵”。這樣的教學活動，表面看起來讓學生經歷了“猜測—探索”的過程，也滲透了化繁為簡的思想方法，但這種方法是教師告訴學生的，學生并沒有經歷解決問題的過程，體會不到將大數改成小數探索規律的作用和必要性。

教師應該盡量把問題拋給學生，讓學生在探索的過程中自主尋找合適的方法。筆者曾經聽過朱德江老師執教的《植樹問題》，頗受啟發。朱老師將原例題的100m改成了500m，然后把問題拋給學生，讓學生自主解決“一共要栽多少棵樹”。針對學生不同的解答方法和結果，朱老師組織學生討論“你比較認同哪種方法”。當學生一致認為“500÷5+1=101（棵）”這種方法最好后，教師拋出問題“為什么要加1，你有辦法來說明嗎”，學生想出了很多辦法。學生甲（邊說邊畫小樹簡筆畫）說：“我畫出了3棵樹，發現2棵樹中間有一個間隔，栽3棵樹，有2個間隔，如果更多，原理也是一樣的。”學生乙說：“第一次形成一個間隔需要2棵樹，第二次再加1棵樹就又形成一個間隔，這樣棵數就比間隔數始終要多1。”學生丙說：“植樹就像切木頭，切一刀就是兩段，切兩刀就是三段，段數總是比刀數要多1。”

在解釋的過程中，學生不由自主地將“500m”轉化成了較小的數，感悟到用較小數發現規律，再運用規律解決問題的方法。由此給筆者啟示：教材提供的將100m轉化成20m、25m只是為學生解決此類問題提供一種思路——用“化繁為簡”的方法來解決問題，具體轉化成多少不重要，重要的是讓學生經歷探索解決問題方法的過程，自主選擇合適的思想方法來解決問題、發現規律。

二、規范探究過程，體驗歸納思想

在歸納植樹問題（兩端都栽）的規律時，教材先通過20m和25m兩個數據，借助畫線段圖，讓學生直觀感受棵數與間隔數的關系，發現規律;然后由直觀到抽象，讓學生應用發現的規律猜想30m和35m的植樹棵數;在此基礎上引導學生概括出一般規律。這樣的設計完整呈現了歸納的一般方法，即經歷從特殊到一般的過程。

在常規教學中，教師有兩種常用的教學設計：第一種，讓學生自主選擇不同的數據進行分析研究（一般每名學生選擇一個數據），然后組織學生匯報交流。教師將不同學生的不同數據整理成表格（如下表），再引導學生集中觀察，發現規律。

第二種，按照教材的設計順序，引導學生通過畫線段圖得出20m、25m小路的栽樹棵數，再計算出30m、35m小路的栽樹棵數，最后引導學生觀察棵數、間隔數，發現規律。

這兩種教學方法都注重收集多種不同的數據進行歸納，體現了推理歸納的一般方法。雖然兩種方法都能得出一條路的兩端都栽時“棵數=間隔數+1”的規律，對于學生個體來說，第一種方法學生只通過一個數據就得出了結論，沒有經歷歸納推理的全過程;第二種方法雖然有多個數據支撐，但都是按教師的要求發現的，學生的自主體驗不夠。

教學時，最好讓學生經歷一個完整的歸納過程。當學生研究了一個或兩個數據后，教師引導學生思考：“僅用這幾個數據得出這樣的結論，你們覺得可靠嗎？有沒有更多的數據來證明？”教師啟發學生選擇多個不同的數據進行探究，既能讓學生經歷歸納的一般過程和步驟，又滲透了歸納思想——一個特例不足以說明問題，多個不同的例子才能揭示規律，從而讓學生在發現規律的同時掌握歸納的基本思想方法。

三、關注思維差異，明晰模型思想

“植樹問題”中最重要的數學思想就是模型思想。針對植樹問題的三種情況，即“兩端都栽”“只栽一端”與“兩端都不栽”，教材都是通過畫線段圖，讓學生把“點”（樹）與“線”（間隔）一一對應起來，發現栽樹的棵數和間隔數之間的關系，從而經歷模型建構的過程，建立植樹模型。

在實際學習中，學生思維的差異性決定了他們解決問題的個性化。有的學生在頭腦中已經形成植樹表象，他們直接用數進行推理，如栽2棵樹，形成1個間隔，栽3棵樹，形成2個間隔等;有的學生需要借助實物（小棒、圓片等）模擬植樹;還有的學生通過畫線段圖發現規律;等等。教學時，教師要用好教材，但不能要求學生一律按教材的方式畫線段圖建模，而應充分尊重學生的思維差異，讓他們自主選擇寫一寫、擺一擺、畫一畫等方式來理解、表達“段點”關系;同時，要給學生展示交流的機會，一方面給學生分享不同方法的機會，讓他們通過觀察比較，感受到無論采用哪種方式，發現的規律都是一樣的;另一方面突出線段圖的優越性，讓他們體會到線段圖能直觀、清晰、簡潔地表現出棵數與間隔數的關系。這樣能較好地處理個性與共性的關系，讓學生通過觀察、分析、判斷、抽象、概括等數學活動，建立植樹模型。

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。在現實生活中類似的問題還有很多，比如在公路兩旁安裝路燈、鋸木頭、架設電線桿、設計橋墩等，這些問題情境中都隱含著總數和間隔數之間的關系。教師在教學時可以設計豐富的現實問題情境，讓學生在實踐中進一步體會模型思想解決問題的優越性，積累用數學知識解決實際問題的經驗。

（作者單位：黃岡市黃州區赤壁街道中心學校）

責任編輯? 張敏