觀念統(tǒng)領建構聯(lián)系感悟思想

張曄

大觀念統(tǒng)整的單元整體教學突破常見的教學內容邏輯，按照知識體系的建構順序展開，學生在學習所有知識點后再解決綜合性問題。這樣的教學以驅動性大問題的解決過程為線索組織教學結構，為基礎性、結構性的教學內容與生發(fā)性教學內容的緊密結合提供可能。

一、統(tǒng)整教學內容，讓知識結構化

大觀念統(tǒng)整的單元整體教學要發(fā)揮“結構”與“聯(lián)系”的作用，將知識有機地結合起來，幫助學生領悟知識背后蘊含的數學思想方法，并將其遷移應用于新情境中，以促進他們的意義理解和自主遷移。

三角形面積公式的推導和梯形面積公式的推導都可以用“倍拼”和“割補”的方式進行轉化，將這兩個內容整合在一起學習，有利于學生感悟兩種圖形面積轉化過程的內在聯(lián)系，凸顯轉化思想，并使探索材料的利用更加充分。教學中，筆者將“三角形和梯形的面積”第1課時目標定為：經歷三角形和梯形面積的探究活動，體驗“倍拼”轉化方法的應用，感受三角形和梯形面積轉化中的通理通法;掌握三角形和梯形面積計算公式，并能正確計算。第2課時（“還有別的推導方法嗎？”）目標定為：用多種“割補”方法推導三角形和梯形面積公式，積累面積公式推導經驗，感悟數學文化。

“倍拼法”屬于非等積轉化，要求學生面對一個圖形的問題，想到虛構另一個與之全等的圖形，不僅要達到二者合拼成規(guī)則圖形的目的，還要方便計算時“消去”這個增加的圖形面積，這是對學生空間觀念的新挑戰(zhàn)。由此，筆者團隊設計了本單元的開啟課——《數面積》，讓學生主動運用“割補法”“倍拼法”將未知圖形轉化成已知圖形，進一步體驗“數方格”在探究圖形面積中的應用。“倍拼法”的難點不在于操作，而在于“怎么想到的”，這是面積公式推導的落腳點。基于此，筆者沒有讓學生動手去拼，而是要求學生思考后把想法畫在方格紙上，利用數形結合思想推導面積計算公式。在圖形轉化后，筆者首先引導學生理解轉化后形成的平行四邊形面積是三角形的兩倍;其次引導學生進行公式的演繹推理，將平行四邊形面積公式中的元素替換成與之對應的三角形中的元素，從而得到三角形的面積計算公式。整個過程就是一種“等量代換”。

以上推導圖形面積公式的數學活動經驗需要在“做”中積淀，它是一個逐步積累的過程，是被逐步啟發(fā)、優(yōu)化的。在推導平行四邊形面積公式時，筆者給學生提供了“轉化—找聯(lián)系—推導公式”的基本思路，幫助學生理解和遷移知識。在探究三角形面積公式時，筆者提供方格背景，在其上刻畫出三角形的量性特征，使學生在研究中有具體的數量可以把握，降低抽象性。學生經歷“倍拼法”轉化及推導三角形面積公式的過程，有利于后續(xù)自主探究得出梯形面積公式。再次探究三角形和梯形面積時，筆者提供方格背景，讓隱藏的高線與中位線顯性化，從而降低操作與驗證的難度。學生有上一節(jié)課的學習經驗，不僅能用“倍拼法”，還能用“以盈補虛”的方法進行轉化，從而推導出三角形和梯形面積公式，學生又一次經歷了轉化及推導公式的過程，積累了基本活動經驗。

二、統(tǒng)整數學方法，讓思維有深度

《多邊形的面積》這個單元有一個建構知識內在聯(lián)系的點——梯形面積公式。在拓展課上，教師將梯形面積公式與其他圖形面積公式的推導有機整合，可以強化學生對公式之間關聯(lián)的理解，使學生明晰“通用公式”的通性，感受數學的魅力。

筆者設計了兩個教學環(huán)節(jié)：一是重構梯形面積公式與其他圖形面積公式之間的聯(lián)系，二是在拓展練習中促進學生思維走向深刻。課上，筆者首先出示等底等高、形狀不同的三個梯形（如下圖），引導學生通過觀察發(fā)現這些梯形的面積相等。

接著，筆者引導學生思考像這樣面積相等的梯形能畫出多少個，學生合作探究發(fā)現這樣的梯形有無數個。然后，筆者展示學生補畫的梯形，遮蓋該梯形的上底并提問：如果下底是4.5厘米，上底是多少？從而得出：求梯形的一條底，必須得把上底和下底看成一個整體。以此為引，筆者提出“上底最小可以是多少？這是一個怎樣的圖形”的問題。在學生想象出是無限接近三角形的圖形時，筆者用幾何畫板演示上底長度變?yōu)?，梯形變成了三角形的過程。此時學生發(fā)現三角形（即上底為0的梯形）面積公式S=（a+b）h÷2=（a+0）h÷2=ah÷2。最后，筆者又通過幾何畫板演示上底等于下底時，梯形變成了平行四邊形，并引導學生探究得出：當a=b時，平行四邊形的面積S=2ah÷2=ah。同理，如果是直角梯形，還可以推算出長方形的面積公式。

以上教學，教師用幾何畫板分別演示將梯形變成三角形、平行四邊形、長方形、正方形的過程，引導學生經歷了梯形面積公式與其他4種圖形面積公式的轉化過程，理解了梯形面積公式是其他4種圖形面積的“通用公式”。這樣的重構與整合，使學生的頭腦中構建出一幅知識網絡圖，促進了學生幾何直觀的發(fā)展。

在拓展環(huán)節(jié)，筆者出示S=（10+5）×5÷2，提問學生：看到這個算式，你想到了哪些圖形？下面4個組合圖形（如下圖）的面積，哪些可以用這個算式表示。

學生獨立思考后討論、交流得出：A、B都可以利用公式計算得出;C是一個鈍角三角形，面積是5×（10+5）÷2;D是一個長方形，面積是（10+5）×（5÷2），4個都符合題目要求。這樣設計的目的是引導學生“以式想形”，多向溝通圖形之間的聯(lián)系，促進學生空間觀念和發(fā)散思維的發(fā)展。

三、統(tǒng)整數學文化，讓認知更豐富

筆者通過深入挖掘《多邊形的面積》這一單元蘊含的數學文化資源，建構學習線索，找到合適的切入點，將數學文化學習與探求新知融合，組織學生進行數學探究活動。以魏晉時期數學家劉徽發(fā)展并系統(tǒng)化了的重要方法——“出入相補”作為文化主線一以貫之，讓大單元整體教學承載更多的教育價值。

筆者借助“出入相補”這一核心問題的探究，以不同的方式將數學文化嵌入各個課時的學習中。在《平行四邊形的面積》總結環(huán)節(jié)，筆者引導學生回顧“轉化—找出關系—推導公式”的學習過程，將“青朱出入圖”以微課形式呈現，向學生介紹“出入相補”原理，重在使學生初步體驗轉化的方法。在學習“三角形和梯形的面積”時，學生先后經歷“倍拼法”和“割補法”的探究過程，筆者適時引入“出入相補”，并向學生介紹《九章算術注》中有關邪田和箕田的面積公式推導方法，重在對轉化方法的拓展。這樣做既深化了學生對轉化思想的理解，又傳承了數學文化。

（作者單位：黃石市廣場路英才學校）

責任編輯? 劉佳