借助數形結合，為抽象數學“搭橋”

林欽

數形結合思想將“數”與“形”相互轉化，使復雜的問題簡單化、抽象的問題直觀化，而且能夠變抽象的數學語言為直觀的圖形，有助于學生理解數學知識，有助于拓展學生的數學思維，提高學生解決問題的能力。通過以形析數、以數解形、數形相融等方式，教師可以使復雜的問題簡單化、抽象的問題直觀化，提升學生的思維能力。

一、以形析數，變抽象為形象

在數學教學中，教師借助直觀形象的幾何圖形、位置關系來分析抽象的數學語言、數學概念、數量關系，降低數學解題難度，培養學生的形象思維。

1.以形助數，清晰地認識數

“數”與“形”是一種特定的對應關系，在小學數學教學中有的數量比較抽象，學生難以把握，而“形”具有直觀、形象的特點，能夠表達具體形象的思維，在解決問題中起著直觀可視的作用。為此，教學時我們可以把“數”與“形”的對應關系找出來，借助直觀圖形來認識抽象的數，幫助學生樹立用直觀圖形來學習數學的意識。例如，在教學“1～5的認識”時，教師從生活中的具體事物入手，引導學生觀察主題圖，從中找到數學的生活原型，如1只狗、2只鵝、3只鳥、4只雞、5個南瓜等，再讓學生把這些具體事物抽象為用數字1、2、3、4、5表示。接著，為了凸顯這些數的本質特征，反映數量逐個增加的過程，教師可以借助幾何直觀，引出這些數可以用1根小棒、2根小棒、3根小棒（擺成三角形）、4根小棒（擺成正方形）、5根小棒（擺成五邊形）表示。為此，用圖形表示數，把抽象的數量的增加轉化成學生眼睛看得見、手摸得到的真真切切的小棒的增加，幫助學生抓住數學知識的本質，建立數的概念，培養學生的數感，以形助數，實現數與形的自然融合。

2.以形析數，厘清數量關系

小學生理解能力與分析能力有限，在面對一些復雜問題時往往不知如何下手，很難厘清這些復雜問題中的數量關系。而借助數形結合，則可讓復雜的問題簡單化、具體化，在數學教學中，依據數學題目的文字描述，教師可以引導學生把數量關系轉化成簡單圖形，從而降低數學解題難度。例如，在解決分數知識相關問題時，有這樣一道題：“有一箱蘋果，小明一家吃了3/4，還剩下18個蘋果，這箱蘋果總共有多少個？”由于學生倒推能力較弱，加上里面出現了分數，學生解題時往往茫然無措。這時，教師可以先畫一個正方形，相當于題目中裝蘋果的箱子，然后將正方形平均分為4部分，其中三部分涂上紅色，代表已經吃掉的3份，剩下的一份不涂顏色，告訴學生是18個蘋果。這樣，學生知道剩下的1/4是18個蘋果，自然用18÷（1-3/4）計算出正確答案。原本復雜的數學問題，在教師所畫圖形的引導下，學生就能正確梳理其中的數量關系，從而解答問題。

二、以數解形，變感性為理性

在小學階段，學生在學習計算圖形的周長、平面圖形的面積、立體圖形的體積時，通常運用以“數”解“形”的方法，把“形”轉化成“數”的形式，用已學過的知識將圖形用代數式表達出來，再根據條件和結論的聯系，利用相應的公式進行代數運算。

例如，在教學“三角形的分類”一課時，教師引導學生仔細觀察三角形中角的度數大小與三條邊的情況，辨別三角形的種類。然后，教師放手讓學生獨立思考：如何分類？分類標準是什么？再組織學生小組交流，最后指名匯報。這時，學生可能會采取各種各樣的分類方式，教師再引導學生以角為標準進行分類。這樣，學生通過親身體驗、操作測量，充分感知不同類型的三角形的角的度數所包含的圖形特征。通過“數”和“形”的結合，讓學生辨別三角形與角的大小之間的關系。這樣，學生只要結合三角形內角和與已知三角形中兩個角的度數，都能借助角的度數去判斷三角形的種類問題。學生一看到相關三角形的度數時，馬上能聯系到不同的三角形的特征，在頭腦中建立起三角形的不同模型。從而感受以“數”解“形”的過程，形成良好的數感，也培養了邏輯思維能力。

三、數形相融，變現象為本質

“形”與“數”相融就是指在數學學習中，需要“形”與“數”互相滲透融合，不僅從“數”聯想到直觀的“形”，而且還由直觀的“形”變成“數”，從中找出“形”與“數”內在的聯系，做到看“形”思“數”，見“數”想“形”。

例如，在計算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32時，按照一般的方法，學生可能先進行通分，再按同分母分數加法的法則計算出結果。從題目中可以看出，這不是一般意義上的計算題，應透過一般現象找到本質的東西來加以解決。為此，教師應引導學生認真觀察每一個加數的特點，把每一個加數通過圖1表現出來。

通過觀察圖1中各加數的關系，學生很快就發現，計算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，實際就是計算1-1/32。教學中，教師引導學生認真觀察圖形，學生卻不明白圖形要表達的意思，只要在圖1中標上數據，當“數”與“形”相互融合時學生就能一目了然，從而順利解決問題。

又如在教學“組合圖形的面積”時，我們可以從生活情境導入，借助圖形，讓學生去發現，去探究，去解決問題，有效地培養學生的直覺思維與求異思維。在鞏固練習環節，教師出示這樣的一道練習題：如圖2，大家能否算一算，制作一面中隊旗要用多少布？面對組合圖形的面積，學生不可能有現成的公式進行計算，必須思考如何進行割補轉化。

第一種：分割成兩個梯形，第二種：分割成一個長方形和兩個三角形，第三種：添補成一個大長方形減去三角形。

……

在探究、解決問題的過程中，借助數形結合，可以把復雜內容具體化、形象化。學生在對直觀圖形的觀察、分析、轉化等一系列過程中，讓解決問題的方法多樣化，從而提高思維能力。

（作者單位：福建省福清市教師進修學校）