整體推進定序列 多元途徑破難點

任寧 李亦兒

大概念視角下的單元整體教學，是基于學習者和數學核心概念的需求，對教材內容、教學資源重新進行優化與組合，以結構化的學習活動推進組織教學。我們以人教版數學教材四年級下冊“運算定律”單元為例，重新梳理教學序列，關注學科內知識的整合，通過多元途徑突破學習重難點，注重學生對大概念的理解和應用，以期達成學生整體素養的提升。

一、整體教學前置思考

（一）整體思維視野下的單元序列重組

國內教材關于運算定律單元編排有兩種基本思路：一種是以運算形式為線索，先學習加法運算定律，再學習乘法運算定律;另一種是以運算律為線索，先學習交換律，再依次學習結合律、分配律。

人教版數學教材四年級下冊“運算定律”單元是以運算形式為線索的。在實際教學過程中，學生研究完加法交換律后，很自然地會產生疑問：加法有這樣的運算定律，那么其他運算中是不是也存在這樣的定律呢？此時安排探究活動環節，學生容易通過遷移發現乘法交換律，這樣的學習序列更符合學生的學習心理需求。基于這樣的思考，本單元學習內容序列調整為：交換律—結合律—交換律、結合律的應用—分配律—分配律練習—減法、除法性質—運算律的應用—拓展（高斯求和、分配律）—整理與復習—綜合練習。

（二）大概念指引下的單元整體教學思考

加法交換律和結合律的知識本質是加法的意義，而加法的源頭實際上是自然數的計數。如“6+5=11”，就可以解釋為“先數左邊的6顆糖，再數右邊的5顆糖，一共有11顆糖”，而“5+6=11”就可以解釋為“先數右邊的5顆糖，再數左邊的6顆糖，一共有11顆糖”，所以“6+5=5+6”。這就是自然數計數原則中的順序不相干原則。加法交換律和結合律對算法的側重點不同，算理上的聚焦點都是相同的，即“加法運算結果與其運算順序無關”。乘法是加法的簡便運算，所以乘法交換律和結合律的本質也是乘法（加法）的意義，乘法分配律涉及兩級運算，但其本質依舊是和乘法意義相關，乘法運算結果與其運算順序也無關。

綜上所述，貫穿運算定律單元的大概念就是運算意義（包括加法的意義和乘法的意義）。在運算定律教學中，乘法分配律本身的理解并不難，但因其變式較多，學生容易落入“一學就會、一做就錯”的陷阱，因此成了單元學習的難點。剝去運算律的多重“外衣”，基于運算意義的底層邏輯幫助學生理解各個運算律特別是分配律及其變式的意義，突破學生的學習難點，是本單元教學的可取路徑。

二、多元途徑突破難點

（一）多元表征層層遞進，豐富概念表象

人教版數學教材中用文字和字母兩種方式對乘法分配律進行表征。為了讓學生更好地識記、理解乘法分配律，教學中教師可以引導學生采用多元表征方式，多角度豐富對乘法分配律的概念表象。

教師出示：14×12的點子圖及算式，長方形周長計算。

師：請同學們觀察算式，你有什么發現？

生：第一題，我發現一種是分開來算，另一種是合起來算。

生：分開來算，就是先算10個14，再算2個14，最后相加;合起來算，就是把10個14和2個14合起來，等于（10+2）個14。

“分開來算”和“合起來算”，雖然不太嚴謹，但這是貼近學生認知水平的語言表征方式，教學中教師應該提倡學生用這種“不嚴密”的表達去理解抽象的數學概念。

教師出示兩道算式：（1）（40+4）×25，（2）47×6+6×53。

師：說說你是怎么想的。

生：第（1）題，先用40與25乘，再用4與25乘。

師：你能上來用箭頭表示一下，讓別人看得更清楚嗎？

（學生畫箭頭圖，用25分別連接40和4）

生：第（2）題，我先把相同的因數6圈出來，放在括號外面，然后把47和53寫在括號里。

畫箭頭、圈一圈等圖示表征方式，能使學生更直觀地記憶和理解乘法分配律的兩種結構形態，結合之前的文字表征、字母表征、語言表征，幫助學生豐富乘法分配律的概念表象。

（二）多重理解反復穿行，促進概念理解

如果僅從識記結構的角度來看，學生無須花太多時間就能記住乘法分配律的“外形”。但是乘法分配律變式多，遇到結構不完整的就容易算錯，且和乘法結合律容易混淆，如典型錯例“26×99=26×（99+1）”和“25×（4×20）=（25×4）×（25×20）”。要更好地解答這類題目，僅僅記住結構是不夠的，需要引導學生從乘法意義的角度去理解乘法分配律，用“幾個幾”來表述乘法分配律的兩種表征形式的轉換，從結構理解水平提升到意義理解水平。

教師出示問題：根據乘法分配律，在□里填上適當的數。

40×25+4×25=（□+□）×25

師：說說你是怎么想的。

生：把等式左邊的相同因數25寫在了右邊括號的外面，那么“40+4”就應該寫在括號里面。

師：你能解釋一下嗎？

生：等式左邊表示的是40個25加4個25，所以右邊就是（40+4）個25。

[教師出示：125×（40+8）=125×40+8]

師：你覺得這道題對嗎？

生：不對。因為等式左邊表示（40+8）個125，所以右邊應該是40個125加8個125，合起來才是48個125，所以8后面要添上“×125”。

師：從合起來算到分開算我們要注意什么？

生：括號外的數要分別和括號里的兩個數相乘，再相加。

教學中，結構理解和意義理解兩種形式不可偏廢，宜相互促進。當學生關注乘法分配律的結構形式時，教師要及時引導學生用“幾個幾”從乘法意義的角度進行解釋。當學生用“幾個幾”表述乘法分配律的算式轉換時，教師要引導學生關注算式“外形”的變化，促進學生對乘法分配律的真正理解。

（三）多向溝通適度拓展，注重思維提升

1.多重變式，提升思維層級

針對乘法分配律變式多、與乘法結合律容易混淆這一學習難點，需要在練習課中加強題組對比，利用“幾個幾”的乘法意義來溝通、突破。

教師出示兩道算式：（1）25×（4+20），（2）25×（4×20）。

師：第（1）題大家都能做對，但是第（2）題有以下不同答案，你們同意哪個？

①25×4+25×20，②（25×4）×（25×20），③（25×4）×20。

生：第③個，因為它是80個25。

生：第①個是在算第（1）題。

師：這題能用乘法分配律嗎？

生：應該用乘法結合律，用分配律的方法算出來的得數和原來的不一樣。

師：乘法分配律和乘法結合律的式子看起來有點像，誰有什么好辦法，讓大家一眼就分辨出來嗎？

生：括號里是加號的時候用乘法分配律，括號里是乘號的時候用乘法結合律。

生：乘法分配律的式子有4個數，而乘法結合律的式子只有3個數。

乘法分配律和乘法結合律“外形”類似，學生極易搞錯。教師通過“計算原式得數、算式要素比較、運算意義理解”等多種途徑，對兩種運算定律進行區分，從而加深對乘法分配律的理解。

教師出示3道算式：（1）36×99+36，（2）36×99，（3）29×15+29×18+33×71。

生：第（1）題可以先在第二個36后面補上“×1”，這樣就可以看做是99個36加1個36，然后提取相同因數36，就是（99+1）個36，算出來是3600。

生：第（2）題把99拆成100-1，然后把99個36轉化成（100-1）個36，等于100×36-1×36，算出來是3564。

生：第（3）題要先把前面兩組數進行合并，29×（15+18）=29×33，然后再和第三組數合并，29×33+33×71=（29+71）×33=3300。

本教學環節呈現了“需要補1”“兩次提取相同因數”等乘法分配律的多種變式，依然可以引導學生以不變應萬變，利用“幾個幾”的乘法意義進行解釋。

2.算用溝通，使知識關聯

乘法分配律并不是學生在四年級下冊才第一次接觸，兩位數乘一位數筆算、長方形周長計算公式、相遇問題，都有乘法分配律的影子。

師：看，這是乘法口算和求長方形的周長（配圖略）。你能看到乘法分配律嗎？

生：12×3的口算，分開來算10×3和2×3，合起來就是12×3。

生：長方形的周長計算方法，可以是6×2+4×2，也可以是（6+4）×2。

鄭毓信教授指出：基礎知識不應求全而應求聯。學習了乘法分配律之后，教師可以引導學生發現之前所學知識中隱藏的乘法分配律，感知知識之間的聯系，激發學生學習的興趣。

三、測查數據彰顯實效

（一）解題能力明顯增強

表1后測數據顯示，對于基本類型的題目，實驗班和對照班差異不明顯。對于結構不完整或者其他變式的題型，實驗班優勢明顯。

（二）深度理解概念內涵

對于“在我們學過的一些數學知識里，會存在乘法分配律的現象。你能舉個例子，并進行解釋說明嗎？”這個問題，對照班只有5.6%的學生能回答，而實驗班有24.4%的學生會以舉例、文字描述、字母式的形式，對概念進行解釋說明。由此可見，教學中教師提供豐富的乘法分配律相關素材，對學生深度理解概念起到了一定的作用。

乘法分配律概念內涵理解可以劃分為三個層次：第一層次是概念性記憶水平，主要表征為識記結構，記住乘法分配律的多元表征形式;第二層次是說明性理解水平，主要表征為理解意義，能借助乘法意義對乘法豎式進行解釋并執行運算;第三層次是探究性理解水平，主要表征為掌握概念內涵，能夠把乘法分配律和長方形周長計算其他知識進行溝通。本課教學后三個層次水平的學生占比分別為20%、40%、40%，學生的理解水平呈現較好發展態勢。

立足大概念的單元整體教學，要從提升學生核心素養出發，構建新的單元教學體系，以單元的視角發現兒童的認知結構與數學知識結構之間的關聯，根據兒童的認知特征和實際水平改變教材序列，豐富數學概念的表征形式，使小學數學教學更具整體性、綜合性和創造性，有效突破學習重難點，讓學生真正理解知識的本質內涵。

（作者單位：浙江省寧波市奉化區錦屏中心小學浙江省寧波市奉化區居敬小學）