結構化教學：讓數學學習充滿生長的力量

錢蔚

“圓柱的體積”是蘇教版數學教材六年級下冊的教學內容，是在學生學習了圖形的認識、圖形的面積以及長方體、正方體的表面積、體積后需要學習的幾何知識。教材是這樣安排的：復習長方體、正方體的體積公式，引導學生猜想圓柱與長方體、正方體體積之間的關系，引發學生思考、驗證，推導出圓柱體的體積公式。教材做出這樣的安排，是基于學生認知水平和已有經驗，不斷豐富對圖形轉化的體驗，從而加深對公式的理解。我們在結構化教學思想的指導下，基于學生，立足教材，開展結構化教學設計。以整體視野尋找知識間內在的、縱橫交錯的本質聯系，使學生在學習過程中不僅學會知識、理解知識，還形成知識結構、方法結構，從而發展學生的結構化思維，提升學生的思維品質。

一、激活知識經驗，讓認知結構悄然發生

我們知道，一切學習都是建立在學生已有認知基礎之上的。認知教育心理學家奧蘇貝爾說：“如果我不得不將教育心理學還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么。”結構化學習應“基于知識整體單元的發生與發展，凸顯知識元素間的溝通與聯系”，“是將教材的學科結構轉變為學生的認識結構的學習，是學生的認知發展規律與知識發生規律相融合的學習”。為此，在結構化教學中，教師的任務之一是激活學生的經驗，幫助學生熟悉知識的展開結構，從而讓學生的認知結構悄然形成。

【教學片段一】

師：前幾節課研究了圓柱的認識和表面積，猜想這節課要研究什么內容了？你為什么這么猜？

生：要學習圓柱的體積了，根據上學期學習長方體、正方體的內容順序猜的。

根據學生的回答教師出示圖1。

師（小結）：在學習長方體和正方體這一單元時，我們經歷了這樣一個學習序列，由此經驗可以猜想到圓柱的學習序列也許就是這樣的。經驗很重要，它能讓我們產生猜想。

（板書：經驗，猜想）

師：根據以往學習經驗，再猜想下，我們要研究哪些問題？

生：圓柱體積怎么求呢？有沒有像長方體、正方體那樣的公式？

生：圓柱體積與什么有關？

生：圓柱體積與長方體體積有什么聯系？

【思考】在這個教學片段中，教師沒有開門見山出示“圓柱的體積”課題，而是讓學生依據學習經驗猜想學習內容。如此設計，能讓學生打開思維的閘門，主動搜索，積極聯系，使學生從整體上感悟“立體幾何圖形”學習的知識結構。隨著學習的進一步深入，這些知識結構將逐步轉變為學生個體的認知結構。“我們要研究哪些問題？”這個問題，不僅起到培養學生問題意識的作用，更能啟發學生產生積極的聯想，讓知識結構在學生的頭腦中悄悄地形成。

二、探尋結構關聯，為深度思維導航

數學是思維的科學，努力促進學生思維的發展是數學教學的重要目標。事實上，在解決問題的過程中，并非只有獨立的某個知識在發揮作用，而是整個知識結構在起作用。因此，教師要幫助學生建立合理的認知結構，發展結構化思維。特級教師許衛兵說過，當學習總是在結構關聯中展開，當問題解決、探索發現總是不斷被結構性的力量“征服”時，結構化思維的種子就會在播種、萌芽、破土、生長后開花結果。

【教學片段二】

師：圓柱體積怎么求呢？看看圓柱的樣子，根據以往學習的經驗，你有什么想法？

生：是否可以把圓柱轉化成長方體？

師：為什么會有這樣的猜想？

生：在學習圓的時候，將圓這個曲線圖形轉化成長方形研究了它的面積，研究圓柱這個曲面圖形我就突然有了這個猜想。

（如圖2，教師利用多媒體幫助學生回憶圓面積的推導過程）

師：學習經驗真的很重要，它又一次讓我們有了猜想。這個猜想是否正確？怎么辦？

生：我們可以試一試。

（學生以小組為單位動手用學具操作驗證，然后多媒體展示，并讓學生感受到：沿著底面半徑和高切分，平均分的份數越多，越接近長方體，如圖3）

師：根據以往的經驗，轉化成功后我們該干什么？

生：要尋找轉化前后的聯系。

師：我們今天研究的是圓柱的體積，圓柱被我們轉化成了長方體。那么，我們在尋找聯系的時候，要從哪些方面去找呢？

（教師根據學生的觀察與發現形成圖4）

【思考】在這個教學片段中，圓柱的體積在經過“鼓勵猜想、動手實踐、尋找聯系”這三個環環相扣的學習環節后，體積公式呼之欲出。“鼓勵猜想”是教師為學生搭建經驗與新知產生關聯的橋梁。因為在圓的知識學習過程中，學生經歷了“化曲為直、化圓為方”的學習過程，這一經歷能有效地誘發學生將圓柱轉化為長方體的猜想。“動手實踐”是猜想驗證的必要環節，也是“尋找聯系”環節的基礎。有的教師為了省時省力，在這一環節采用教師演示或多媒體演示的方式進行。教學結果表明，這些都不能使學生真正體驗感知圓柱與長方體之間的關聯，只有讓學生做一做、看一看、想一想之后，才能建構起數學知識的完整樣態，促進數學思維的深度發展，從而培養學生的數學核心素養。

三、反思探究過程，幫助學生生成結構

學生依循教師“教結構”的步驟獲得了新的知識結構，也在親歷數學探究的過程中感受了方法結構，但這對于小學生而言還是模糊的。教學中，教師要有意識地設計回顧反思探究知識的環節，幫助學生生成結構。

【教學片段三】

師：千金難買回頭看，“圓柱的體積”這個新課題我們是怎么研究成功的？

（教師根據學生回答完善板書：依據經驗—提出猜想—動手驗證—尋找關聯）

師：是的，學習是不斷積累經驗的過程，經驗越多，越能發現知識之間的聯系、學習方法之間的聯系。因此，有這樣一句話送給同學們：數學知識之間的聯系是構建思維體系的骨架。希望大家在面對一個新知識的時候，先想一想，它會與我們學過的哪些知識有聯系？可以用我們學過的哪些方法來研究？這樣的學習，會使你變得越來越聰明。

【思考】在得出圓柱的體積公式之后，教師并沒有馬上進入練習環節，而是追問學生：我們是怎么研究的？讓學生通過回顧、梳理、交流，明確學習的過程結構。認識到這種過程結構的存在，學生就可以在以后的學習中主動遷移和應用這一過程結構。

數學，常常被稱為“結構的科學”。教學中，我們不僅要教給學生結構化的知識，更要教給學生獲取結構化知識的方法。

（作者單位：江蘇省無錫市查橋實驗小學）