基于高維隨機矩陣理論的配電網(wǎng)實時故障分析方法

彭金燦,陳盛開,張曉華，張乘銘

(1.東北電力大學，吉林 吉林 132012；2.廣東電網(wǎng)有限責任公司廣州市供電局，廣州 510620；3.國網(wǎng)延邊供電公司，吉林 延吉 133000；4.河海大學，南京 211100)

配電網(wǎng)是連接供電端和用戶之間的紐帶，除了傳統(tǒng)的電力傳輸功能外，它也是資源優(yōu)化配置的載體[1]。由于分布式發(fā)電具有隨機性與間歇性，并受智能配電網(wǎng)多元化負荷的不確定因素影響,增加了智能配電網(wǎng)網(wǎng)絡結構的復雜性，改變了配電網(wǎng)的故障特性[2]，因此，配電網(wǎng)運行狀態(tài)實時故障分析檢測對于負荷預測、故障診斷及隔離保護具有重要意義。文獻[3]中的多智能體系統(tǒng)是利用基于知識的推理和基于模型的自動解釋系統(tǒng)，結合廣域故障錄波信息計算相關區(qū)域故障的差值電流，但在計算不同條件下的多個設定值來實現(xiàn)自適應檢測時，存在計算量大、設定值難以協(xié)調的問題；文獻[4]利用主成分分析法與多類相關向量機的故障診斷策略進行故障樣本信號處理，但此方法需要對復雜故障信號進行較長時間的降維處理，加大了該算法的判定時間；文獻[5]利用電壓與電流變化速率構建回路阻抗矩陣，對配電網(wǎng)運行狀態(tài)進行評估，雖然滿足智能電網(wǎng)大數(shù)據(jù)的實時同步性，但存在采樣信息種類多且對數(shù)據(jù)精確度要求高的缺點；文獻[6]基于大數(shù)據(jù)的自適應免疫粒子群算法對智能電網(wǎng)狀態(tài)遠程監(jiān)測，實現(xiàn)故障冗余信息的篩除和時間序列的同步，但診斷具有一定局限性，即判別規(guī)則多基于物理信息且要求種類繁多，因此信息識別的準確率難以得到保證。

本文提出的方法依據(jù)高維隨機矩陣理論的單環(huán)定理與馬申科-百思圖(Marchenko-Pastur,M-P)定律，以平均譜半徑與最大特征值作為相關指標，通過對電網(wǎng)內部特性統(tǒng)計計算，呈現(xiàn)實際數(shù)據(jù)整體相關性趨勢，從而實現(xiàn)電網(wǎng)運行狀態(tài)分析。該方法不依賴物理模型，采用電氣量從數(shù)據(jù)驅動的角度分析電網(wǎng)運行狀態(tài)，可以減少采集數(shù)據(jù)源的種類。

1 隨機矩陣理論與大數(shù)據(jù)實時處理

隨機矩陣是指元素都是隨機變量的高維矩陣[7]。對于任何具有實數(shù)特征值的M×M維隨機矩陣A，以下函數(shù)為矩陣A的經驗譜分布函數(shù)( empirical spectral distribution，ESD)：

(1)

1.1 M-P定律

M-P定律可用于來描述大維樣本協(xié)方差矩陣的特征值分布，具有較強的適用性。設X={xij}為m×n階非埃爾米特(Hermitian)隨機矩陣，矩陣中每個元素滿足獨立分布。當m,n→∞，且w=m/n∈(0,1]時，X的樣本協(xié)方差矩陣SN的密度函數(shù)f(λSN)中的經驗譜分布具有非隨機收斂性：

(2)

1.2 單環(huán)定理

(3)

由單環(huán)定理可知，高維非埃爾米特矩陣Y的特征值λi分布于內環(huán)半徑(1-w)L/2與外環(huán)半徑1之間。

1.3 線性特征值統(tǒng)計量

線性特征值統(tǒng)計量可以反映特征值分布情況。平均譜半徑(mean spectral radius，MSR)是線性特征值統(tǒng)計量的其中之一，定義為復平面上矩陣所有特征值分布半徑的平均值：

i=1,2,…,M

(4)

式中：λi(i=1,2,…,M)為矩陣M個特征值；|λi|為在復平面上的分布半徑。

1.4 大數(shù)據(jù)實時處理方法

故障狀態(tài)監(jiān)測的目的是對最新數(shù)據(jù)進行處理，快速發(fā)現(xiàn)異常模式的數(shù)據(jù)。時間滑動窗口模型是一種有效分解的實時處理方法。統(tǒng)計一個滑動時間窗口長度內配電網(wǎng)運行狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)異常出現(xiàn)時間與數(shù)量，設計滑動窗口處理模型，見圖1。

圖1 電網(wǎng)狀態(tài)異常檢測滑動窗口模型

2 電網(wǎng)系統(tǒng)故障分析監(jiān)測

應用分析時間序列數(shù)據(jù)的方法-滑動窗口法，可以實時分析不同時刻隨機矩陣系統(tǒng)狀態(tài)，通過觀察特征值的分布規(guī)律，檢測電網(wǎng)是否出現(xiàn)了由正常狀態(tài)向故障狀態(tài)發(fā)展。為了監(jiān)測電網(wǎng)的運行狀態(tài)，利用隨機矩陣理論的單環(huán)定理、M-P定律和線性特征值統(tǒng)計量從多角度分析和監(jiān)測電網(wǎng)的運行狀態(tài)。配電網(wǎng)正常運行時，每個節(jié)點都會展示出其分布符合高維隨機矩陣單環(huán)定理和M-P定律的特征值點。因此，檢測高維時空狀態(tài)監(jiān)測矩陣中是否存在不規(guī)則特征值，就可以完成對配電網(wǎng)運行狀態(tài)的監(jiān)測分析。

2.1 數(shù)據(jù)預處理

數(shù)據(jù)預處理包括特征選擇、網(wǎng)絡關聯(lián)隨機矩陣構造。在保證智能配電網(wǎng)狀態(tài)監(jiān)測及時性和準確性的前提下，特征選擇就是選擇合適的特征監(jiān)測量，最大限度地保證多種故障類型的可靠識別；而網(wǎng)絡相關矩陣是用于定義網(wǎng)絡中各節(jié)點之間以及各節(jié)點與區(qū)域之間的相對關系。

2.2 數(shù)據(jù)融合

數(shù)據(jù)融合首先需對空間上的單個電氣特征量進行一定程度的融合,使這些電氣特征量可以在檢測工作狀態(tài)時融合在一起,構成單個時間段內電氣特征量的狀態(tài)監(jiān)測矩陣；進而在時間序列上進一步拓展數(shù)據(jù)，最終構造出一個高維時空的狀態(tài)監(jiān)測矩陣。

2.3 數(shù)據(jù)分析與可視化

首先采用滑動窗口方法對高維時空狀態(tài)監(jiān)測矩陣進行處理，可以保持各對象相對關系基本不變的前提下，使低維空間呈現(xiàn)出高位數(shù)據(jù)的狀態(tài)，然后利用隨機矩陣理論對降維后的時空狀態(tài)監(jiān)測矩陣進行分析檢測，實現(xiàn)電網(wǎng)運行狀態(tài)的實時判別。

3 基于隨機矩陣理論的電網(wǎng)故障識別方案

3.1 數(shù)據(jù)預處理

a.特征量選取。三相電壓作為配電網(wǎng)基礎數(shù)據(jù)，能夠全面反映配電網(wǎng)的運行狀態(tài)，因此本文選取配電網(wǎng)監(jiān)測節(jié)點的三相電壓幅值數(shù)據(jù)作為特征量元素來構建矩陣。

b.網(wǎng)絡關聯(lián)隨機矩陣構建。利用網(wǎng)絡關聯(lián)矩陣來反映配電網(wǎng)的拓撲結構。其構建過程如下：首先對配電網(wǎng)中的各個節(jié)點進行編號；然后，對于節(jié)點之間的區(qū)域進行編號；最后根據(jù)網(wǎng)絡關聯(lián)矩陣構建規(guī)則建置網(wǎng)絡關聯(lián)矩陣A。

3.2 數(shù)據(jù)融合

假設電網(wǎng)有n≥1個節(jié)點，在任意采樣時刻ti所接收的信號可構成一個列向量xs(ti)=(x1,x2,…,xn)T，按照時間序列導入各個采樣時刻的數(shù)據(jù)，構造高維時空狀態(tài)監(jiān)測隨機矩陣Xs：

(5)

對于傳輸過程中信道噪聲的影響，考慮加高斯白噪聲矩陣與原矩陣進行疊加處理。定義檢測矩陣模型為：

Xs=Xp+μWs

(6)

式中：Xp為原測量矩陣；μ為噪聲幅值；Ws為高斯白噪聲矩陣。

依據(jù)式(6)要選擇合適的噪聲幅值保證計算分析的正確性。

3.3 數(shù)據(jù)分析與可視化

為了能夠將配電網(wǎng)歷史數(shù)據(jù)與實時數(shù)據(jù)進行融合分析，運用滑動窗口法使得高維矩陣降維，定義t時刻監(jiān)控節(jié)點N的電壓數(shù)據(jù)為vNi(t)，則選取滑動窗口長度l為的電壓序列vNi(t)為：

vNi(t)=[vNi(t-l+1),vNi(t-l+2),…,

vNi(t)]

(7)

首先采取指數(shù)差分方程對電壓數(shù)據(jù)進行處理，并且定義t時刻隨機矩陣構建元素為xn(t):

xn(t)=eΔλn(t)=eλn(t)-eλn(t-1)

(8)

式中變量eλn(t)為電壓vNi(t)(λ=1,2,…,n)。

在完成數(shù)據(jù)差分處理后，接著將數(shù)據(jù)xn(t)按照時間順序構成時間監(jiān)測序列xn(t)：

xn(t)=[xn(t-d+1),xn(t-d+2),…,xn(t)]

(9)

然后，按照監(jiān)測節(jié)點號按順序排列構成t時刻行數(shù)為n，列數(shù)為d的監(jiān)測矩陣Xt：

Xt=[X1(t),X2(t),…,Xn(t)]T

(10)

同時根據(jù)隨機矩陣定義可知，該測控矩陣Xt的維度比w滿足：

w=n/d,w∈(0,1]

(11)

(12)

最終得到協(xié)方差矩陣St為：

(13)

式中：對角矩陣Wt包含矩陣St的全部特征值λi

(i=1,2,…,n);矩陣Ut為對應的特征向量矩陣。

3.4 基于隨機矩陣單環(huán)定理與M-P定律的電網(wǎng)運行狀態(tài)判別方法

具體步驟如下。

a.由式(5)、(6)，將仿真所得的量測數(shù)據(jù)構造為高維時空監(jiān)測矩陣Xs。

b.利用滑動窗口法，確定其窗口寬度為d，設定采樣初始時刻t0。

c.由式(10)對高維隨機矩陣Xs采用滑動窗口法進行降維，得到實時監(jiān)測矩陣Xt。

f.由式(4)計算的MSR作為電網(wǎng)運行狀態(tài)監(jiān)測指標，并與式(11)的行列比進行比較；再由(2)式判斷是否特征值分布滿足M-P定律。

g.判斷若MSR值介于行列比w與1之間則電網(wǎng)運行狀態(tài)正常，否則為故障狀態(tài)；若極限特征值滿足M-P定律(2)式中的上下限則判定條件，則電網(wǎng)運行狀態(tài)正常，否則為故障狀態(tài)。

4 算例分析

為了驗證所提方法的正確性和有效性，以IEEE 10機39節(jié)點環(huán)網(wǎng)標準測試系統(tǒng)的仿真數(shù)據(jù)和實際電網(wǎng)量測數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)源進行了如下測試。

4.1 仿真模型

故障模擬過程初始量測量數(shù)據(jù)在電磁暫態(tài)分析軟件仿真軟件PSCAD運行環(huán)境下進行故障模擬過程，得到所需的各種故障類型數(shù)據(jù)，然后運用Matlab算法對仿真數(shù)據(jù)進行處理，分析各種故障診斷結果。

在PSCAD軟件環(huán)境中設置總運行時長周期T=5 s，采樣步長t=50 μs,形成原始數(shù)據(jù)來源，后考慮現(xiàn)實環(huán)境運行條件，對量測生成數(shù)據(jù)結果進行高斯白噪聲疊加；隨機矩陣要求矩陣的行列比為一個合理的定值，這意味著狀態(tài)量在確定后，必須有足夠的采樣點來保證定理的合理性。

4.2 基于單環(huán)定理的配電網(wǎng)狀態(tài)實時監(jiān)測

圖2(a)、(b)分別為系統(tǒng)正常與故障運行時單環(huán)定理圖，其中內環(huán)、外環(huán)用實線表示，特征值用實點表示；隨機矩陣單環(huán)定理可定性分析電網(wǎng)發(fā)生故障時系統(tǒng)整體運行狀況：從兩張圖的比較可以看出，當系統(tǒng)正常運行時，隨機矩陣特的特征值分布于內環(huán)和外環(huán)之間的環(huán)內；當系統(tǒng)發(fā)生故障時，特征值分布于內環(huán)。為了體現(xiàn)該方法對于異常數(shù)據(jù)的免疫能力，本文對節(jié)點3的電壓量測量進行變化處理，在正常運行參數(shù)結果的基礎上突變20%，系統(tǒng)其余節(jié)點測量值不變作為異常數(shù)據(jù)檢測樣本進行單環(huán)定理判定，見圖2(c)，結果顯示判定為正常狀態(tài)，這就大大提高了電網(wǎng)狀態(tài)監(jiān)測對于異常數(shù)據(jù)的免疫能力。

圖2 單環(huán)定理特征值分布實驗對比圖

下面就不同類型故障發(fā)生于同一時間、同一地點時，電網(wǎng)運行狀態(tài)的影響進行分析。并用本文介紹的滑動時間窗口法分別計算隨機矩陣的MSR以及最大特征值分析電網(wǎng)運行整體狀態(tài)，利用可視化圖像顯示出不同故障對電網(wǎng)運行的影響程度。

圖3分別展示出了系統(tǒng)發(fā)生單相接地短路、兩相短路和三相短路故障情況時的單環(huán)定理圖。各個故障均發(fā)生于線路母線18位處，故障發(fā)生時間于仿真開始2.0 s后，故障持續(xù)時間為0.5 s。

圖3 系統(tǒng)各種類型的故障特征值分布

圖4為18號母線分別發(fā)生單相短路接地、兩相短路，三相短路故障的電壓仿真結果。

圖4 18號母線發(fā)生多種故障形式的電壓仿真結果

圖5顯示了當系統(tǒng)中出現(xiàn)不同故障時，MSR與時間之間對應關系的計算結果。同時由于考慮滑動時間窗口寬度為d=200，故平均譜半徑有效值從采樣初始時刻t0=0.01 s分析。圖5中虛線是內環(huán)的半徑。根據(jù)隨機矩陣理論，當系統(tǒng)不能正常運行，MSR值小于內環(huán)半徑。從圖5可以直觀地觀察到，對電力系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)影響力從小到大排序依次為單相短路接地、兩相短路，而破壞性最大的是三相短路故障，這也與電力系統(tǒng)暫態(tài)運行實際運行結果相對應。

圖5 滑動窗口法下的MSR值變化

4.3 基于M-P定律的配電網(wǎng)運行狀態(tài)分析

圖6(a)、(b)、(c)依次分別展示了電網(wǎng)處于正常運行狀態(tài)、發(fā)生單相短路接地故障以及三相短路故障時的樣本協(xié)方差譜分布圖像。經圖像對比可以明顯看出：當電網(wǎng)處于正常運行狀態(tài)時M-P定律曲線陡度較小，且特征值協(xié)方差分布集中分布在一定范圍之內，與M-P定律曲線相符合；但電網(wǎng)發(fā)生故障時，M-P定律曲線陡度變大，樣本協(xié)方差矩陣譜分布直方圖變窄而長，而且除了大部分分布直方圖滿足M-P定律曲線分布外，可以從圖6(b)、(c)中看到，特征值出現(xiàn)了較大的數(shù)值，即最大特征值超出M-P定律定義域范圍，這就說明當電網(wǎng)正常運行時，樣本協(xié)方差譜分布滿足M-P定律，當電網(wǎng)發(fā)生故障時則不滿足M-P定律。

圖6 M-P定律樣本協(xié)方差譜分布實驗對比圖

4.4 現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)驗證

本文以某電網(wǎng)中實際事故數(shù)據(jù)進行仿真驗證。發(fā)生故障類型為該電網(wǎng)中某母線發(fā)生B相單相接地短路，故障發(fā)生于20190317T05:29:52:0.0，并于同日05:29:52: 39.3恢復到正常運行狀態(tài)。通過從現(xiàn)場故障錄波器采集的電網(wǎng)三相電壓時間序列幅值波動過程，可以發(fā)現(xiàn)該故障發(fā)生時段B相幅值降低為0，且三相零序電壓迅速增大。本文選取該電網(wǎng)故障發(fā)生前10 ms直至故障結束后10 ms,也就是選取05:29:51:990至 05:29:52:49.3時間段數(shù)據(jù)進行分析，數(shù)據(jù)采樣間隔為100 μs，采集該電網(wǎng)23個節(jié)點的三相電壓作為數(shù)據(jù)源對該電網(wǎng)運行狀態(tài)進行分析檢測，構成69×600的時空源數(shù)據(jù)矩陣。采用滑動窗口法對數(shù)據(jù)進行分析，滑動距離為1，窗口大小69×100，對數(shù)據(jù)進行標準化和去相關性處理。實際電網(wǎng)運行狀態(tài)檢測結果見圖7。

由圖7(a)中20190317T05:29:52:0.1時刻的單環(huán)定理計算結果可以發(fā)現(xiàn)所有特征值位于內環(huán)之中，即可正確判定該時刻為故障狀態(tài)；且從圖7(b)可以看出MSR的變化過程也與正常運行狀態(tài)變化到故障狀態(tài)的時間相對應；從圖7(c)樣本協(xié)方差矩陣的分布可以看出，最大特征值超出預設范圍，經式(2)計算為0.028 67～3.351 00，不滿足M-P定律的正常分布，即可判定該時刻電網(wǎng)處于故障狀態(tài)。

圖7 實際電網(wǎng)運行狀態(tài)檢測結果

5 結論

本文基于隨機矩陣相關理論，提出配電網(wǎng)運行狀態(tài)進行實時故障分析的方法，結論如下：

a.高維隨機矩陣理論不依賴于配電網(wǎng)具體拓撲結構，可以實現(xiàn)配電網(wǎng)各個節(jié)點不同電氣量的數(shù)據(jù)融合；

b.從數(shù)據(jù)應用角度，分別基于單環(huán)定理與M-P定律對配電網(wǎng)運行狀態(tài)進行實時檢測分析；

c.利用指數(shù)差方程對電壓數(shù)據(jù)進行處理，實現(xiàn)高維隨機矩陣構建數(shù)據(jù)降噪；

d.采用滑動窗口法，充分利用歷史數(shù)據(jù)并降低了高維隨機矩陣的維度，相比較于傳統(tǒng)配電網(wǎng)運行狀態(tài)識別方法，大大提高了計算速度；

e.仿真算例和現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)驗證了該方法的有效性。