中數(shù)不等式的高數(shù)解讀與教學(xué)建議

摘 要：中學(xué)教育改革的深入以及高等教育的普及化，使得高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的界限逐漸模糊，因此用高等知識(shí)與方法審視中學(xué)數(shù)學(xué)逐步成為教學(xué)研究的普遍關(guān)注點(diǎn).基于這樣的理解，筆者以不等式為例，對(duì)高等數(shù)學(xué)視角下的中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與問題解決展開了研究和思考，闡釋了運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法審視中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)學(xué)習(xí)和問題解決的意義，整理了不等式中中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)常用證明方法，并比較高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)在不等式的證明求解過程中的差異，進(jìn)而給出了以“合理前凸”、“奠定基礎(chǔ)”為基本原則的教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：不等式;中學(xué)數(shù)學(xué);高等數(shù)學(xué);解讀;教學(xué)建議

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2021）24-0024-03

收稿日期：2021-05-25

作者簡介：黃燕紅（1994.2-），女，碩士，福建省廈門人，中學(xué)二級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

隨著時(shí)代的需要和課程的改革，中學(xué)教材中逐漸出現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中一些基礎(chǔ)知識(shí)，也滲透著經(jīng)典高等數(shù)學(xué)的思想和方法，以考察學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.關(guān)注近幾年的高考試題，為了實(shí)現(xiàn)高考的選拔功能，往往考查一些基于高等數(shù)學(xué)背景的問題，并且這些問題通過轉(zhuǎn)化總能用中學(xué)知識(shí)與方法求解.因此在實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生知識(shí)傳授的完善外，要如何對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行高觀審視的同時(shí)又不忽視雙基的學(xué)習(xí)與鞏固，已經(jīng)成為一線教學(xué)關(guān)注的焦點(diǎn).

一、中學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的常用證明方法

1.用綜合法和分析法證明不等式

綜合法是基于所給的已知條件或者某些定義、定理、公式，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推出題目所要證明的不等式成立.分析法則是從題目給定的結(jié)論入手，進(jìn)行逆向推導(dǎo)，使得每一步都要是上一步的充要條件，最終達(dá)到題目給出的已知條件. 2.用放縮法證明不等式

在證明過程，對(duì)不等式一端進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小.利用此方法來證明不等式的技巧性很強(qiáng)，主要是尋找中間變量c，使得a<c<b成立，通過c的過渡，使a與b之間間接地建立起不等式關(guān)系.

3.反證法證明不等式

反證法在證明不等式問題中也被經(jīng)常使用.當(dāng)用此方法來證明不等式時(shí)，第一步，假設(shè)題目中的結(jié)論不成立;第二步，依據(jù)題中所給條件，結(jié)合相關(guān)的概念和性質(zhì)，逐步導(dǎo)出與這些概念、定理、性質(zhì)、已知條件中的任一個(gè)都矛盾的結(jié)果，從而肯定原結(jié)論是正確的.

4.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

一般來說，不等式的證明都要經(jīng)過復(fù)雜的變形、運(yùn)算，但通過不等式巧妙變形并且引用一些眾所周知的結(jié)論比如上述說的柯西不等式定理或者伯努利不等式定理加以演算，不僅方法新穎，而且簡單明了.

2.利用微分中值定理證明不等式

利用微分中值定理為不等式的證明帶來了許多方便之處.如果不等式經(jīng)過簡單變形后，與任一定理結(jié)構(gòu)相似，就可以在所給區(qū)間上構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，保證該函數(shù)符合中值定理可實(shí)現(xiàn)的前提條件.其中的關(guān)鍵是對(duì)ξ點(diǎn)的處理，分析函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

3.泰勒展開式在不等式中的應(yīng)用

泰勒展開式證明不等式雖然步驟比較復(fù)雜，但是準(zhǔn)確率較高.具體做法為在區(qū)間內(nèi)的一些特殊點(diǎn)（端點(diǎn)、中點(diǎn)、零點(diǎn)）展開函數(shù)fx，發(fā)現(xiàn)其余項(xiàng)在ξ點(diǎn)具備的性質(zhì)，得到結(jié)論.

4.概率在不等式證明中的運(yùn)用

在概率論中，所有事件的發(fā)生概率都處于0與1之內(nèi)，則有了不等式的存在.解決這類變量取值在0與1之內(nèi)的不等式，通常要完成一個(gè)不等式問題與概率問題的轉(zhuǎn)變，也就是將這些變量當(dāng)相關(guān)事件的概率，應(yīng)用概率相關(guān)知識(shí)來解不等式問題.此種做法的主要步驟分析數(shù)學(xué)問題的種類，找到匹配的概率模型，依據(jù)兩者的概念和性質(zhì)來解答.

三、不等式證明在中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的差異

通過例題可見，在《課程標(biāo)準(zhǔn)》的指導(dǎo)下，許多中學(xué)不等式試題的命題設(shè)計(jì)往往以高等數(shù)學(xué)的某些內(nèi)容為背景，通過對(duì)高等數(shù)學(xué)的一些問題進(jìn)行改造和轉(zhuǎn)化，使得問題均可以用中學(xué)的方法來解決，立意雖高，但落點(diǎn)低，需要學(xué)生扎實(shí)的基礎(chǔ)以及一定的邏輯思維能力.

在中學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，不等式的解題步驟經(jīng)常顯得繁、難、偏.因?yàn)轭}型多變、解題方式變通性強(qiáng)，加上無固定的規(guī)律可循，因此，解題的關(guān)鍵就落到不等式的基本定義和性質(zhì)上來，只有基礎(chǔ)打的牢，才能達(dá)到活學(xué)活用的效果.事實(shí)上，也正是因?yàn)椴坏仁阶C明求解中技巧性高、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來一定的難度，所以課標(biāo)課程對(duì)不等式學(xué)習(xí)要求有所降低.

在高等領(lǐng)域，解題方法通常是，運(yùn)用精確的定義對(duì)高中的某些結(jié)論進(jìn)行證明，這是一個(gè)里程碑式的飛躍，而且大學(xué)的證明方法更加簡便快捷，使我們一目了然，不等式證明過程雖然簡潔明了，但技巧性強(qiáng).在證明過程中能夠更加重視理論推導(dǎo)和抽象思維.因此，在解答題目的時(shí)候，應(yīng)重視解題策略的使用. ?四、教學(xué)建議——“合理前凸”與“奠定基礎(chǔ)”

“合理前凸”指教師應(yīng)該從中學(xué)教學(xué)大綱和教材出發(fā)，以應(yīng)用廣泛且易于理解的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容為背景，用高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)做必要的拓展，如在知識(shí)聯(lián)系面上常規(guī)方法的綜合運(yùn)用拓展，題型創(chuàng)新程度上的拓展，而非偏離教學(xué)大綱的拓展，不可走形式主義，生搬硬套地將高等數(shù)學(xué)的知識(shí)下放，異化成教材的擴(kuò)充教學(xué).

“奠定基礎(chǔ)”指教師教授新知時(shí)對(duì)相關(guān)舊知識(shí)進(jìn)行回顧，適時(shí)地對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)地加以思想上的總結(jié)和數(shù)學(xué)方法方面的提煉，使得中學(xué)數(shù)學(xué)中存在的松散狀態(tài)得到改善，幫助學(xué)生改變題海戰(zhàn)術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建屬于自己的解題和學(xué)習(xí)方法.

五、教學(xué)策略應(yīng)用

教師要適時(shí)地用較高的觀點(diǎn)來解釋和研究中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題.同時(shí)要注重比較、回顧已學(xué)知識(shí)來統(tǒng)一數(shù)學(xué)中比較松散的體系，不要一味追求高觀點(diǎn)而忽視雙基的鞏固.教師可以在講授新課或者平時(shí)的習(xí)題講評(píng)中把涉及到的高數(shù)背景并聯(lián)系以往的舊知講解給學(xué)生聽，這不僅能為學(xué)生奠定基礎(chǔ)還能提高一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高思維能力.以下通過案例說明“合理前凸”、“奠定基礎(chǔ)”教學(xué)策略的應(yīng)用.

案例1 基本不等式

案例評(píng)說 在本案例中，以柯西不等式為橋梁，充分體現(xiàn)了合理前凸，奠定基礎(chǔ)的教學(xué)策略.通過概率中平均值與方差的性質(zhì)和關(guān)系來證明不等式，不僅鞏固了概率相關(guān)知識(shí)也促進(jìn)新知識(shí)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的融合.在不影響學(xué)時(shí)并在學(xué)生能夠接受的范圍內(nèi)，引入高等數(shù)學(xué)中n維向量內(nèi)積，拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)視野、豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題方法.

總之，合理前凸，奠定基礎(chǔ)的教學(xué)策略，能夠潛移默化地幫助學(xué)生初步認(rèn)識(shí)初等和高等知識(shí)間密切的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候養(yǎng)成用高等知識(shí)審視中學(xué)知識(shí)的習(xí)慣，在思維方式上，達(dá)成現(xiàn)代與經(jīng)典數(shù)學(xué)之間的相輔相成，能使學(xué)生頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)更加細(xì)節(jié)化，整體化.教師通過梳理中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中相關(guān)聯(lián)的知識(shí)，將這二者的思維方法有機(jī)結(jié)合，運(yùn)用在課堂中，不僅能使學(xué)生接受高等知識(shí)的同時(shí)，鞏固初等知識(shí)，也有利于教師提升教學(xué)水平和科研能力.

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[責(zé)任編輯：李 璟]