趣味數學

柯西平均值定理作為已經被證明的數學難題，在高中數學中就有應用。它又叫柯西不等式，也稱為柯西均值定理，一般表述為：n個正數的幾何平均值不大于這些數的算術平均值。

設有n個非負實數X₁，X₂，X₃……X_n，則有

今天我們用Python、Scratch和APPInventor來做簡單驗證。

一、創意來源

在Python學習中，解決數學問題可以幫助我們顯著提高學習效果。近幾期我們一直在分享研究歷史數學難題的收獲，希望對大家有所幫助。

二、設計思路

定理內容比較簡單，就是需要計算算術平均值和幾何平均值。算術平均值，就是n個正數的和除以n得到的結果。幾何平均值，是n個正數的積，開n次方得到的結果。

讓程序先產生n個隨機數，再計算兩個平均值，最后進行比較即可。

但隨機數如果都是正整數，驗證結果受限，還要用小數來驗證。為了產生n位的小數，將范圍擴大10n倍，產生隨機數后，再縮小10n倍，這樣便可用整數和小數來驗證。

在實際運行過程中，卻出現了一個問題。那就是小數位數有上限，三種語言都出現了這種情況，比如Python就是17位有效數字。所以在程序中都需要根據語言環境進行相應的處理。

三、程序設計過程

（一）Python程序設計

本例涉及等級考試二級內容。通過鍵盤輸入范圍、數據個數和小數位數后，首先做范圍處理，如果范圍的位數和小數位數的和超出17位，則不做驗證（圖1）。

然后隨機生成n個數p位小數，添加到列表中，再計算算術平均值和幾何平均值。最后做比較，輸出結果。

程序不是很難，主要是用到了兩個函數。一個是random庫中的randint（）函數產生一定范圍內的隨機整數，還有一個是pow（x，y）函數，是求x 的y次方，我這們這里利用這個函數做開n次方運算，即y值在（0，1）之間的值為開方運算，比如pow（2，1/2），即是求2的平方根。

（二）Scratch程序設計

1.首先初始化，鍵盤輸入范圍、個數和小數位數（圖2）

同時清空數據列表，將4個變量初始化。

2.產生n個隨機數并計算

循環“個數”次，產生的n個隨機數，進行加法和乘法運算，保存在變量中，同時將數據添加到列表中，以備查看（圖3）。

3.求出幾何平均值和算術平均值

算術平均值就是用n個數的和除以n，得到的結果（圖4）。

幾何平均值是將n個數的積，開n次方根的結果。因為Scratch里沒有提供開n次方根的積木塊，這里利用了指數和對數的性質。公式中n就是數據的個數，“積”為保存n個數積的變量。

4.輸出結果

先判斷幾何平均值是不是超出范圍，再判斷小數位數和擴大范圍后的值，是不是超出范圍，如果都沒有超出范圍，則判斷幾何平均值是否小于或等于算術平均值，如果滿足條件，則說明柯西平均值定理成立，說：“柯西平均值定理成立”5秒，否則說“柯西平均值定理不成立”5秒（圖5、圖6）。

（三）APPInventor程序設計

1.UI設計

界面設置參考APP運行結果。注意設置3個文本輸入框的提示信息。

2.變量與初始化

變量6個，功能如下。驗證數據列表，存儲隨機產生的驗證數據。隨機數，即保存每次產生的隨機數。其他4個變量如名字（圖7）。