存在飽和蒸汽的大氣原始方程組解對邊界參數的收斂性

李遠飛， 肖勝中， 郭連紅

（1.廣州華商學院 數據科學學院，廣東 廣州511300； 2.廣東農工商職業技術學院 科研處，廣東 廣州510507）

原始方程組的數學研究是由Lions等［1-4］首先發起的.首先需要關心的是這些方程組在數學上是否具有內在的邏輯統一性，即適定性.2015年，Zelati等［5］考慮到由于空氣飽和以及凝結而引起的重要相變現象，對經典大氣原始方程組進行了修正，利用微分和變分不等式，提出了存在飽和蒸汽的大氣原始方程組.利用微分不等式技術，證明了擬強解和強解的整體存在性及唯一性.利用精細的能量估計，Guo等［6-7］得到了干大氣原始方程組光滑解的整體存在性以及濕大氣原始方程組的整體適定性問題.更多關于原始方程組適定性的結果，參見文獻［8-14］.文獻［15］陳述了大氣、海洋動力學中一些非線性偏微分方程在最近幾十年的發展演變.

近來，開始關注原始方程組的連續依賴性.文獻［16］考慮了柱形區域上帶振蕩隨機力的大尺度海洋三維原始方程組，證明了解對黏性系數的連續依賴性.文獻［17］利用方程微分不等式技巧和能量估計的方法，證明了大尺度海洋、大氣動力學三維黏性原始方程的解連續地依賴于邊界參數.這種研究的靈感來自于流體方程組的穩定性研究.目前已經出現了大量的成果，可見文獻［18-24］及其相關文獻.本文研究文獻［5］提出的存在飽和蒸汽的大氣原始方程組

其中，Ω=M×（p0，p1）表示R3的一個柱形區域以及M表示平面區域R2上的一個有界光滑區域，v=（v1，v2）表示水平速度場，w表示風的垂直速度，T表示溫度，q表示空氣中的比濕度，即單位質量濕空氣中的水蒸氣質量，Φ表示壓力，f是Coriolis參數，k是極點方向（從南到北）的單位矢量，ρ表示密度，p表示壓強，表示對p的偏導數，R＞0表示氣體常數，cp是比熱容，▽=（?x，?y）表示梯度算子，ST對應于太陽的熱量和通過冷凝或蒸發增加或消除的熱量之和，Sq表示通過冷凝或蒸發添加或移除的水量.另外，由于考慮的方程是大氣黏性原始方程組，所以Av、AT和Aq表示

其中v0（x，y，p）、T0（x，y，p）、q0（x，y，p）是非負的連續函數.

本文的主要目的是研究初邊值問題（1）～（10）對邊界參數的收斂性.與連續依賴性不同，本文所關注的收斂性是研究當方程組的系數、邊界參數或已知函數趨近于零時對方程組帶來的影響.能得到方程組的連續依賴性并不意味著一定能得到方程組的收斂性，例如可以獲得方程組對黏度系數的連續依賴性，但是無法推出其收斂性.然而，對原始方程組的系數、參數等收斂性的研究目前還沒有相關結果.利用已知數據項來推導解的先驗界，通過解的先驗估計和能量估計來證明方程對邊界參數的收斂性.

1 準備工作

2 先驗界

證畢.

3 收斂性結果

本節來推導本文的主要定理，這個過程分如下幾步進行.

此定理表明當~a→0，~b→0時，（v，T，q）→（0，0，0）.這就表明方程（1）～（10）的解對邊界參數的收斂性.在定理1的基礎上，密度ρ對邊界參數的收斂性可以利用方程（6）得到.

4 小結

本文使用了能量估計的辦法，得到了原始方程組解對邊界參數的收斂性.本文的主要創新點就是用一個新的視角去研究原始方程組以及如何推導解的先驗界，這類研究目前還比較少.接下來，也可以繼續研究濕大氣原始方程組的收斂性，這類研究還可以向帶隨機力的原始方程組、海洋原始方程組、大氣原始方程組以及耦合了海洋和大氣的原始方程組甚至干大氣原始方程組展開，這將是下一步研究的一個重點方向.

致謝廣東財經大學華商學院校內學術類科研項目（2019HSXS05）對本文給予了資助，謹致謝意.