雙論域多粒度模糊粗糙集近似的并交關系

陳 江， 張賢勇， 莫智文

（四川師范大學 數學科學學院 智能信息與量子信息研究所，四川 成都610066）

模糊集與粗糙集是2種基本的不確定性模型，兩者結合的模糊粗糙集與粗糙模糊集能夠系統探尋不確定性［1］，其中模糊粗糙集將經典粗糙集中的等價關系推廣到模糊關系，成為一種強健的不確定性處理模型［2-4］，其深入拓展能夠更好獲取適用性與優效性，相關構建主要涉及“多粒度深化”與“雙論域推廣”.

多粒度深化技術聚焦一族等價關系，集成構建概念的悲觀近似與樂觀近似，從而建立多種多粒度粗糙集模型［5-6］，具有拓展研究與實際應用價值［7-8］.此外，雙論域推廣是拓展經典粗糙集的又一方向，雙論域粗糙集具有諸多研究［9-10］，并產生了雙論域模糊粗糙集［11-12］.在此基礎上，模糊粗糙集已經拓展到多粒度模糊粗糙集［13-14］、雙論域模糊粗糙集［11-12］、雙論域多粒度模糊粗糙集［15-16］，而雙論域多粒度模糊粗糙集最終成為一類重要模型.

雙論域多粒度模糊粗糙集能夠有效處理多粒度與雙論域問題，具有研究意義.對此模型，文獻［16］研究雙論域上基于多粒度模糊概念的粗糙逼近問題；文獻［17］研究上下近似的包含條件，并給出一種標準化方法.上下近似關于并交運算的系統性質是近似逼近與邏輯融合的基礎，它們基本存在于經典粗糙集模型，但尚未涉及到雙論域多粒度模糊粗糙集.本文主要探討雙論域多粒度模糊粗糙集近似的并交關系，并對比分析關于經典粗糙集模型的異同性，從而揭示相關的擴張特性.

1 雙論域多粒度模糊粗糙集

這里簡要回顧雙論域多粒度模糊粗糙集，為后續并交系統分析奠定基礎.

定義1［18］論域U、V為2個非空有限集合，R={R1，R2，…，Rm}是從U到V的二元模糊關系簇，其中Rt∈F（U×V）（t=1，2，…，m）.有序三元組（U，V，R）稱為雙論域多粒度模糊近似空間.

其中，∧、∨分別為取小、取大運算.

下面提供一個實例來說明雙論域多粒度模糊粗糙集，主要說明其中的悲觀、樂觀雙近似性質.

例1在醫療診斷中，設疾病集U=｛病毒性發熱，痢疾，傷寒｝=｛x1，x2，x3｝，癥狀集V=｛發燒，頭痛，胃痛｝=｛y1，y2，y3｝，Rt（t=1，2，3）∈F（U×V）是3個專家分別給出的U到V關系，其中

為病人對自己病情的描述.

令R=｛R1，R2，R3｝，則對于疾病x1、x2、x3，利用（1）式考慮悲觀情況，此時專家判斷病人A患有疾病x1的雙近似估計為

再考慮樂觀模型，利用（2）式可以進行類似悲觀模型的計算方法，結果為

2 雙論域多粒度模糊粗糙集的雙近似并交性質

雙論域多粒度模糊粗糙集的類似情形值得探討，本節分悲觀與樂觀2種情形來研究相關的雙近似并交系統性質.在雙論域多粒度模糊近似空間（U，V，R）中，下設模糊集A，B∈F（V）.

2.1 悲觀情況下的雙近似并交性質

針對悲觀情況，性質1～性質4提供了雙論域多粒度模糊粗糙集的雙近似并交性質，其與經典粗糙集模型的結果（（3）式）完全一致，這表明了模型擴張的正常性.

2.2 樂觀情況下的雙近似并交性質上面提供了悲觀情況下的雙近似并交性質，下面轉向對稱的樂觀情況，得出更一般的子集關系或超集關系.相關證明可以類似進行，下面采用近似算子的單調性這一新策略.

引理1若A′?A″，則

證明由（2）式有

引理1表明樂觀上下近似算子均具有關于集合包含的單調性.由此，可以直接得到下述樂觀上下近似的并交性質，其中涉及到基本關系：A∩B?A?A∪B，A∩B?B?A∪B.

針對樂觀情況，性質5～性質8提供了雙論域多粒度模糊粗糙集的雙近似并交性質.對比經典粗糙集模型的結果（（3）式），性質5、性質8呈現微觀差異性，性質6、性質7具有完全一致性，這表明了模型擴張的特異性.

分析悲觀與樂觀上下近似算子的運算機制（參見（1）（2）式），悲觀上下近似算子對粒度的集成運算與對論域V中單元的集成運算一致，而樂觀上下近似算子相反.同時結合∨、∧運算性質中的分配律與結合律，對比經典粗糙集模型的結果，悲觀上下近似算子并交運算的相等關系得以保持，而樂觀上下近似算子并交運算的相等關系不再成立.下面主要分析差異性來源.具體地，在樂觀情況中，對?x∈U，有

等號不成立，故性質5只能得到包含關系的一般結論.

等號不成立，故性質8只能得到子集關系的一般結論.

通過上述分析，樂觀上下近似算子對于粒度的集成運算和對論域中單元集成運算的不一致性，是導致不同于經典粗糙集結果的原因，也是導致悲觀近似算子與樂觀近似算子性質的差異性的原因.樂觀近似算子性質（主要是性質5、性質8）具有拓展性而非保持性，在多粒度環境下，能否一定達到保持條件或者在什么條件下可以達到保持條件成為一個問題.考慮到多粒度具有向單粒度的退化性，下面通過條件m=1自然得到一種基本的等號保持性關系.

3 實例分析

本節提供實例分析，具體說明雙論域多粒度模糊粗糙集的并交關系，即上述性質1～性質8.

例2這里采用例1的數據與結果，其中A的雙論域多粒度模糊粗糙集雙近似如下：

從而性質5～8的并交關系成立.

4 結束語

對比經典粗糙集的近似并交性質，本文研究了雙論域多粒度模糊粗糙集的近似并交性質并給予實例驗證，得到了后者在模型擴張時產生的系統性與特異性.根據性質1～性質8，在雙論域多粒度模糊粗糙集的樂觀情況下，并的上下近似總是包含上下近似的并；而交的上下近似總是包含于上下近似的交，性質5、性質8與經典模型的傳統相等結果（（3）式）有所差異，其他結果則是完全一致的.進而，模型滿足什么條件時，性質5、性質8可能達到等號（即樂觀近似算子具有對比經典情況的保持性）成為一個問題.考慮到經典粗糙集具有關于平凡集、子集、并交補運算、冪作用的系統性質，因而雙論域多粒度模糊粗糙集也值得進行類似的系統研究.對此，文獻［17］討論了子集關系，本文討論了并交關系，剩余的情形還需要深入研究.