一種新型指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計(jì)方法及其應(yīng)用

左 凱

（成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都611130）

統(tǒng)計(jì)資料表明，大量社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展主要是漸進(jìn)型的，其發(fā)展相對(duì)于時(shí)間具有一定的規(guī)律性［1-2］.趨勢(shì)外推法是事物發(fā)展?jié)u進(jìn)過程的一種統(tǒng)計(jì)方法，主要優(yōu)點(diǎn)是可以揭示事物未來的發(fā)展，并定量地估計(jì)其功能特性，常見的趨勢(shì)外推統(tǒng)計(jì)模型有多項(xiàng)式曲線預(yù)測(cè)模型、指數(shù)曲線模型、對(duì)數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型和生長(zhǎng)曲線預(yù)測(cè)模型.如果社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展趨勢(shì)每期基本上按照相同的增長(zhǎng)速度變化，則可采用指數(shù)曲線模型進(jìn)行擬合；如果社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展趨勢(shì)為初期增長(zhǎng)迅速，隨后增長(zhǎng)率逐漸減低，最終以一個(gè)常數(shù)為增長(zhǎng)極限時(shí)，則可采用修正指數(shù)曲線模型進(jìn)行擬合.

楊桂元［3］根據(jù)指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型的特點(diǎn)，對(duì)模型的假設(shè)、參數(shù)估計(jì)、擬合誤差以及無偏性等問題進(jìn)行了討論，并與經(jīng)典的線性回歸模型進(jìn)行了比對(duì).高燕希等［4］根據(jù)現(xiàn)有指數(shù)曲線模型計(jì)算方法的應(yīng)用特點(diǎn)，對(duì)其計(jì)算過程進(jìn)行了優(yōu)化，并以湖南省岳陽(yáng)市進(jìn)港道路為例，分析路面沉降的變化規(guī)律.官陳平等［5］利用2004—2010年福州市細(xì)菌性疾病的發(fā)病率建立指數(shù)曲線方程，并進(jìn)行外推5 a預(yù)測(cè)，取得了較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果.程健等［6］利用指數(shù)曲線法研究了在役儲(chǔ)罐發(fā)生不均勻沉降后的結(jié)構(gòu)疲勞安全性問題.最近，左凱等［7］研究了具有時(shí)間一次項(xiàng)的指數(shù)曲線模型，采用分段求和的思想方法給出了模型各個(gè)參數(shù)的具體表達(dá)式，并通過一個(gè)例子詳細(xì)地給出了求解的具體步驟.2009年，吳新燕等［8］采用修正指數(shù)曲線模型對(duì)汶川地震各時(shí)刻的死亡人數(shù)進(jìn)行擬合，并與指數(shù)曲線模型進(jìn)行比較，同時(shí)又用集集地震和阪神地震的數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證.計(jì)算結(jié)果表明，修正指數(shù)曲線模型能夠很好地對(duì)地震死亡人數(shù)進(jìn)行估計(jì)，從而為各級(jí)抗震救災(zāi)指揮部提供救災(zāi)決策參考依據(jù).

歐陽(yáng)明等［9］在對(duì)已有的數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)方法進(jìn)行分析，并將指數(shù)曲線模型按照一定的修正方法進(jìn)行優(yōu)化的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)新的修正指數(shù)曲線模型.通過對(duì)不同類型的單樁靜載荷試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，驗(yàn)證了提出的新模型能夠?qū)螛禤-S曲線進(jìn)行很好地描述.譚生源［10］在修正指數(shù)曲線模型的基礎(chǔ)上提出了具有振蕩項(xiàng)的修正指數(shù)曲線模型.針對(duì)模型本身的特點(diǎn)，采用最小二乘法給出了系統(tǒng)參數(shù)滿足的最優(yōu)化問題，并結(jié)合Matlab軟件包求解出系統(tǒng)參數(shù)的具體取值.最后，將模型應(yīng)用在一次能源消費(fèi)分析中.最近，張萍等［11］結(jié)合指數(shù)曲線模型和修正指數(shù)曲線模型的特點(diǎn)，提出了具有時(shí)間冪次項(xiàng)的指數(shù)曲線模型，利用信賴域算法給出了模型參數(shù)的數(shù)值求解方法，并將其應(yīng)用在西藏自治區(qū)水資源總量的分析中.

但是，值得注意的是，文獻(xiàn)［10-11］并沒有給出模型參數(shù)的具體表達(dá)式，而是通過數(shù)值計(jì)算方法給出模型參數(shù)的計(jì)算方法.本文在經(jīng)典指數(shù)曲線模型、修正的指數(shù)曲線模型和文獻(xiàn)［7，10-11］的啟發(fā)下，提出了具有二次多項(xiàng)式項(xiàng)的新型指數(shù)曲線模型，并采用分段求和的方法給出了模型各個(gè)參數(shù)的具體表達(dá)式.最后，以我國(guó)稻谷產(chǎn)量為例，將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與指數(shù)曲線模型、修正的指數(shù)曲線模型進(jìn)行對(duì)比.從結(jié)果上可以明顯看出，本文提出的模型具有更高的精度和準(zhǔn)確度.

1 指數(shù)曲線模型和修正指數(shù)曲線模型

1.1 指數(shù)曲線模型由文獻(xiàn)［1-2］可知，經(jīng)典的指數(shù)曲線模型為

為了估計(jì)參數(shù)a、b的表達(dá)式，一般將方程（1）兩端取對(duì)數(shù)，得

從而估計(jì)出參數(shù)lna和lnb，再取反對(duì)數(shù)，即可得到參數(shù)a、b的估計(jì)值.

1.2 修正指數(shù)曲線模型由文獻(xiàn)［1-2］可知，在經(jīng)典指數(shù)曲線模型的基礎(chǔ)上增加一個(gè)常數(shù)c，即得到修正指數(shù)曲線模型的表達(dá)式

其中，a、b、c為未知參數(shù)，a≠0，b∈（0，1）∪（1，∞），c∈（0，∞）.

參數(shù)a、b、c估計(jì)的基本思想是三和法：把整個(gè)原始序列分成相等的3個(gè)數(shù)組，每個(gè)組有m項(xiàng)，根據(jù)趨勢(shì)值Y（t）的3個(gè)局部總和分別等于原數(shù)列觀察值3個(gè)局部總和來確定3個(gè)參數(shù).具體設(shè)觀察值的3個(gè)局部總和分別為得：

2 帶二次多項(xiàng)式項(xiàng)的新型指數(shù)曲線模型

在經(jīng)典指數(shù)曲線模型、修正指數(shù)曲線模型上，本文提出了具有二次多項(xiàng)式項(xiàng)的指數(shù)曲線模型，其一般方程為

可以看出，當(dāng)p=0、q=0、r=0時(shí)，新型指數(shù)曲線模型退化為經(jīng)典指數(shù)曲線模型；當(dāng)p=0、q=0時(shí)，新型指數(shù)曲線模型退化為修正指數(shù)曲線模型.

接下來，利用分段求和法的思想推導(dǎo)系統(tǒng)中參數(shù)a、b、p、q、r的具體表達(dá)式.首先，把用于建模的數(shù)據(jù)分成相等的5組，每組有m項(xiàng)，根據(jù)趨勢(shì)值Y（t）的5個(gè)局部和分別等于原序列的5個(gè)局部和來確定模型的參數(shù).具體為設(shè)觀察值的5個(gè)局部和分別為S1、S2、S3、S4、S5，得到：

通過對(duì)方程（22）和（23）求解，并結(jié)合表達(dá)式（10）（15）（19）得到

至此，通過分段求和的方法得到了模型各個(gè)參數(shù)的具體表達(dá)式，一旦給定原始序列的具體取值，則可建立具體的模型并進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè).

3 具體應(yīng)用

3.1 模型精度判斷準(zhǔn)則在具體應(yīng)用之前，給出衡量模型精確的幾個(gè)度量指標(biāo)，分別是絕對(duì)百分誤差（APE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）、平均絕對(duì)百分誤差（MAPE）和希爾統(tǒng)計(jì)量（TIC）.

在（26）式中，當(dāng)l=2，v=5m，MAE為擬合誤差，記為MAEfit；當(dāng)l=5m+1，v=n，MAE為預(yù)測(cè)誤差，記為MAEfore；當(dāng)l=2，v=n，MAE為總誤差，記為MAEtotal，表達(dá)式中＾Y（t）為計(jì)算得到的值，5m為用于建模的個(gè)數(shù)，n為原始序列的總個(gè)數(shù).

3.2 對(duì)中國(guó)稻谷產(chǎn)量的分析使用2002—2018年共17 a的我國(guó)稻谷產(chǎn)量（萬t）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究.首先，以2002—2016年共15 a的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的建立，2017—2018年的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，將相應(yīng)的數(shù)據(jù)代入分別得到3種模型的具體表達(dá)式為：

1）指數(shù)曲線模型

經(jīng)典指數(shù)曲線模型、修正指數(shù)曲線模型、二次多項(xiàng)式項(xiàng)的指數(shù)曲線模型的數(shù)值計(jì)算結(jié)果見表1、表2.從計(jì)算結(jié)果看出，二次多項(xiàng)式項(xiàng)的指數(shù)曲線模型的值與真實(shí)的數(shù)據(jù)更接近.從平均絕對(duì)百分誤差看到：指數(shù)曲線模型的建模誤差、擬合誤差和總的誤差分別為26.887 3%、47.013 8%和29.403 1%；修正指數(shù)曲線模型的建模誤差、擬合誤差和總的誤差分別為1.154 0%、1.983 0%和1.257 6%；新型指數(shù)曲線模型的建模誤差、擬合誤差和總的誤差分別為1.115 3%、0.142 7%和0.993 7%.可以明顯看出，新提出的模型在稻谷產(chǎn)量中比經(jīng)典指數(shù)曲線模型和修正指數(shù)曲線模型有更高的精度.

表1 指數(shù)曲線模型、修正指數(shù)曲線模型和新型指數(shù)曲線模型對(duì)稻谷產(chǎn)量數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculations of rice yields by an exponential curve model，a modifed exponential curve model and a new exponential curve model

表2 指數(shù)曲線模型、修正指數(shù)曲線模型和新型指數(shù)曲線模型對(duì)稻谷產(chǎn)量數(shù)據(jù)的計(jì)算誤差Tab.2 Calculational errors of rice yields by an exponential curve model，a modifed exponential curve model and a new exponential curve model

4 結(jié)論

本文討論了帶有二次多項(xiàng)式項(xiàng)的新型指數(shù)曲線模型，并充分利用分段求和的思想給出了模型中每個(gè)參數(shù)的具體表達(dá)式.最后，以我國(guó)稻谷產(chǎn)量為例說明了本模型在某些數(shù)據(jù)下的擬合精度和預(yù)測(cè)精度比經(jīng)典指數(shù)曲線模型、修正指數(shù)曲線模型都要高.

相比較傳統(tǒng)的最小二乘法或者是對(duì)數(shù)變換等方法，本文的分段求和方法思想簡(jiǎn)單，操作性好，且能夠得到滿意的結(jié)果.在今后的研究中，將考慮此方法在其他類似模型中的應(yīng)用.

致謝成都師范學(xué)院校級(jí)重點(diǎn)項(xiàng)目（CS19ZA12）對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.