形式三角矩陣環的P 1-內射性和P 1-內射維數

謝 晉， 王芳貴

（1.綿陽師范學院 數理學院，四川 綿陽621000； 2.四川師范大學 數學科學學院，四川 成都610066）

1 預備知識

恒設環是有單位元的結合環，所有的模均指右模.用MR表示所有右R-模所構成的模類.用pdRM和fdRM分別表示模M的投射維數和平坦維數.

1976年，Goodearl［1］研究環理論時正式提出形式三角矩陣環的概念，并對其基本性質作出刻畫.設A、B為有單位元的結合環，BMA為左B右A的雙模.令

2 形式三角矩陣環上的P 1-內射模

先刻畫形式三角矩陣環T上投射維數小于等于1的模.

引理2.1設（X，Y）f∈MT，則pdT（X，Y）f≤1當且僅當pdA（X/f（Y?M））≤1，pdB Y≤1，且（X，Y）f的第1個合沖（K1，K′1）k1中的k1為單射.

證明由文獻［11］的定理3.1，取n=1即得.

引理2.2［19］對任何右T-模同態ψ=：（α，β）：（X，Y）f→（U，V）g，下述成立：

1）Ker（ψ）=（Kerα，Kerβ）f，

2）Im（ψ）=（Imα，Imβ）g，

3）Cok（ψ）=（Cokα，Cokβ）ˉg.

1）（X，0）0∈P1當且僅當XA∈P1；

2）若M為平坦的左B-模，則（Y?M，Y）1Y?M∈P1當且僅當YB∈P1.

證明1）必要性 顯然.反之，設XA∈P1，則存在右A-模正合序列：0→P1→P0→XA→0，其中P0、P1為投射右A-模.從而有T-模正合序列：0→（P1，0）0→（P0，0）0→（XA，0）0→0，且（P0，0），（P1，0）為投射的T-模，故pdT（XA，0）0≤1.

2）必要性 顯然.反之，設YB∈P1，則有YB的投射分解：0→P′1→P′0→YB→0，故由引理2.2以及M的平坦性，可得（Y?M，Y）1Y?M的投射分解：

即（Y?M，Y）1Y?M∈P1.

3 形式三角矩陣環上的P 1-內射維數