形式三角矩陣環(huán)的P 1-內(nèi)射性和P 1-內(nèi)射維數(shù)

謝 晉， 王芳貴

（1.綿陽師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，四川 綿陽621000； 2.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066）

1 預(yù)備知識

恒設(shè)環(huán)是有單位元的結(jié)合環(huán)，所有的模均指右模.用MR表示所有右R-模所構(gòu)成的模類.用pdRM和fdRM分別表示模M的投射維數(shù)和平坦維數(shù).

1976年，Goodearl［1］研究環(huán)理論時正式提出形式三角矩陣環(huán)的概念，并對其基本性質(zhì)作出刻畫.設(shè)A、B為有單位元的結(jié)合環(huán)，BMA為左B右A的雙模.令

2 形式三角矩陣環(huán)上的P 1-內(nèi)射模

先刻畫形式三角矩陣環(huán)T上投射維數(shù)小于等于1的模.

引理2.1設(shè)（X，Y）f∈MT，則pdT（X，Y）f≤1當(dāng)且僅當(dāng)pdA（X/f（Y?M））≤1，pdB Y≤1，且（X，Y）f的第1個合沖（K1，K′1）k1中的k1為單射.

證明由文獻［11］的定理3.1，取n=1即得.

引理2.2［19］對任何右T-模同態(tài)ψ=：（α，β）：（X，Y）f→（U，V）g，下述成立：

1）Ker（ψ）=（Kerα，Kerβ）f，

2）Im（ψ）=（Imα，Imβ）g，

3）Cok（ψ）=（Cokα，Cokβ）ˉg.

1）（X，0）0∈P1當(dāng)且僅當(dāng)XA∈P1；

2）若M為平坦的左B-模，則（Y?M，Y）1Y?M∈P1當(dāng)且僅當(dāng)YB∈P1.

證明1）必要性 顯然.反之，設(shè)XA∈P1，則存在右A-模正合序列：0→P1→P0→XA→0，其中P0、P1為投射右A-模.從而有T-模正合序列：0→（P1，0）0→（P0，0）0→（XA，0）0→0，且（P0，0），（P1，0）為投射的T-模，故pdT（XA，0）0≤1.

2）必要性 顯然.反之，設(shè)YB∈P1，則有YB的投射分解：0→P′1→P′0→YB→0，故由引理2.2以及M的平坦性，可得（Y?M，Y）1Y?M的投射分解：

即（Y?M，Y）1Y?M∈P1.

3 形式三角矩陣環(huán)上的P 1-內(nèi)射維數(shù)