一類含參數半正二階離散Neumann邊值問題正解的存在性

楊曉梅， 路艷瓊

（西北師范大學 數學與統計學院，甘肅 蘭州730070）

0 引言

隨著科學技術的發展，物理學、種群生物學、經濟學等自然科學和邊緣學科領域出現了大量由差分方程邊值問題描述的數學模型.因為在實際應用問題中主要關注的是此類問題的正解，所以此類問題引起了學者的廣泛關注，并取得了很多結果［1-9］.2005年，姚慶六等［10］運用錐上的不動點指數理論獲得了一類非線性半正二階微分方程Neumann邊值問題

正解的存在性，其中η＞0，且f：［0，1］×［-Mη2，+∞）→［-M，+∞）連續，其中M＞0.戚仕碩等［11］利用錐壓縮和錐拉伸不動點定理研究了二階Neumann半正邊值問題

正解的存在性，其中f：（0，1］×（0，+∞）→R連續，且λ＞0，M＞0.李延明［12］運用錐上的不動點定理研究獲得了Strum-Liouville邊值條件下二階差分方程超線性半正問題

正解的存在性，其中γi≥0，i=1，2，3，4，γ1γ3+γ1γ4+γ2γ3＞0，且λ是正參數.曾云霞［13］運用Guo-Krasnoselskii不動點定理討論了二階常系數離散Neumann半正邊值問題

（A2）f：［1，T］Z×［0，+∞）→［-M，+∞）連續，其中M＞0為常數；

（A4）f（t，0）＞0，t∈［1，T］Z.

注記1由條件（A4）可知，存在2個常數a、b，使得f（t，u）≥b，（t，u）∈［1，T］Z×［0，a］.

運用錐上的不動點定理建立非線性項半正情形下問題（1）正解的存在性.本文的主要結果為定理1和定理2.

定理1若條件（A1）～（A3）成立，則對充分小的λ＞0，問題（1）存在1個正解.

定理2若條件（A1）～（A4）成立，則對充分小的λ＞0，問題（1）存在2個正解.

1 預備知識

注記2利用引理1～4可以將文獻［4］中關于問題的正解存在性結果推廣到問題（1）.

引理5［15］E是Bananch空間，K?E是E中的一個錐.Ω1、Ω2是E中的開子集，且ˉΩ1?Ω2.若全連續算子A：K∩（ˉΩ2＼Ω1）→K滿足：

2 主要結果的證明

定理1的證明首先定義

令ω=λMˉω，u是問題（1）的正解，當且僅當u=~u+ω是下列問題

故由定理2可知對充分小的λ＞0，問題（17）存在2個正解.