環Fq+v Fq上線性碼的重量計數器

齊 薇， 廖群英

（四川師范大學 數學科學學院，四川 成都610066）

眾所周知，糾錯碼在增強信息傳輸可靠性方面起著非常重要的作用，它可以用來檢測和糾正信息傳輸中的錯誤［1］.線性碼是一類具有良好代數結構的糾錯碼［2-3］，線性碼的重量分布是檢測譯碼錯誤的重要指標，重量計數器是研究線性碼的重量分布的一種有力工具.

1977年，MacWilliams等［4］對有限域上碼的各種重量計數器及其關系進行了較為系統的闡述.自此之后，許多學者將研究興趣從有限域轉移到有限環.2012年，田園等［5］定義了環

上線性碼的t-Lee重量計數器，給出了該環上線性碼的t-Lee重量計數器的MacWilliams恒等式.2014年，許和乾等［6］定義了環

上線性碼的對稱重量計數器，并且建立了該環上線性碼的Hamming重量計數器和Lee重量計數器的MacWilliams恒等式.2017年，Chen等［7］定義了環

上的線性碼，研究了一些重量計數器并獲得了這些重量計數器之間的關系，其中p是素數.關于線性碼重量計數器的更多研究成果參見文獻［8-14］.

本文定義了R上線性碼C的長度重量計數器，得到線性碼C的Lee重量計數器和Hamming重量計數器均可由長度重量計數器表示.

1 R上線性碼的基本性質

設交換環

其中，p是素數，m為正整數.Rn的非空子集C稱為是R上碼長為n的碼；若C是R-子模，則稱C為R上的線性碼.設C1、C2是R上碼長為n的線性碼，則

也是R上碼長為n的線性碼，稱C1+C2為C的分解.進而，若

文獻［15］中給出了R上的線性碼C與Fq上線性碼C1-v，Cv是相互唯一確定的，即如下引理.

引理1.1［15］設C為R上碼長為n的碼，C1-v、Cv如上給出，則：

1）C是R上的線性碼，當且僅當C1-v、Cv是Fq上的線性碼，且C=vC1-v+（1-v）Cv.

2）設C是R上的線性碼，則

且分解唯一.

為建立R上的線性碼和Fq上線性碼之間的聯系，下面給出Gray映射和R上對偶碼、自正交線性碼、自對偶線性碼及LCD線性碼的定義.

定義1.2定義Rn到F2nq的Gray映射為

進而，若x?y=0，則稱x、y正交.

2）R上碼長為n的線性碼C的對偶碼C⊥定義為

若C?C⊥，則稱C為自正交線性碼；若C=C⊥，則稱C為自對偶線性碼；若C∩C⊥=0，則稱C為LCD線性碼.

因C為R上碼長為n的線性碼，故不妨設

另一方面，由Φ是雙射可知

推論1.5設C是R上碼長為n的自正交（自對偶，LCD）線性碼，則Φ（C）也是Fq上碼長為2n的自正交（自對偶，LCD）線性碼.

證明由Φ的定義易證Φ（C）是Fq上長為2n的碼.再由C?C⊥知

于是，由命題1.4可得

從而Φ（C）是Fq上長度為2n的自正交線性碼.其他情形可類似證明.

2 R上線性碼的重量計數器

在編碼理論以及工程實現中，線性碼的重量計數器是一個重要的參數，它是檢測譯碼錯誤概率的主要依據.迄今為止，最受關注的是Lee重量計數器和Hamming重量計數器.然而，由這2個重量計數器不容易得到有關線性碼的直和分解，由此引入長度重量計數器的概念.下面首先給出R上線性碼的Lee重量及一些重量計數器的定義.

定義2.1設C是R上碼長為n的線性碼.

1）對r=x+vy∈R，定義r的Lee重量為

3）對任意c′，c″∈Rn，定義c′與c″的Lee距離為dL（c′，c″）=wL（c′-c″）；

4）環R上碼C的最小Lee距離定義為

由此定義可知，Rn中任意向量的Lee重量值取自集合｛0，1，…，2n｝，從而引進重量計數器的概念.

定義2.2設C是R上碼長為n的線性碼.

1）對任意i=0，1，…，2n，記Li為C中Lee重量為i的碼字個數，稱集合｛L0，L1，…，L2n｝為碼C的Lee重量分布.碼C的Lee重量計數器定義為

3）對任意i=0，1，…，n，記Hi是C中Hamming重量為i的碼字個數.稱集合｛H0，H1，…，Hn｝為碼C的Hamming重量分布.碼C的Hamming重量計數器定義為

由上述定義可得

根據文獻［4］，記dH為碼C的Hamming距離.

引理2.3設Φ為Rn到F2nq的Gray映射，則：

1）對任意z∈Rn，有wL（z）=wH（Φ（z））；

2）Φ是（Rn，dL）到（F2nq，dH）的保距同構映射.

證明1）根據定義2.1可得.

2）容易證明Φ是Fq-線性同構.進而，對任意x，y∈Rn，有

即Φ是保距映射.

下面的定理2.4表明R上線性碼C的對稱重量計數器可以用來表示Lee重量計數器和Hamming重量計數器.

定理2.4設C是R上碼長為n的線性碼，則

1）LeeC（X，Y）=SweC（X2，XY，Y2）；

2）HamC（X，Y）=SweC（X，Y，Y）；

3）LeeC（X，Y）=HamΦ（C）（X，Y）.

證明只需證明1）、2）和3）類似可得.由定義2.2的1）和2）可知

由定理1.1可知，R上線性碼C的直和分解形式為C=vC1-v⊕（1-v）Cv.為了建立R上線性碼C、vC1-v和（1-v）Cv三者重量計數器的聯系，下面定義一種新的重量計數器.

定義2.5R上碼長為n的線性碼C的長度重量計數器定義為

由定義2.1可知，對任意r∈R，wL（r）的值取自集合S=｛0，1，2｝.對任意

下面的引理2.6表明R上線性碼C的對稱重量計數器也可由長度重量計數器表示.由命題2.4，對稱重量計數器可以表示出Lee重量計數器和Hamming重量計數器.從而，Lee重量計數器和Hamming重量計數器均可由長度重量計數器表示出來.

引理2.6設C是R上碼長為n的線性碼，則Ω（LweC（X0，X1，…，Xn-1））=SweC（X0，X1，X2）.

證明 由長度重量計數器和對稱重量計數器的定義及（3）式，可得

引理2.7設C=vC1-v⊕（1-v）Cv是R上碼長為n的線性碼，則

證明設c=（c0，c1，…，cn-1）=a+b∈C，其中

下面對碼長l進行歸納.

1）當l=1時，由c=a+b∈C，其中

則由（1）和（5）式可知