《正方體截面的形狀》教學(xué)設(shè)計(jì)

劉曉挺 顏甄璞 宋天嬌 劉京安 馬飛飛

一、內(nèi)容簡(jiǎn)介

本課例定位北師大版數(shù)學(xué)必修二第一章課題學(xué)習(xí)《正方體截面形狀》，以正方體截面為核心，讓學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí)的方式，觀察、猜測(cè)、實(shí)踐、探究，通過嘗試歸納，類比總結(jié)發(fā)現(xiàn)有關(guān)截面問題的知識(shí)點(diǎn)和學(xué)習(xí)方法，教師在教學(xué)過程中進(jìn)行必要的指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生在立體幾何知識(shí)中的探究能力，解決直觀想象中如何引導(dǎo)學(xué)生如何通過“直觀”進(jìn)行“想象”的問題，實(shí)踐落地高中立體幾何教學(xué)中學(xué)生“直觀想象”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)問題。

二、教學(xué)目標(biāo)

正方體是立體幾何中的萬能圖形，本節(jié)課設(shè)計(jì)平面“切”正方體的項(xiàng)目式教學(xué)，基礎(chǔ)目標(biāo)是通過學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐和觀察，更好的直觀理解幾何體中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，通過對(duì)點(diǎn)線面位置關(guān)系的理解，了解正方體截面多樣性的原因。主旨目標(biāo)是希望通過“觀察——猜想——實(shí)驗(yàn)——驗(yàn)證——總結(jié)”的過程，培養(yǎng)學(xué)生空間想象、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、分析判斷、推理論證、探索創(chuàng)造的能力，培養(yǎng)學(xué)生空間想象意識(shí)，落實(shí)“直觀想象”等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

三、教學(xué)重點(diǎn)

正方體截面形狀的感觀認(rèn)識(shí)，總結(jié)截面圖的性質(zhì)，利用相關(guān)幾何公理、定理構(gòu)造截面圖。

四、教學(xué)難點(diǎn)

掌握截面圖構(gòu)造方法、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用規(guī)律解決問題。

五、教法學(xué)法

啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)、自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)

六、課前準(zhǔn)備：

（正方體）蘿卜塊若干、美工刀、PPT等。

七、教學(xué)過程：

（一）情境引入

PPT視頻：廚師切土豆，不同方式切出不同樣式。

問題1：什么叫幾何體的截面？

截面定義：在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的平面圖形，叫截面。

問題2：截面的邊是如何得到的？

截面的邊：平面和幾何體各面的交線。

（二）講授新課

問題3：正方體是立體幾何中一個(gè)重要的模型，如果我們用平面去“切”一個(gè)正方體，那么我們得到截面都有什么形狀？截面最多有幾條邊（給出分類原則）？

三角形、四邊形、五邊形、六邊形等。

（設(shè)計(jì)意圖：通過“切”引發(fā)學(xué)生對(duì)截面形狀的思考，嘗試激活直觀想象能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為動(dòng)手實(shí)踐做好準(zhǔn)備。）

教學(xué)活動(dòng)：學(xué)生分組切蘿卜實(shí)驗(yàn)

要求：1.兩人一組（以同桌一組為宜）

2.先大膽猜想，再實(shí)踐操作，分析原因，最后做好記錄和總結(jié)。

3.注意安全，勿劃傷手指。

問題4：大家能“切”出什么形狀的截面（學(xué)生演示切的成果）

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)各種截面進(jìn)行分類，進(jìn)一步思考截面背后的原因，即如何能截出這樣的圖形）

問題5：如何“切”，使得截面成三角形，其構(gòu)成形狀有哪些？（學(xué)生先想象，在實(shí)踐，教師嘗試引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律：用一個(gè)平面截正方體一個(gè)角構(gòu)成，平面經(jīng)過正方體的三個(gè)面時(shí)，那么截面就是三角形。）

思考交流：能切出直角三角形、鈍角三角形么？為什么？

（設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步從直觀圖形中感知圖形背后的原因，引導(dǎo)學(xué)生討論、分析出截面的成因，從教學(xué)中落地直觀想象不是只是看圖或者數(shù)形結(jié)合，更重要的是通過圖去理解知識(shí)、歸納總結(jié)）

問題6：從三角形進(jìn)階到四邊形→如何切，使得截面成四邊形，其構(gòu)成形狀有哪些？（學(xué)生演示切的成果）

當(dāng)切面經(jīng)過正方體的四個(gè)側(cè)面時(shí)，所得截面可能是正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形。

思考交流：能切出任意四邊形、直角梯形么？為什么？

問題7：如何“切”，使得截面成五邊形？

當(dāng)平面經(jīng)過正方體的一個(gè)頂點(diǎn)和其它四條棱時(shí)，所得截面是五邊形。

思考交流：能切出正五邊形么？

問題8：如何“切”，使得截面成六邊形？

當(dāng)平面經(jīng)過正方體六條棱時(shí)，所得的截面是六邊形。

思考交流：能切出正六邊形么？能切出七邊形么？為什么？

（問題6-8設(shè)計(jì)意圖：一生二、二生三，三生萬物，引導(dǎo)學(xué)生通過類比和在腦海中進(jìn)行“想象”，再通過觀察直觀圖形和實(shí)物實(shí)踐的方式進(jìn)行驗(yàn)證，最后對(duì)截面進(jìn)行量化小結(jié)，完成對(duì)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)培養(yǎng)）

（三）總結(jié)交流

可能出現(xiàn)三角形：銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形。

四邊形：正方形、矩形、非矩形的平行四邊形、非等腰梯形、等腰梯形。

五邊形、六邊形、正六邊形。

不可能出現(xiàn)鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、七邊形、更多邊形

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過程，再進(jìn)行小結(jié)，完成從感性到理性的過程，借助幾何直觀圖形和空間想象來感知事物形態(tài)與變化，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)。）

（四）例題講解

例1：木工在處理如圖所示的一塊正方體木料時(shí)，發(fā)現(xiàn)木料表面有一塊裂紋，他打算沿裂紋將木料鋸開，卻不知道如何畫線，你如何幫他解決問題？

例2：如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的個(gè)條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（ ）

A.62 B.42 C.6 D.4

分析：由網(wǎng)格中的三視圖可推斷該幾何體為四面體，故可將四面體放置于棱長(zhǎng)為4個(gè)單位的正方體中去研究。

例3：已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為多少？

分析：

由此推斷截面與棱交點(diǎn)為棱中點(diǎn)，最后可根據(jù)6個(gè)全等三角形面積公式求得。

（例題設(shè)計(jì)意圖：通過例題聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)立體幾何中點(diǎn)、線、面、角之間的關(guān)系，借助正方體直觀圖解決問題，考察學(xué)生直觀想象能力的具體掌握情況）

（五）課堂小結(jié)

讓學(xué)生暢所欲言，說學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法;說學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)體會(huì)，逐步養(yǎng)成歸納總結(jié)的習(xí)慣。

（六）課后作業(yè)：

作業(yè)1：寫一份學(xué)習(xí)報(bào)告。

作業(yè)2：截面問題課后拓展（開放題）

制作三棱錐、柱、臺(tái)幾何體實(shí)物。

如果用平面“切”其它幾何體（長(zhǎng)方體、棱錐、棱臺(tái)、圓錐、圓柱等），其截面是什么圖形？如果截面是已知常規(guī)圖形（長(zhǎng)方形、三角形），則原被截的幾何體可能是什么？

（設(shè)計(jì)意圖：舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的能力）

（七）板書設(shè)計(jì)：

1 陜西省碑林教師進(jìn)修學(xué)校 2 西安市第二十六中學(xué)太乙分校 3 西安市第八十二中學(xué)4 西安市第六中學(xué) 5 西安市第三中學(xué)