“方程，函數，不等式”是用不同角度描述現實世界的有效工具

郭鵬飛

摘 要：永恒不變的是變化本身。我們身邊的一切都是以不斷變化的形式存在著，萬物變化都有自然規律，并且相互之間是有密切關聯相互影響的。我們從數學的角度來分析這個觀點，對變量和變量之間的關系進行進一步的論證。在研究過程中，研究變量與變量之間關系的初中數學內容--方程，函數，不等式，成為了與現實世界聯系十分緊密最有效的工具之一。

關鍵詞：方程;函數;不等式;數學

北師大版初中數學教材明確提出要培養學生的函數思想。讓函數內容能夠走進學生的生活實際，幫助他們加深對函數內容的理解，主要從以下幾個方面進行了思考與設計。

（一）對“方程，函數，不等式”內容價值和定位的思考

初中階段對函數內容的具體要求，不僅是一些具體的函數和具體的知識點，同時也應作為一種思想方法，探索數量關系和數量關系在實際問題中的變化規律，解決日常生活中的相關問題。此外，還應特別注意函數與其他相應數學內容的關系，如函數與方程的關系、函數與不等式的關系等。

函數的學習是漸進的、螺旋式的。當然，我們不能一蹴而就地理解函數所反映的相應的、變化的思想。函數在未來的數學學習中起著重要的作用。例如，大學課程中微積分（又稱數學分析）的基本研究對象是函數。比如微積分學的許多課程，如微分方程、實變函數、復變函數、泛函分析、調和分析、函數逼近理論等，都是從不同角度研究函數形成的課程，都是圍繞函數展開的。

函數是描述客觀世界的重要數學模型，函數思想也是數學課程的一條主線。它從一個角度把數學課程的許多內容聯系起來，使我們更深刻地理解知識，更牢固地掌握知識。數學是一門嚴謹的科學，認真思考也是數學思維的重要品質之一。然而，在教學中發現，學生在分析和解決問題時，有的思路不清，思維不暢導致答錯;有的敘述不嚴謹，存在許多漏洞，筆者在教學中作了有益的嘗試。

（二）北師大版初中數學教材對“方程，函數，不等式”不同角度的具體處理

1.提前滲透

教材從學生的生活經歷和存在背景出發，讓學生感受到兩個變量在變化過程中的“對應”關系，并試圖探索其變化規律。例如，在七年級第一冊“字母代表數字”一章的“代數表達式的評價”一節中，教材設計了一臺“數字轉換機”，要求根據輸入值寫出輸出結果。在第七章中，我們開始以非集中的方式討論變量之間的關系。通過大量學生感興趣的日常生活事件或其他學科的問題，使學生充分理解變量之間的相互依賴關系，并讓他們經歷學習函數基本性質的過程，嘗試根據功能的基本特征進行預測活動。其實對于這些問題的分析，都是在對函數基本性質有初步認識的基礎之上，包含了函數的漲落、周期等等特質。通過學習這些內容，不僅僅能夠使學生對數學的應用價值有新的體會，將變量之間的關系用數學方法來描述，還將變量和變量之間的關系體現的更加直觀，也豐富的學生們的認識，在后面學習更深一層的函數和運用打下了一定的基礎。

如果在教學中要認真學習“絕對值”、“差”、“常數”等重要詞匯，了解這些詞匯的真正含義，因此，應加強數學概念的教學，突出公式和規則的特點及其建立的附加條件。只有在理論上武裝學生的思想，奠定基礎知識的堅實基礎，才能有效地避免問題的解決。我們還應該經常運用所學的概念和規則，這種方法的優點是：可以減少學生簡單地背公式的麻煩和無聊，全面、多角度地加深學生對公式的理解，避免應用中的錯誤。

2.突出本質

教材從八年級第一冊開始，依次介紹正比例函數、反比例函數、二次函數，教材中一些內容的設計基本上體現了“問題情境、問題模式、問題概念、問題性質、問題方法、問題應用與問題延伸”的模式。當研究反比例函數的表達方法，探索和掌握反比例函數，討論反比例函數在實際生活和數學中的應用這些具體的功能時，他們不會感到抽象和難以理解。敘述嚴謹合理，推理以每一步為基礎。

學生思維的過程和結果是通過語言來反映的，即語言是思維的結果，同時語言又對思維起反應。如果在教學中注重培養學生嚴謹的語言習慣，勢必會增強學生的縝密思維。這有助于學生深入理解概念，準確理解教材中的結論和相關問題的解決過程，提高學生的口頭表達和推理寫作能力。

3.關注聯系

北師大版初中數學教材內容比較突出不同函數之間的聯系，以及函數與其他相應數學內容之間的聯系，如八年級一階函數與一階不等式的聯系、九年級二階函數與二階方程的聯系等。事實上，函數、方程和不等式都是描述現實世界的數學模型。不同之處在于它們描繪的內容不同。方程描述瞬時性，不等式描述絕對性，函數描述本質。

考察問題設置的條件，挖掘隱含信息。在解決問題時，許多學生只關注問題中現成的已知條件。他們缺乏揭示被覆蓋情況的能力，造成思維障礙或思維偏差。在教學中，我們要盡量預見學生思維中的困惑點，使學生在應用中思考、辨析、避免錯誤;或者刻意設置思維障礙，從消極的一面提醒學生，比老師簡單的正面強調更有效，學生們印象更深刻。

4.開展解題反思，增強監控意識

在教學中，教師不僅要注重對教材中現成的結論進行細致的思維模仿教學和訓練，更要注重對學生知識的缺乏或思維盲區的培養，在問題解決教學中，要逐步培養學生多思考問題，使學生養成思考問題的習慣從不同的角度仔細審視，通過尋找反例來檢驗問題或結論的正確性，引導學生進行分析和辨別。

為了增強學生的自我反省和自我監控意識，要求學生不斷反思：這個思路是否行得通，方法適不適合，這種思考對不對，方式是否合理等等。如果能恰當地運用特殊的方法來揭示學生的問題，就會使學生產生頓悟感，從而達到培養縝密思維的目的。要提高學生的縝密思維，教師的作用是必不可少的，缺乏思維水平的教師不可能培養學生具有較強的口語表達能力和推理能力。此外，還要引導學生進行橫向交流的思維方法。由于學生之間、教師與學生之間在思維上存在一定的差異，有必要讓學生相互學習，彌補彼此的不足，提高學生分析問題、解決問題的能力。

參考文獻：

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