《循環(huán)小數(shù)》一課五個版本教材比較研究

羅柳萍

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之一。目的是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念，形成對數(shù)學(xué)基本的、概括性的認識。從教育與發(fā)展心理學(xué)的觀點出發(fā)，概念教學(xué)的核心就是“概括”，概念教學(xué)強調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程。“數(shù)學(xué)能力就是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)的能力”，重視數(shù)學(xué)概念的概括過程對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有重要的意義。

《循環(huán)小數(shù)》這部分內(nèi)容概念較多，又比較抽象，是教學(xué)的一個難點。現(xiàn)行各版本教材對《循環(huán)小數(shù)》是如何編排，幫助學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程呢？筆者查閱了西南師大版、人教版、青島版、蘇教版、北師大版五個版本的教材，并嘗試進行對比分析，以期找到解惑的路徑。

一、“循環(huán)小數(shù)”的相關(guān)概念的表述方式比較

“循環(huán)小數(shù)”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了小數(shù)除法的意義、小數(shù)除法的計算及商的近似值的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。五個版本的教材都把“循環(huán)小數(shù)”安排在五年級上冊“小數(shù)除法”這一單元內(nèi)，其中蘇教版安排在第九單元，北師大版安排在第一單元，西南師大版、人教版、青島版都安排在第三單元。且西南師大版、人教版還把“循環(huán)小數(shù)”作為學(xué)習(xí)小主題，北師大版則以“除得盡嗎”作為小主題，青島版、蘇教版則無小主題。

另外，筆者將各版本教材中有關(guān)“循環(huán)小數(shù)”的相關(guān)概念的表述的方式按描述式與定義式進行統(tǒng)計。所謂定義式是用確切而簡要的語言揭示概念的內(nèi)涵或外延的方法。描述式是用一些生動、具體的語言或選取有代表性的特例做參照物對概念進行描述。

由上表可見，五個版本的教材對于“循環(huán)小數(shù)”的概念及知識點的表述方式都采用定義加描述的方式，西南師大版、人教版和青島版都對“循環(huán)小數(shù)”、“循環(huán)節(jié)”、“循環(huán)小數(shù)的簡便記法”、“有限小數(shù)和無限小數(shù)”等概念以描述式和定義式加以表述，而蘇教版和北師大版還對“循環(huán)小數(shù)的近似值”的取值方法做了說明。同時北師大版教材對“循環(huán)小數(shù)”的概念只做了描述式表述，青島版、蘇教版和北師大版將除“循環(huán)小數(shù)”概念外的其他概念基本編排到“你知道嗎”板塊。

在整個小學(xué)階段，由于數(shù)學(xué)概念抽象性與學(xué)生思維形象性的矛盾，大部分概念沒有下嚴格的定義，而是從學(xué)生所了解的實例或已有知識經(jīng)驗出發(fā)，盡可能通過直觀具體的形象幫助學(xué)生認識概念的本質(zhì)屬性。“循環(huán)小數(shù)”這種描述式加定義式的概念表述方式隱含著什么？教材怎樣編排幫助學(xué)生經(jīng)歷從“數(shù)學(xué)描述”到“合理定義”的概念形成過程呢？

二、“循環(huán)小數(shù)”一課例題選用的情境比較

五個版本教材基本上都借助學(xué)生熟悉的現(xiàn)實情境，引入小數(shù)除法計算，使學(xué)生感受到“循環(huán)小數(shù)”的產(chǎn)生的原因是基于現(xiàn)實生活的需要和計算的需要。在揭示循環(huán)小數(shù)的概念前，五個版本的教材都是通過除法豎式的計算引入，由此說明，對除法豎式的計算及其結(jié)果的感知過程，是概括“循環(huán)小數(shù)”等相關(guān)概念的前提。

三、“循環(huán)小數(shù)”一課例題選用的數(shù)據(jù)及引言的比較

五個版本的教材除北師大版外，都選用了三個除法算式，其中西南師大版、青島版在數(shù)據(jù)的選擇上還考慮了除數(shù)是整數(shù)、除數(shù)是小數(shù)這兩種小數(shù)除法的情況。人教版和北師大版例題中，選取的除法算式中除數(shù)都是整數(shù)。蘇教版更特殊，只選了60作為除數(shù)，這跟蘇教版所選取的情境有關(guān)。例題中算式的商考慮了純小數(shù)和帶小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)、循環(huán)節(jié)的位數(shù)有一位、兩位、三位等情況。五個版本“循環(huán)小數(shù)”例題選用的數(shù)據(jù)的多樣性，目的是使學(xué)生進一步豐富感知，建立循環(huán)小數(shù)的表象，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析能力，為建立循環(huán)小數(shù)的概念打下堅實的基礎(chǔ)。

五個版本教材中的例題呈現(xiàn)了豎式計算式和引言，目的是讓學(xué)生在求商時體會余數(shù)與商重復(fù)出現(xiàn)的關(guān)系，比較、發(fā)現(xiàn)兩個商的特點，建構(gòu)循環(huán)小數(shù)的概念。除蘇教版外都用了“你發(fā)現(xiàn)了什么”？繼而五個版本教材都通過引言引發(fā)學(xué)生關(guān)注“商的小數(shù)部分重復(fù)出現(xiàn)相同的數(shù)”、“余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)相同的數(shù)字”、“總是除不盡”等“循環(huán)小數(shù)”的本質(zhì)屬性，使學(xué)生經(jīng)歷對“數(shù)學(xué)現(xiàn)象的描述”到“數(shù)學(xué)概念的合理定義”的概念形成過程。

四、“循環(huán)小數(shù)”一課教材對比的啟示

通過五個不同版本教材的對比，筆者發(fā)現(xiàn)“循環(huán)小數(shù)”概念的學(xué)習(xí)過程基本一致，即首先是列豎式計算，發(fā)現(xiàn)永遠除不盡，由于余數(shù)不斷重復(fù)出現(xiàn)，從而使得商不斷重復(fù)出現(xiàn);接著分析比較找出商的共同點——都除不盡，商的小數(shù)部分都是寫不完的，且小數(shù)部分都是一個或兩個數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn);最后歸納概括出循環(huán)小數(shù)的概念。學(xué)生在計算中體會到循環(huán)小數(shù)的存在;在觀察中探究發(fā)現(xiàn)循環(huán)小數(shù)的特征;從對特殊例子的分析中歸納概括循環(huán)小數(shù)的意義;通過舉例理解循環(huán)小數(shù)的意義。

由此說明，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)宜從具體事物、已有概念入手，逐級抽象，形成新的概念。概念教學(xué)要盡量采用歸納式，給學(xué)生提供概括的機會，關(guān)鍵是要注意在學(xué)生現(xiàn)有認知水平基礎(chǔ)上提供概括機會，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實例中歸納共同特征，并讓學(xué)生從概念出發(fā)解釋其合理性，鞏固對概念的理解。