關于模型思想在中學數學幾何中的運用及反思

謝秀兵

摘 要：高中數學幾何涉及很多模型.教學中注重模型思想的講解與應用，能很好的提高學生的解題能力，促進學生數學學習成績的顯著提升.本文重點講解了墻角模型、對棱相等模型以及等體積模型，探討模型的相關運用與反思，以供參考.

關鍵詞：模型思想;高中數學;幾何;運用;反思

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0009-02

高中數學幾何教學中，既要注重幾何相關理論知識的講解，鍛煉學生空間想象能力，又要注重模型思想的講解，尤其應結合具體例題，為學生展示幾何模型在解題中的具體應用，并根據學生學習情況，做好模型思想教學的反思，做好細節上的優化與調整，不斷提高學生運用模型思想解答幾何問題的水平與能力.

一、立體幾何中的模型概述

高中數學幾何模型中墻角模型、對棱相等模型以及等體積模型是各類測試考查的熱點，因此，課堂上應與學生一起進行分析，推導相關的結論.

1.墻角模型

對于柱體而言，找到三條兩兩垂直的棱，便可求出其外接圓的半徑，外接圓的表面積、體積等問題也就迎刃而解.設三條棱長分別為a、b、c，將柱體補成長方體，設其外接圓半徑為R，則滿足（2R）2=a2+b2+c2，即，R=a2+b2+c22.

2.對棱相等模型

對棱模型是墻角模型的延伸.三棱錐中三組對棱分別相等，設為x、y、z，則其外接圓半徑R=x2+y2+z28.研究該模型時可將其放到長方體中，因長方體的對棱相等，因此，連接對棱使其構成一個三棱錐.設長方體的長、寬、高為a、b、c，由勾股定理列方程組，不難推出R=a2+b2+c22=x2+y2+z28.

3.等體積模型

等體積模型在解答三棱錐點到面的距離中較為常用，即，通過題干中的已知參數求解出三棱錐的體積后，通過換底便可求解頂點到面的距離.如知道三棱錐O-ABC的體積VO-ABC，而且根據已知條件容易求得△OAC、△OAB、△OBC的面積，則可求出點B、點C、點A到面OAC、OAB、OBC的距離.

二、模型思想在幾何教學中的應用

1.墻角模型的應用

如圖1在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，若PA=AB=BC=2，E、F分別為PB、PC的中點，則三棱錐P-AEF的外接球的表面積為（）.

圖1

A.2π B.3π C.4π D.5π

應用墻角模型解題時應注重結合已知條件以及所學的立體幾何知識判斷其是否符合模型條件.∵PA⊥底面ABC，則BC⊥PA，又∵BC⊥AB，PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，則BC⊥PE、BC⊥AE，又∵E、F分別為PB、PC的中點，則EF∥BC，又∵PA=AB，則AE⊥PE，則PE、AE、EF滿足兩兩垂直，顯然其符合墻角模型.又∵EF=1，PE=AE=2，則直接代入墻角模型R=a2+b2+c22=52，則S=4πR2=4π×54=5π，正確選項為D.

2.對棱相等模型的應用

在三棱錐P-ABC中，若PA=PB=BC=AC=5，PC=AB=42，則其外接球的表面積為（）.

A.41πB.41π2 C.41π3D .41π4

繪制草圖不難發現，PA與BC為對棱、PB與AC為對棱、PC與AB為對棱，與對棱相等模型情境相符，因此，可直接套用對棱相等模型，R=x2+y2+z28=25+25+328=412，則其外接球表面積S=4πR2=4π×414=41π，正確選項為A.

3.等體積模型的應用

如圖2三棱錐O-ABC的側棱OA、OB、OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點，求點C到平面ABE的距離.

圖2

解答該題可以三棱錐A-BCE為研究對象，求出該三棱錐的體積以及△ABE的面積便可求出點C到平面ABE的距離.由已知條件可知AB=OB2+AO2、BE=OB2+OE2、AE=AO2+OE2，容易求得AB=5、BE=5、AE=2，在△ABE中，AE邊上的高h=BE2-（12AE）2=322.容易求得S△ABE=12AE·h，S△BEC=12BO·EC，設點C到平面ABE的距離為d，由VA-BEC=VC-ABE，整理得到，BO·EC·AO=AE·h·d，易得d=23，即點C到平面ABE的距離為23.

三、模型思想在幾何教學中的運用反思

高中數學幾何教學中融入模型思想，結合學生在課堂上的表現以及掌握、運用幾何模型情況，做如下反思：

首先，應將模型思想納入教學重點.學生在解題的過程中，只要符合模型的條件，便可直接套用模型結論，可簡化解題過程，使學生在解題中少走彎路，大大提高解題正確率，尤其對于一些空間想象能力較弱的學生而言，采用幾何模型解題是一種很好的解題思路，因此，教學中應認識到模型思想的重要性，將其納入教學的重要內容，認真匯總幾何中的常見模型，在課堂上給予學生針對性的講解.

其次，教學中應注重調動學生學習積極性.為使學生充分把握幾何模型本質，領悟各種幾何模型思想的精髓，提高其應用模型思想解題的意識與能力，既要注重在課堂上與學生積極互動，營造寬松活潑的課堂氛圍，又要做好課堂教學規劃，靈活運用多媒體技術、小組比賽教學法、合作學習法等開展教學工作，激發學生的學習熱情，在學生的頭腦中留下深刻的印象，為其正確、高效的應用幾何模型解題做好鋪墊.

最后，鼓勵學生多進行幾何模型的探究.教學中應鼓勵學生利用課下時間進行幾何模型的探究，推導一些幾何模型結論，并根據學生的探究情況給予針對性的表揚，使其感受到幾何模型探究的成就感，更加積極主動的進行幾何模型的探究.同時，為提高學生的模型思想應用能力，應要求其做好常幾何模型總結，深刻把握幾何模型的特點，在解題中能夠融會貫通，舉一反三，實現數學解題水平的顯著提升.

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[責任編輯：李 璟]