如何用數學思想解答物理題

胡家愿

摘 要：數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識.眾所周知，數學與物理有著密切的聯系，在數學思想指引下，有助于學生更好的找到解題思路，提高學生的解題能力，因此教學中應注重運用數學思想進行解答，不斷提高學生運用數學思想解題的意識與能力.

關鍵詞：數學思想;高中物理;解題;探討

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0085-02

高中物理解題中常用的數學思想較多，主要有數形結合思想、函數與方程思想、歸納推理思想等.為使學生牢固的掌握這些思想，靈活用于解答相關的物理習題，教學中應注重為學生講解相關理論，并優選與講解相關例題，使學生掌握運用數學思想解答物理題的思路與方法.

一、數形結合思想解答物理題“數”與“形”有著密切的聯系.“數”使得人們對“形”的研究更加細致、入微，而“形”可直觀的展示“數”的一些規律.高中物理教學中應注重解題中常用的“形”，如三角形、平行四邊形、圓形等，其中三角形、平行四邊形在力、速度的分解中較為常用，而圓形常用于解答粒子在磁場中運動問題.教學中為使學生掌握應用數形結合思想解答物理習題的一些細節，應注重篩選與講解經典的例題，為其在解題中正確的應用奠定堅實基礎.

例1 如圖1所示，一勻強磁場分布在半徑為R的半圓形區域中，方向

與紙面垂直，磁感應強度為B.一帶電量為q，質量為m的粒子，以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經P點射入磁場（AP=d），忽略粒子的重力.如粒子從Q點射出，出射方向和半圓在Q點切線方向的夾角為φ，求入射粒子的速度.

該題目難度中等，主要考查粒子在磁場中的運動知識.解答該題的關鍵在于找到正確的角度、線段關系，因此，需要繪制相關圖形，運用數形結合思想進行求解.根據所學求解粒子的入射速度，需找到其做圓周運動時的半徑.根據描述，繪制如圖2所示的圖形：

圖2

分別做粒子入射、出射方向的兩條垂線交于點O1，則O1即為粒子做圓周運動的圓心.借助圖形確定粒子運動的半徑，便可順利解答該題.

設半徑為r.由幾何知識可得∠OQO1=φ，OO1=r-（d-R），由余弦定理可得|OO1|2=R2+r2-2rRcosφ，又∵qvB=mv2r，

聯立以上各式解得v=qBd（2R-d）2[R（1+cosφ）-d]

二、函數與方程思想解答物理題

函數與方程思想是一種重要的數學思想，在求解某一參數的最值問題中應用廣泛.教學中為使學生牢固掌握，靈活應用該思想解答物理習題，既要注重相關例題的講解，又要組織學生開展針對性的訓練活動.通過講解例題使學生感受運用函數與方程思想解題的過程，通過訓練進一步深化學生理解，積累相關的解題經驗與技巧，在以后解答相關問題時少走彎路，迅速突破.

例2 如圖3一開口向下半徑為R的光滑絕緣半球

圖3

面，固定在水平面上.整個空間存在方向豎直向下的勻強磁場，一質量為m，電荷量為q的小球p在球面上做水平的勻速圓周運動，圓心為O′.圓心到該圓周上任意點的連線與豎直方向的夾角為θ（0<θ<π2），求使小球在該圓周上運動時磁感應強度的最小值.

該例題創設的情境較為新穎.很多學生看到該題目不知如何下手，教學中應鼓勵學生運用所學，根據題干情境構建相關的方程，而后將方程聯立、整理，將其轉化為方程問題，運用函數與方程思想解答.

以小球為研究對象對其進行受力分析，設球面的對其的彈力為N，在豎直方向上Ncosθ-mg=0;水平方向上洛倫茲力與彈力分量的合力提供做圓周的向心力，即，F-Nsinθ=mv2r，有因為F=qvB，r=Rsinθ，

聯立以上各式得到：

v2-qBRsinθmv+gRsin2θcosθ=0

該方程要想有解，需滿足

Δ=（qBRsinθm）2-4gRsin2θcosθ≥0

得到B≥2mqgRcosθ

因此磁感應強度B的最小值為Bmin=

2mqgRcosθ.

三、歸納推理思想解答物理題

運用歸納推理思想解答物理習題對學生的綜合素質要求較高，不僅需要掌握扎實的物理知識，而且還應具備靈活的思維，能夠從求解的參數中尋找內在規律.教學中為使學生掌握該解題思想，應注重為學生認真剖析相關例題，并鼓勵學生做好解題總結，不斷分析，彌補運用歸納推理思想解題的不足，尤其鼓勵學生相互分享解題經驗，多虛心向他人請教.

例3 如圖4甲所示，在平行邊界MN、PQ之間存在寬為l，方向平行于紙面且與邊界垂直的變化電場，變化規律如圖4乙所示.在MN、PQ兩側足夠大的區域有方向垂直紙面向外，大小相同的勻強磁場，一忽略重力的帶電粒子，從t=0時，自邊界上某點由靜止第一次經電場加速后，以速度v1垂直邊距MN第一次射入磁場中做勻速圓周運動，接著第二次進入電場中做加速運動而后垂直邊界PQ的第二次進入磁場中運動，已知粒子在磁場中運動時電場區的場強為零，求粒子第n次經過電場所用的時間.

圖4

該題目難度較大，教學中應與學生一起分析粒子運動過程，使學生對粒子的運動規律有個更為清晰的認識，而后鼓勵其列出方程，歸納推理出參數之間的關系.

設粒子的質量以及電荷量分別為m，q，第一次與第三次在磁場中的運動半徑為r1，r3，第二次、第三次出電場時的速度為v2，v3，在第一、二、三次在電場中運動時的場強大小分別為E1、E2、E3.

則由動能定理可得：

E1ql=12mv12，

E1ql+E2ql=12mv22，

E1ql+E2ql+E3ql=12mv32，

由電場變化規律可得E1∶E2∶E3=1∶3∶5

聯立各式可得v1∶v2∶v3=1∶2∶3.

設粒子第n次進入電場時的速度為vn-1，出電場時的速度為vn，運動時間為tn，根據上述結論可歸納推理出vn=nv1，vn-1=（n-1）v1.

由運動學公式可得：vn-1+vn2tn=l，

解得tn=2l（2n-1）v1=22n-1ml2E1q.

高中物理習題多種多樣.部分習題需要運用數學思想進行解答，因此教學中應提高認識，做好物理解題中常用數學思想的歸納，結合學生所學的物理知識，有針對性的篩選相關的習題，為學生逐一講解數學思想在解題中的應用，使其掌握不同數學思想在解題中的應用思路、技巧，為其更好的應用于解題中做好鋪墊.

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[責任編輯：李 璟]