強化問題邏輯 引領解題方向

摘 要：文章以四道例題為載體，以問題的邏輯為抓手，剖析解答中的關鍵過程，揭示出問題的本質，理清學生思維的困惑.

關鍵詞：問題邏輯;充要條件;等價變形;理性思維

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0056-03

解題過程就是實現從條件到結論的通達.教學中發現部分學生弄不清條件與結論的邏輯關系，常常在解題過程中出現不等價變形而不自知等等.如何避免邏輯關系的顛倒，實現問題的等價轉化？學生們不僅要有堅實的基礎知識、熟練的基本技能，必要的解題經驗，還要具備通過閱讀理解題意、結合問題制定解題方案、根據困難所在調整思維方式、反思比較中優化方法的能力.下面給出四道例題并對其關鍵點進行點評，以期能對大家有所幫助.

例1 四邊形邊框頂點分別為A、B、C、D，一螞蟻沿折線BCDA由點B向點A運動，螞蟻位置P與AB構成△ABP的面積為S，老師在黑板上畫出S=fx的圖像如圖1所示，同學甲、乙、

丙、丁分別做出如下判斷：

甲：邊框ABCD是平行四邊形;

乙：邊框ABCD是等腰梯形;

丙：當螞蟻到AD中點時，△ABP的面積是10;

丁：路程x∈10，14時，S=fx=56-4x.

試問哪些同學的判斷是正確的？

解 當x∈5，9時，從圖1可知△ABP的面積不變，此時S△ABP=20，則四邊形ABCD中必有兩邊AB與CD平行，且

CD=4，BC=5，DA=5.

如圖2所示，若ABCD是平行四邊形，則S△ABP的最大值只能為10，達不到20.所以乙、丙、丁的回答是正確的.

點評 本題設問為“哪些同學的判斷是正確的”，即由條件可直接斷定結論.這時不宜將選項直接代入，符合條件就認定其為正確選項，因為還有可能有其他情況.即要弄清楚結論的充要條件與充分條件的區別.本題容易判斷AB與CD平行及CD，BC，DA的長度，在“一組對邊（AB與CD）平行的條件下”只需判斷另一組對邊是否平行即可斷定該四邊形的形狀（平行四邊形還是梯形）.該等腰梯形唯一嗎？還能怎么推導呢？設AB=a，螞蟻運動的路程為x（線段或折線AP的長度），當x∈0，5時，S=12axsin∠ABC=4x，得asin∠ABC=8①;當x∈9，14時，S=56-4x.另一方面S=12a14-xsin∠DAB=7asin∠DAB-12axsin∠DAB，所以有asin∠DAB=8②.結合①②可知，sin∠ABC=

sin∠DAB，而∠ABC，∠DAB∈0，π.當∠ABC+∠DAB=π時，四邊形ABCD是平行四邊形，此時a=4，這與asin∠ABC=8矛盾（或直接由a8得到ABCD不是平行四邊形）.若∠ABC=∠DAB，此時四邊形ABCD是等腰梯形，且該梯形不唯一.例2 已知函數fx=bx+cax2+1（a，c∈R，a>0，b是自然數）是奇函數，fx有最大值12，且f1>25.

（1）試求函數fx的解析式;

（2）是否存在直線L與y=fx的圖像只交于點P，Q兩點，并且使得P，Q的中點坐標為（1，0）？若存在，求出直線L的方程;若不存在，請說明理由.

解 （1）由fx是奇函數，易知c=0;

又a>0，b是自然數，可知當x<0時，fx<0;當x>0時，fx>0.因此fx的最大值12必在x>0時取得.當x>0時，fx=bxax2+1=bax+1x≤b2a，當且僅當x=aa時等號成立.故b2a=12，又f1>25，即ba+1>25，又a>0，b是自然數，所以a=b=1.所以函數fx的解析式為fx=xx2+1.

（2）假設存在滿足條件的直線L，則P，Q的坐標可設為x0，y0，Q（2-x0，-y0），且這兩點都在函數fx=xx2+1的圖像上，則x0x20+1=y0，2-x02-x02+1=-y0.消去y0，得x20-2x0-1=0，x0=1±2.

所以P1+2，24，Q1-2，-24或P1-2，-24，Q1+2，24.所以直線L的方程為x-4y-1=0.

把直線L的方程與函數fx=xx2+1聯立，不難求得共有三組解：x=1+2y=24或x=1-2y=-24或x=-1y=-12.

因此，直線L與函數fx的圖像共有三個交點，與“只交于兩點”矛盾.所以滿足條件的直線不存在.

點評 很多學生求出直線L的方程為x-4y-1=0便以為萬事大吉.事實上，這只是“直線L與y=fx的圖像上存在兩個公共點P，Q兩點，并且使得P，Q的中點坐標為（1，0）”的必要條件，因為消去了y0（y0∈-12，12）而對y0“舍而不求”，至于直線L與函數fx的圖像是否相交、具體幾個交點均需驗證.即直線L的存在性還需要通過充分性的檢驗.

例3 對于函數fx（x∈D），若同時滿足以下條件：①fx在D上單調遞增或單調遞減;②存在區間a，bD，使fx在a，b上的值域是a，b.那么，我們把函數fx（x∈D）叫做閉函數.

（1）求閉函數y=-x3符合條件的區間a，b;

（2）判斷函數y=2x-lgx是不是閉函數？若是，說明理由，并找出區間a，b;若不是，說明理由;

（3）若y=k+x+2是閉函數，求實數k的取值范圍.

解 （1）函數y=-x3是單調遞減函數，則有-a3=b-b3=aa<b，得a=-1b=1，即a，b=-1，1.

（2）記fx=2x-lgx，f1100=2.02，f1=2，f10=19，故函數fx=2x-lgx不是單調函數，故它不是閉函數.

（3）解法1 由題意，x=k+x+2有兩個不相同的實數解，則x-k=x+2，故x-k2=x+2，所以x2-2k+1x+k2-2=0.記gx=x2-2k+1x+k2-2，則gx=0的兩個不同的根均大于等于k，故△>02k+12>kg（k）0，得k∈-94，-2.

解法2 在同一平面直角坐標系下，作出函數y1=x-k，y2=x+2的圖像，如圖3所示，當直線y=x-k與y=x+2的圖像相切時，可得k=-94，結合圖像可得k∈-94，-2.

解法3 x=k+x+2有兩個不相同的實數解，則有k=x-x+2=x+2-x+2-2=x+2-122-94，令t=x+20，則k=t-122-94，t∈0，+SymboleB@，若直線y=k和y=t-122-94，t∈0，+SymboleB@的圖像有兩個交點，則k∈-94，-2.

點評 對于第（3）小題，解法1中x-k=x+2有兩個不同的實數解，其中xk且x-2，當兩邊平方后，只需xk即可.但x-2不能保證xk，有可能會出現x-k與x+2互為相反數的情況;解法2中轉化為傾斜直線y=x-k與y=x+2圖像有公共點問題，難點是畫出函數y=x+2的圖像;解法3分離參數，轉換為水平直線y=k和y=x-x+2的圖像交點問題，根據t與x的一一對應關系巧妙換元，從而使解答變得直觀與簡捷.

變式 若方程lg2-x2lgx-a=2有實數解，求實數a的取值范圍.

解 原方程等價于lg2-x2=2lgx-a且x-a≠1，即2-x2=x-a>0①，且x-a≠1.記fx=2-x2，gx=x-a，且fx>0，gx>0.

由圖4可得①的條件是-2≤a<2.

由于x≠a+1，若x=a+1，代入2-x2=x-a，得a=0或a=-2.

綜上所述，實數a的取值范圍為-2，0∪0，2.

點評 原方程的等價條件為2-x2=x-a>0，且x-a≠1.

以上解答先利用2-x2=x-a>0確定結論的必要條件，再利用x-a≠1確定結論的充要條件.也可將所有條件集中在同一個圖中，如圖5所示.本題也可用分離參數法，只是函數y=x-2-x2的圖像與性質相對繁雜.

例4 已知動圓過定點P（1，0），且與定直線L∶x=-1相切，點C在L上.

（1）求動圓圓心的軌跡M的方程;

（2）設過點P，且斜率為-3的直線與曲線M相交于A，B兩點.

（ⅰ）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標，若不能，說明理由;

（ⅱ）當△ABC為鈍角三角形時，求點C的縱坐標的取值范圍.

解 （1）由題意，曲線M是以點P為焦點，直線L為準線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.

（2）直線AB的方程為y=-3x-1，聯立y=-3x-1，y2=4x，得3x2-10x+3=0， 解得x1=13或x2=3.不妨設A13，233，B3，-23，AB=x1+x2+2=163.

（ⅰ）假設存在點C-1，y，使△ABC為正三角形，則BC=AB且AC=AB，所以3+12+（y+23）2=1632①13+12+（y-23）2=1632②

由①-②得42+（y+23）2=（43）2+（y-23）2③

得y=-1439.

經檢驗，y=-1439不符合①.

由①②組成的方程組無解，即直線L上不存在點C，使得△ABC為正三角形.

（ⅱ）設C-1，y使△ABC為鈍角三角形.由y=-3x-1，x=-1，得y=23.即當點C-1，23時，三點A，B，C共線，故y≠23.

AC2=-1-132+y-2332=289-433y+y2，BC2=3+12+y+232=28+43y+y2，AB2=1632=2569.

①當∠CAB為鈍角時，BC2>AC2+AB2，即28+43y+y2>289-433y+y2+2569，得y>239.

②當∠CBA為鈍角時，AC2>BC2+AB2，即289-433y+y2>28+43y+y2+2569，得y<-1033.

③當∠ACB為鈍角時，AB2>AC2+BC2，即2569>289-433y+y2+28+43y+y2，該不等式無解.

綜上所述，當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍為-SymboleB@，-1033∪239，23∪23，+SymboleB@.

點評 在第（2）（ⅰ）小題中，“BC=AB且AC=AB”是“△ABC為正三角形”的充要條件，但①-②得到（BC=AC所滿足）的方程③只是結論的必要條件，由等價變形可知①③或②③構成的方程組為結論的充要條件.本題也可根據“△ABC為正三角形”由A，B求出點C的坐標再驗證點C的橫坐標是否為-1.在第（2）（ⅱ）小題中，首先要確保△ABC的存在性，由于以拋物線的焦點弦為直徑的圓與該拋物線的準線相切，故∠ACB不可能為鈍角，解答中用余弦定理求解，需要解關于y的一元二次不等式.結合本題中點A，B是固定的，故可先根據CA⊥AB或CB⊥AB利用斜率關系找出臨界值，再結合圖形求解.

參考文獻：

[1]鄭良.基于數學核心素養的立體幾何教學思考——對2018年高考數學立體幾何試題評析[J].中學數學教學參考，2018（34）：46-51.

[責任編輯：李 璟]