論高中數學解題中代換法的應用

丁多利

摘 要：代換法是一種重要的解題方法，在高中數學解題中應用率較高.為使學生能夠應用代換法靈活解答相關數學習題，促進其解題能力與學習成績的提升，應做好數學內容研究，圍繞典型的習題，為學生講解代換法的具體應用，使其積累相關的應用經驗與技巧.

關鍵詞：高中數學;解題;代換法;應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0005-02

高中數學中的代換類型較多，包括參數與常量之間的代換、參數之間的代換、參數與公式之間的代換等.代換法之所以能夠進行，關鍵在于兩者之間存在著數或邏輯上的相等關系.

教學中為加深學生對代換法的深刻認識，牢固的掌握最重要的解題方法，應做好應用代換法解題的教學.

一、三角變換中代換法的應用

高中數學涉及很多三角恒等變換公式，如cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ、sin2α=2sinαcosα、cos2α+cos2α=1等，這些公式是進行代換的重要依據，因此，教學中應對三角恒等變換公式進行分類，要求學生采用對比法牢固的記憶，避免張冠李戴.同時，結合授課經驗，優選經典的例題，與學生一起剖析解題過程，使學生能夠掌握代換法的切入點，實現高效解題.

例1 若3sina+cosa=0，則1cos2a+sin2a的值為（）.

A.83B.93C.103 D.113

該習題屬于三角函數中較為常規的題目，難度并不大.教學中引導學生認真分析要求了解分式的特點，積極聯系所學知識進行合理的代換.如要求解分式的分子為1，很容易聯想到cos2α+cos2α=1，通過代換后，則可轉化為齊次式便可求解.

因為3sina+cosa=0，則不難推出tana=-13.

則1cos2a+sin2a=sin2a+cos2acos2a+2sinacosa=tan2a+11+2tana=19+11+2×（-13）=103，

正確選項為C.

教學中通過引導學生分析該題目，使其認識到在解答三角函數相關的問題時一定不要忘記使用cos2α+cos2α=1進行代換.

二、常規函數中代換法的應用

對常規函數而言奇、偶函數、周期函數等存在等量關系，如f（x）=-f（-x）、f（x）=f（x+T）（T為周期）等.為使學生能夠靈活運用常規函數中的等量關系進行巧妙的代換，順利解答相關題目，應結合自身的教學經驗設計代表性的問題，要求學生在課堂上思考解答，并做好解題經驗總結，在以后的學習中遇到類似的問題，能夠迅速的破題.

例2 已知f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數與奇函數，且f（x）-g（x）=x3+x2+1，則f（1）+g（1）=（）.

A.-3B.-1C.1D.3

該題目難度并不大，解題的關鍵能夠通過代換構建已知條件和要求解問題的關聯.因為f（x）為偶函數，g（x）為奇函數，即，f（x）=f（-x），g（x）=-g（-x），顯然可使用f（-x）-g（-x）代換f（x）+g（x）.則可推出f（1）+g（1）=f（-1）-g（-1），又因為f（x）-g（x）=x3+x2+1，則將x=-1代入f（-1）-g（-1）=-1+1+1=1，正確選項為C.

通過做該問題的求解使學生認識到，為順利解答常規函數問題應注重常用等量關系的積累，并深刻理解，結合具體問題進行合理的變形與代換.

三、導數問題中代換法的應用

導數是高中數學的重要知識點，與其他知識聯系緊密.部分習題常與基本不等式知識結合起來.解題時需要具體問題具體分析，巧妙的借助等量關系進行代換.教學中為提高學生運用代換法解答導數問題的意識，在解題中少走彎路，應注重為學生詳細的講解相關的例題，認真板書解題步驟，使其掌握代換法解題的相關細節.

例3 曲線f（x）=2alnx+bx（a>0，b>0）在點（1，f（1））處的切線的斜率為2，則8a+bab的最小值為（）.

A.10B.9C.8D.32

該題目是導數與不等式的結合習題，解題時需要從已知條件中挖掘隱含條件，而后通過等量代換，運用基本不等式公式進行求解.

由已知可得f ′（x）=2ax+b，

又因為f ′（1）=2a+b=2.

8a+bab=8b+1a=12（2a+b）（8b+1a）

=12（10+16ab+ba）

=5+12（16ab+ba）

≥5+12×216

=5+4=9

當且僅當4a=b時，取“=”，因此，正確選項為B.

在課堂上為學生講解該例題，使學生認識到“1”這一特殊的代換媒介，任何一個數或公式均可以看作其與“1”的乘積，或者分母為“1”，而后尋找與“1”相關的等量關系進行代換解題.

四、數列問題中代換法的應用

高中數學中還有一種特殊的代換關系，即，參數與公式間的代換.該代換關系雖然不難理解，但具有一定的技巧性.很多學生常因不會應用代換法而不能順利的解答出相關習題，因此教學中應注重向學生展示相關的習題，并給予學生解題的引導，使其能夠及時找到代換的突破口.

例4 在等比數列{an}中，a1=2，a8=4，函數f（x）=x·（x-a1）·（x-a2）……（x-a8），則f ′（0）=（）.

A.26B.29C.212 D.215

該題目數列與函數的綜合題目，具有一定的技巧性，很多學生看到該題目后不知所措，事實上采用整體代換問題便可迎刃而解.令g（x）=（x-a1）·（x-a2）……（x-a8），則f（x）=x·g（x），則由導數知識可得f ′（x）=g（x）+xg ′（x），則f ′（0）=g（0）=（a1·a8）4=212，正確選項為C.

通過該習題的解答，使學生認識到解題時應認真觀察給出的已知條件，構建參數與公式之間的等量關系，注重運用代換法進行解答.

高中數學部分習題應用代換法求解，可獲得事半功倍的效果，因此教學中應做好這一重要方法的講解，尤其圍繞具體內容，選擇不同類型的習題，為學生講解帶換法的具體應用，使其通過學習總結代換法的應用規律，充分把握其本質，在解題中做到游刃有余.

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[責任編輯：李 璟]