一道2020年高考圓錐曲線試題的探究與推廣

摘 要：本文對2020年高考（北京卷）圓錐曲線試題進行探究，并將橢圓中發現的一般性結論推廣到其它圓錐曲線中.

關鍵詞：橢圓;動直線;中點

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0004-02

一、問題的提出

2020年高考（北京卷）第20題是求值問題，該試題如下：

試題 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1過點A（-2，-1），且a=2b.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點B（-4，0）的直線l與橢圓C交于M，N，直線MA，NA分別交直線x=-4于點P，Q.求PBBQ的值.

略解 （1）橢圓C的方程為x28+y22=1.

（2）如圖1，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x+4），

由y=k（x+4），x28+y22=1，消去y化簡，得

（4k2+1）x2+32k2x+64k2-8=0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=-32k24k2+1，x1x2=64k2-84k2+1，

直線AM：y+1=y1+1x1+2（x+2），令x=-4，得點P的縱坐標yP=-x1-2y1-4x1+2，

同理，得點Q的縱坐標yQ=-x2-2y2-4x2+2，

∴yP+yQ=-x1-2y1-4x1+2+-x2-2y2-4x2+2.

把y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式化簡，得

yP+yQ=-（4k+2）[x1x2+3（x1+x2）+8]x1x2+2（x1+x2）+4，

∵x1x2+3（x1+x2）+8=64k2-84k2+1+3·-32k24k2+1+8=0，

∴yP+yQ=0，則PBBQ=1.

在這道試題中，橢圓C是給定的橢圓，點A、B分別是橢圓C、x軸上的特殊點，通過計算發現點B為PQ的中點.如果橢圓C是任意的橢圓，點A、點B分別是橢圓C、x軸上的任意點，是否仍然有對任意過點B的直線l，都使得點B為PQ的中點這一結論呢？

問題 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，點A（x0，y0）在橢圓C上，過點B（m，0）（m≠x0）的動直線l與橢圓C交于M，N，直線MA，NA分別交過點B且垂直于x軸的直線于點P，Q.當且僅當點A、B的坐標滿足怎樣的關系時，點B為PQ的中點？

二、問題的探究

當直線l垂直于x軸且與橢圓有交點時，點P，Q即為M，N，點B為PQ的中點.

當直線l不垂直于x軸時，設動直線l的方程為y=k（x-m），聯立y=k（x-m），x2a2+y2b2=1，消去y并整理，得（a2k2+b2）x2-2ma2k2x+a2k2m2-a2b2=0，

設M（x1，y1）、N（x2，y2），則x1+x2=2ma2k2a2k2+b2，x1x2=a2k2m2-a2b2a2k2+b2.①

直線AM的方程為y-y0=y1-y0x1-x0（x-x0），令x=m，得點P的縱坐標為yP=y0+y1-y0x1-x0（m-x0），同理，點Q的縱坐標為yQ=y0+y2-y0x2-x0（m-x0），則yP+yQ=2y0+（m-x0）（y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0），

對任意動直線l，要使點B為PQ的中點，即對任意實數k，要使yP+yQ=0，

∵m-x0≠0，2y0，m-x0為常數，

∴y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0的值必須為定值，

∵y1=k（x1-m），y2=k（x2-m），

∴y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0

=2kx1x2-（km+kx0+y0）（x1+x2）+2kmx0+2x0y0x1x2-x0（x1+x2）+x02，

將①式代入上式化簡，得

y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=2y0a2（x0-m）k2+2b2（mx0-a2）k+2x0y0b2a2（m-x0）2k2+b2（x02-a2），②

由于②式中分母沒有k的一次項，要使y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0的值為定值，②式中分子的k的一次項系數必須為0，即mx0=a2.

當mx0=a2時，y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=2x0y0[a2（x02-a2）k2+x02b2]（x02-a2）[a2（x02-a2）k2+x02b2]=2x0y0x02-a2，

則yP+yQ=2y0+（a2x0-x0）·2x0y0x02-a2=0.

接下來我們研究，當mx0=a2時，直線AB與橢圓C的位置關系：

因為點A（x0，y0）在橢圓C：x2a2+y2b2=1上，所以橢圓C在點A處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1，令y=0，得x=a2x0.

當mx0=a2時，m=a2x0，點B的坐標為（a2x0，0），

此時直線AB與橢圓C相切.

因此，我們得到結論：

結論1 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，點A（x0，y0）在橢圓C上，過點B（m，0）（m≠x0）的動直線l與橢圓C交于M，N，直線MA，NA分別交過點B且垂直于x軸的直線于點P，Q.當且僅當mx0=a2，即直線AB為橢圓C的切線時，點B為PQ的中點.

在結論1中，點B在x軸上，如果點B在y軸上，可以得出下面的結論，證明過程略.

結論2 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1，點A（x0，y0）在橢圓C上，過點B（0，m）（m≠y0）的動直線l與橢圓C交于M，N，直線MA，NA分別交過點B且垂直于y軸的直線于點P，Q.當且僅當my0=b2，即直線AB為橢圓C的切線時，點B為PQ的中點.

在圓中，經研究也有類似的結論：

結論3 已知圓C：x2+y2=r2，點A（x0，y0）在圓C上，過點B（m，0）（m≠x0）的動直線l與圓C交于M，N，直線MA，NA分別交過點B且垂直于x軸的直線于點P，Q.當且僅當mx0=r2，即直線AB為圓C的切線時，點B為PQ的中點.

三、問題的推廣

如果曲線C為雙曲線或拋物線，經研究也有類似的結論：

結論4 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，點A（x0，y0）在雙曲線C上，過點B（m，0）（m≠x0）的動直線l與雙曲線C交于M，N，直線MA，NA分別交過點B且垂直于x軸的直線于點P，Q.當且僅當mx0=a2，即直線AB為雙曲線C的切線時，點B為PQ的中點.

結論5 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1，點A（x0，y0）在雙曲線C上，過點B（0，m）（m≠y0）的動直線l與雙曲線C交于M，N，直線MA，NA分別交過點B且垂直于y軸的直線于點P，Q.當且僅當my0=-b2，即直線AB為雙曲線C的切線時，點B為PQ的中點.

結論6 已知拋物線C：y2=2px，點A（x0，y0）在拋物線C上，過點B（m，0）（m≠x0）的動直線l與拋物線C交于M，N，直線MA，NA分別交過點B且垂直于x軸的直線于點P，Q.當且僅當m+x0=0，即直線AB為拋物線C的切線時，點B為PQ的中點.

上面三個結論的證明與結論1的證明類似，證明過程略.

參考文獻：

[1]喻秋生.一道2019年高考圓錐曲線試題的探究與發現[J].中學數學研究，2019（15）：12-13.

[責任編輯：李 璟]