基于核心素養下對基本不等式的再思考

楊偉達

摘 要：基本不等式是高中數學的重要內容，也是歷年高考考查的難點.本文介紹了一些基本不等式的求解策略，僅供參考.

關鍵詞：基本不等式;求解策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0002-02

新教材將基本不等式放入高中數學第一冊第二章，

成了一線數學教師對新教材教學的熱門話題，其意義深遠，即突顯出基礎性、實用性、技巧性，又能夠進一步提升學生的運算求解能力和轉化與化歸能力.下面是筆者對一些關于基本不等式的數學問題進行剖析，旨在提高學生的數學核心素養.

一、和與積

和與積是天生一對孿生兄弟.缺了誰，就找誰﹒如果和為定值，就要想辦法找積的形式;如果積為定值，就要想辦法找和的形式.在運用“和與積”時，必須滿足“一正、二定、三相等”，若發現不符合三個條件時，就要進行變形，運用基本不等式即可.

例1 已知a>0，b>0，1a+2b=3，求ab的最大值.

分析 已知條件是和的形式，和為定值求積的最大值.觀察、發現直接運用基本不等式即可.

解 因為a>0，b>0，

所以1a+2b=3≥21a×2b即2ab≤32，所以1ab≤98，ab≥89

所以當且僅當a=23，b=43 ，ab最小值為89.

二、倒數和

倒數和的形式如：a□+b△（a，b為正數）.當且僅當□≠△時，就要對倒數和進行變形，或加m減m、或乘m除m等方法把□變為△，最終達到乘積為定值.

例2 已知x>12，求x+22x-1的最值.

分析 觀察、發現倒數和的兩項乘積不是定值，不能直接運用不等式，此時需要對倒數和進行變形，直到乘積為定值時運用基本不等式即可.

解 因為x>12，所以x-12>0.

將x+22x-1=x+1x-12=（x-12）+1x-12+12≥2+12.

當且僅當x=32時，x+22x-1的最小值為2+12.

例3 求函數y=x2+3x+5x+1（x≠-1）的值域.

分析 本題看似與不等式無關，實則可以通過拆分變為倒數和的形式，然后再運用基本不等式求解.

解 y=x2+3x+5x+1=（x+1）2+（x+1）+3x+1=（x+1）+3x+1+1

（1）當x+1>0即x>-1時，y≥2（x+1）×3x+1+1即y≥1+23，當且僅當x=3-1時，等號成立;

（2）當x+1<0即x<-1時，y≤-2（x+1）×3x+1+1即y≤1-23，當且僅當x=-3-1時，等號成立.

綜上所述，函數y=x2+3x+5x+1（x≠-1）的值域為-SymboleB@，1-23∪1+23，+SymboleB@.

三、整式和與分式和

整式和的形式如：a○+b▲（a，b為正數），分式和的形式如：c□+d△（c，d為正數）﹒在涉及整式和與分式和的數學問題時常常已知一個定值求另一個最值. 當且僅當□+△不為定值時，就要對整式和變形，或加m減m、或乘m除m等把分母之和變為定值.解決辦法：先設，接著進行乘法運算，最后變為倒數和的形式求最值.

例4 已知正數a，b滿足a+b=1，求12a+3+1b+2的最小值.

分析 本題是整式和為定值求分式和的最值問題. 解決辦法：整式和乘以分式和﹒筆者觀察、發現分式中的兩分母之和與已知條件的定值不吻合，所以先將分式進行變形，后再將整式變形即可.

解 不妨設12a+3+1b+2=m，將12a+3+1b+1變為12a+32+1b+1，

因為a+b=1所以（a+32）+（b+2）=92，

所以92m=（a+32）+（b+2）×12a+32+1b+2

92m=32+2a+32b+2×12（b+2）a+32≥32+2

所以m≥13+239﹒

當且僅當a=922-6，b=7-922時，12a+3+1b+2的最小值為13+239﹒

例5 已知a>0，b>0，a+3b=5ab，則3a+4b的最小值是（）.

A.245B. 285C. 5D. 6

分析 將題設條件化簡為分式和為定值的形式. 筆者發現原問題是分式和為定值求整式和為最值的數學問題. 解決辦法：整式和乘以分式和后用基本不等式即可.

解 將a+3b=5ab化簡3a+1b=5

不妨設3a+4b=m，且a>0，b>0，則有

5m=（3a+1b）（3a+4b）=13+12ba+3ab≥13+24ba·9ab

即5m≥25 解得m≥5，故選C﹒

四、整式和與整式和

已知整式和為定值求另一個整式和的最值.解決辦法：分離后找配對. 即配添分離，運用基本不等式即可將問題解決.

例6 已知正數a，b滿足a+b=1，求a+b的最大值.

分析 觀察、發現題設條件與目標都是整式和，若是求和的最大值，則提取系數、找配對，想辦法找到和為定值，運用ab≤a2+b22或者ab≤（a+b2）2，若達不到定值，則需要先對題設目標進行變形，運用基本不等式即可.

解 因為a>0，b>0且a+b=1

a=2·（a·22）≤2（a+122）

同理，b=2·（b·22）≤2（b+122）

所以a+b≤2（a+12+b+122）=2

所以a+b≤2

當且僅當a=b=12時，a+b的最大值為2.

例7 已知正數a，b，c滿足a+b+c=1，求證a2c+b2a+c2b≥1

分析 本題題設條件、目標都是和式、項數相同. 若是求和的最小值，則分離后找配對，添項補數，想辦法找到積為定值;若達不到定值，則先變形，直到找到積為定值時才運用a2+b2≥2ab或者a+b≥2ab即可.

解 a>0，b>0，c>0

所以a2c+c≥2a，b2a+a≥2b，c2b+b≥2c

所以a2c+b2a+c2b+c+a+b=（a2c+c）+（b2a+a）+（c2b+b）≥2a+2b+2c

當且僅當a=b=c=13時，等號成立

所以a2c+b2a+c2b≥1證畢.

參考文獻：

[1]蔡勇全.構造“基本不等式”適用背景的六種變換[J].數理化解題研究，2019（01）：56-59.

[責任編輯：李 璟]