同構函數在解決高考壓軸題中的應用

張春華

摘 要：筆者從事高中數學教學已近三十年，在近些年對全國各地高考題函數類題的研究中發現，利用同構式函數思想解決較為復雜的函數問題經常被用到.所謂同構函數即左右形式相當，一邊一個變量，取左或者取右去構造函數.盡管函數問題千變萬化，但每種問題都可以歸屬于某種類型，掌握每種類型問題的解決方法，從而應對各種復雜的函數問題.

關鍵詞：同構函數;雙變量;指對混合

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0042-02

如何去構造一個同構函數，常用的同構函數形式又有哪些？本文試圖通過以雙變量和指對混合兩類問題的分析，探索如何構造同構函數，以提高學生解題能力，掌握高考數學中解決函數壓軸題的一種途徑.

一、雙變量地位等同問題

2020年的高考可以看出，新高考注重了數學素養的考查，尤其是創新思維.這種題型一般含有兩個變量，通過變形整理可將兩個變量分別移到不等式或等式兩側，構造出同一個函數取兩個不同變量時的函數值大小問題，進而轉化為函數單調性問題.這種雙變量問題在高考題中頻繁出現，下面舉例分析.

例1 （2020全國高考二卷理科數學11題）若2x-2y<3-x-3-y，則（）.

A.ln（y-x+1）>0 B.ln（y-x+1）<0

C.lnx-y>0D.lnx-y<0

解析 將不等式移項變形為2x-2y<3-x-3-y，構造函數f（t）=2t-3-t，由其為單調遞增函數知x<y，以此去判斷各個選項中真數與1的大小關系，進而得到結果，A正確，B錯誤;∵x-y與1的大小不確定，故C、D無法確定，所以選A.

例2 （2020全國一卷理科數學12題）若2a+log2a=4b+2log4b，則（）.

A.a>2b B.a<2b

C.a>b2D.a<b2

解析 條件等式兩邊結構類似，構造函數f（x）=2x+log2x，則f（x）為增函數，由選項可知只需要比較f（a）和f（2b），f（a）和f（b2）大小即可.

利用f（a）=2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，可得f（a）-f（2b）=log212<0

而f（a）-f（b2）=22b-2b2-log2b，b取不同值結果不同，因此選B.

例3 （2010高考遼寧卷理科數學21題）已知函數f（x）=（a+1）lnx+ax2+1

（1）討論函數f（x）的單調性;

（2）設a<-1，如果對任意x1，x2∈（0，+SymboleB@），|f（x1）-f（x2）≥4|x1-x2|，求a的取值范圍.

解析 （1）略;

（2）所證不等式f（x1）-f（x2）≥4x1-x2含絕對值，所以由（1）問可知，當a≤-2時，f（x）單調遞減，故只需要知道x1，x2的大小即可去掉絕對值.不妨設x2>x1，所證不等式去掉絕對值后為f（x2）-f（x1）≥4x2-4x1，

即f（x2）-4x2≥f（x1）-4x1，發現不等式兩側為關于x1，x2的同構式，故可以將同構式構造成函數g（x）=f（x）+4x，將問題轉化為g（x）=f（x）+4x單調遞減求參數a的范圍問題.

二、指對混合問題

在解決指數函數與對數函數的混合不等式恒成立求參數范圍或證明指對不等式時，如果使用參變分離、隱零點代換等方法，都避免不了復雜計算，有時效果也不一定好，而使用同構法會達到意想不到的效果.

如何構造同構函數呢？一般情況下含ex和lnx的函數，主要是統一化為左邊或化為右邊構造同構式.同構式需要構造這樣一個母函數，這個函數既能滿足指數與對數互化，又能滿足單調性和最值易求等特點，因此常見的同構形式大多為y=xlnx，y=xex，或其同族函數.經過同構變形，再結合復合函數的單調性，可以快速解決證明不等式、恒成立求參數的取值范圍等問題.

構造同構函數通常有三種基本模式：

（1）積型

aea≤blnb三種同構方式

同左：aea≤（lnb）elnb…f（x）=xex同右：ealnea≤blnb…f（x）=xlnx取對：a+lna≤lnb+ln（lnb）…f（x）=x+lnx

（2）商型

eaa<blnb三種同構方式

同左：eaa≤elnbnb…f（x）=exx同右：ealnea<blnb…f（x）=xlnx取對：a-lna<lnb-ln（lnb）…f（x）=x-lnx

（3）和差型

ea±a>b±lnb二種同構方式

同左：ea±a>elnb±lnb…f（x）=ex±x同右：ea±lnea>b±lnb…f（x）=x±lnx

其中x=elnx=lnex在變形構造同構式中起著重要作用.

例4 （2018高考全國一卷文科數學21題）已知函數f（x）=aex-lnx-1.

（1）設x=2是fx的極值點，求a，并求f（x）的單調區間;

（2）證明：當a≥1e時，f（x）≥0.

解析 （1）略;

（2）當a≥1e時，f（x）≥exe-lnx-1，由于f（x）關于a是遞增的，所以只需將a縮小為1e，轉化為證明exe-lnx-1≥0即可，由exe-lnx-1≥0兩邊同乘ex構造積得xex≥exlnex即xex≥elnexlnex.

令g（x）=xex，由g′（x）=ex（x+1）>0知g（x）為增函數，又易證x≥lnex=lnx+1，所以g（x）≥g（lnex），即xex≥elnexlnex成立，故當a≥1e時，f（x）≥0.

例5 （2014高考新課標一卷理科數學21題）設函數f（x）=aexlnx+bex-1x，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=e（x-1）+2.

（1）求a，b;

（2）證明：f（x）>1.

解析 （1）a=1;b=2，詳細解答略.（2）本題如果直接求導，將非常復雜，不妨采用同構函數的方法.

由（1）知，f（x）=exlnx+2ex-1x，要證f（x）>1，即證exlnx+2xex-1>1.把這個式子按照同構方式兩邊同乘xe-x并移項得xlnx-xe-x>-2e，再進一步對-2e進行拆分，得同構式xlnx+1e>-（-xe-x+1e），即xlnx+1e>-（e-xlne-x+1e）.

兩邊結構相似但是右邊有負號，因此構造函數g（x）=xlnx+1e，再證明g（x）+g（e-x）>0.顯然

g（x）≥0，并且當且僅當x=1e時等號成立，又因為g（e-x）=0時x=1，取等條件明顯不一致，所以g（x）+g（e-x）>0，即f（x）>1.

綜上，通過雙變量和指對混合兩類高考真題的分析，我們發現同構式思想對于解決這兩類問題有規律可循，而且平時各類模擬試題中屢見不鮮，只要大膽嘗試，把握其中的規律，解決這類問題堪稱秒殺！

參考文獻：

[1]陳國林，冠桂宴.追蹤高考導數涉及的證明問題[J].數理化解題研究（高中版），2016（12）：14-15.

[責任編輯：李 璟]