巧解四力作用下物體的平衡問題

摘 要：力的平衡是高中物理一個重要內容和高考的熱點.在處理這一問題時，對物體受力分析，并建構物理模型，用數學方法或圖解法來求解，通過巧解把復雜的問題簡單化.

關鍵詞：平衡;物理模型;圖解法;全反力;摩擦角

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0083-03

在處理力的動態平衡時，我們往往會采取正交分解的方法，建立平衡方程，討論邊、角等變化來判斷力的變化，有時問題較復雜時，可將復雜的問題轉換成物理模型，變物理問題為數學問題.有時，未免數學運算過于繁瑣，此時，可用圖解法求解力的平衡問題.可作出平行四邊形或矢量三角形，通過其中一力的大小或方向變化，判斷其他力的大小與方向的變化，往往用于三力平衡.若四力作用下物體平衡問題，如何建構物理模型，能否用圖解法來處理，下面我們一起來探討這一問題.

原題 （廣州市2020屆高三年級階段訓練題）水平固定的輕桿AB長為3L，兩端系著長為3L的不可伸長且光滑的柔軟輕繩，繩上套著一質量為m的小鐵環，靜止時位置如圖1（甲）所示.現用一水平向左的力F將小鐵環由圖甲位置緩慢拉至如圖1（乙）所示位置.已知重力加速度為g，設繩的拉力為T，則（）.

A.在乙所示位置T=32mg

B.在乙所示位置F=33mg

C.此過程T大小保持不變

D.此過程F先增大后減小

方法一 在F作用下，將小鐵塊緩慢拉至乙圖所示位置，對小鐵塊受力分析，由于輕繩上套著小鐵環，鐵環兩邊繩子拉力大小相等，用正交分解法即可求出在乙所示位置的T與F的大小，得到T=23mg，F=33mg，選項B正確.至于，此過程T與F如何變化，屬于四力動態平衡問題，有點困難.

如圖2所示，由于輕繩長度不變，繩子的運動軌跡為橢圓，橢圓圓心在O點，半長軸a=32L，半短軸b=62L，焦距c=32L，橢圓方程x2a2+y2b2=1.由于小鐵環緩慢移動，由動能定理可知Fdx=mgdy.由橢圓方程可得y=b2-b2a2x2，dydx=-b2a2xb2-b2a2x2，則F=mgdydx=mg-b2a2xb2-b2a2x2，小鐵環向左緩慢移動，-x增大，所以F逐漸增大.

下面分析輕繩拉力T的變化，如圖3所示，由力的平衡可知Tsinα+Tsinβ=mg可得T=mgsinα+sinβ.由正弦定理可得ADsinβ=DBsinα=2r，于是sinβ=AD2r，sinα=DB2r，所以sinα+sinβ=AD+DB2r=2a2r=ar，所以T=mgra.

如圖4所示，設外接圓圓心C（0，yc），半徑r=CB=CD，即c2+yc2=x2+（y-yc）2，結合橢圓方程x2a2+y2c2=1，聯立可得a2（1-y2c2）+y2-2yyc-c2=0，于是yc=12y（a2-a2c2y2+y2-c2）=b22y-b22c2y，所以外接圓半徑r=CB=c2+y2c=c2-b42c2+b44y2+b44c4y2，其中0<y≤b.設Y=1y2+1c4y2≥2c2，則當y=c時，Y有最小值，即Ymin=2c2，rmin=c，如圖5所示.由于c=32L<b，即c2<b2，故Y隨y2增大而增大，即r隨y2增大而增大.再由上式T=mgra，可知輕繩拉力逐漸增大.所以，選項C和D不正確.

方法二 上述方法數學運算比較繁瑣，下面用圖解法處理.由于小鐵環兩邊輕繩的拉力大小始終相等，故可以把兩力合成為一個力T合，四力平衡變為三力平衡，如圖6所示.在小鐵環向左緩慢移動過程中，重力mg大小與方向不變，水平力F方向不變，作出“三力”的矢量三角形，如圖7所示，從圖中可知力F與T合都逐漸增大.

從上述方法可知，若利用圖解法求解物體的動態平衡問題，避免了繁瑣的數學運算，提高解題的效率，同時發展了學生模型建構的科學思維.下面以圖解法為例，求解多力作用下物體的平衡問題.

例2 （2017全國Ⅱ卷）如圖8所示，一物塊在水平拉力F的作用下沿水平桌面做勻速直線運動.若保持F的大小不變，而方向與水平面成60°角，物塊也恰好做勻速直線運動.物塊與桌面間的動摩擦因數為（）.

A.2-3 B.36C.33 D.32

分析 物塊做勻速直線運動，受到重力、支持力、滑動摩擦力與水平拉力F作用，如圖9所示，現把支持力N與滑動摩擦力f合成一力，物理上該力稱為全反力R，全反力R與支持力N方向的夾角稱為摩擦角φ，有tanφ=fN=μ.水平拉力F大小不變，方向改變，物塊仍向右勻速直線運動，支持力N與滑動摩擦力f都發生了改變，兩者均減小了，但是由于tanφ=fN=μ，兩者方向的夾角始終等于φ，故此全反力R的方向不變.于是，把四力平衡變成三力平衡，作出首尾相連的矢量三角形，如圖10所示.由圖可知，φ=30°，即tanφ=tan30°=33，所以動摩擦因數μ=33，選項C正確.

例3 如圖11所示，一水平導軌處于與水平方向成45°角向左上方的勻強磁場中，一根通有恒定電流的金屬棒，由于受到安培力作用而在粗糙的導軌上向右做勻速運動.現將磁場方向沿順時針緩慢轉動至豎直向上，在此過程中，金屬棒始終保持勻速運動，已知棒與導軌間的動摩擦因數為μ=33，則（）.

A.金屬棒所受摩擦力一直在增大

B.導軌對金屬棒的支持力先變小后變大

C.磁感應強度先變小后變大

D.金屬棒所受安培力恒定不變

分析 如圖12所示，通電金屬棒向右勻速運動，對金屬棒受力分析，受到重力mg、支持力N、滑動摩擦力f與安培力F安作用，把N與f兩力合成全反力R，四力平衡變成三力平衡，其中摩擦角正切值tanφ=fN=μ=33，則φ=30°.由于全反力R的方向保持不變，故可作出首尾相連的矢量三角形，如圖13所示.從圖中可看出，在磁場方向沿順時針緩慢轉動過程中，全反力R逐漸變大，故金屬棒所受的支持力與摩擦力均逐漸變大，選項A正確;安培力F安先變小后變大，當安培力與全反力方向垂直時，F安達到最小值，由B=F安IL可知，磁感應強度B也先變小后變大，選擇C正確.

例4 質量為M、傾角為θ的斜面體靜止在水平面上，將一質量為m的物塊輕放在斜面體上，物塊恰好處于靜止狀態，輕推物塊，物塊剛好能勻速下滑.現用與斜面體上表面成α角的拉力F拉著物塊勻速上滑，如圖14所示.問當α為多大時，拉力F有最小值？重力加速度為g.

分析 物塊恰好能勻速下滑，對物塊受力分析可知，mgsinθ=μmgcosθ，則μ=tanθ.物塊受到斜面體的支持力N、滑動摩擦力f的合力R與重力等大反向，全反力R與支持力N方向的夾角即為摩擦角φ，則φ=θ，如圖15所示.現用力F拉著物塊勻速上滑，滑動摩擦力方向沿斜面體向下，現受到重力mg、全反力R、拉力F三個力作用，運動過程中全反力的方向沒有改變，全反力R與支持力N的方向仍為φ，故R與豎直方向夾角2φ，作出矢量三角形如圖16所示.由圖可知，當拉力F與全反力R垂直時，F有最小值，此時Fmin=mgsin2φ=mgsin2θ，此時φ=θ.

對于四力或多力平衡，可根據題意，建構物理模型，列出表達式求解.若數學運算復雜繁瑣，可采用圖解法，把四力或多力變成三力平衡問題，將復雜的問題簡單化，同時發展學生科學思維.

參考文獻：

[1]賴世鏘.以水平轉動圓盤為例談科學思維的培養[J].中學物理教學參考，2020（2）：11-15.

[2]席明珍.利用摩擦角巧解平衡態[J].物理教師，2019（5）：94-95.

[責任編輯：李 璟]