例談構造函數解一類導數題

李俊

摘 要：構造函數法是指通過一定方式，設計并構造一個與有待解答問題相關的函數，通過觀察分析，借助函數本身的性質，如單調性或利用運算結果，解決原問題的方法.構造函數法解題是一種創造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性.在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要解決的目標.

關鍵詞：構造函數;導數

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0065-03

近幾年各地高考數學試卷中，許多涉及函數選擇題或填空題的題目，可采用構造函數法進行解答.所謂構造函數法是指通過一定方式，設計并構造一個與有待解答問題相關的函數，通過觀察分析，借助函數本身的性質，如單調性或利用運算結果，解決原問題的方法.簡而言之就是構造函數解答問題.如何合理地構造函數就成為了問題的關鍵，這里我們就這方面問題探討一下.

例1 已知函數f（x）的定義域為R，f（-1）=2，且對任意x∈R，都有f ′（x）>2，則f（x）>2x+4的解集為（）.

A.（-1，1）B.（-1，+∞）

C.（-∞，-1）D.（-∞，+∞）

解析 構造函數h（x）=f（x）-2x-4，所以h′（x）=f ′（x）-2，由于對任意x∈R，f ′（x）>2，所以h′（x）=f ′（x）-2>0恒成立，所以h（x）=f（x）-2x-4是R上的增函數，又由于h（-1）=f（-1）-2×（-1）-4=0，所以h（x）=f（x）-2x-4>0，即f（x）>2x+4的解集為（-1，+∞），故選B.

點評 對于f ′x>aa≠0，可構造函數hx=fx-ax.

例2 設f（x）是R上的可導函數，且f ′（x）≥-f（x），f（0）=1，f（2）=1e2，則f（1）的值為.

解析 由f ′（x）≥-f（x）得f ′（x）+f（x）≥0，構造函數hx=exfx，則h′x=exfx+exf ′x=ex（fx+f ′x）≥0，所以函數hx=exfx是R上的增函數，此時有1=h2≥h0=1，故hx=exfx=1，所以f（1）=1e.

點評 對于f ′（x）+f（x）>0，可構造函數

hx=exfx.

例3 已知f（x）>0為f（x）<0上的可導函數，且

f（x）>x，均有f（x）<x，則有（）.

A.e2016f（-2016）<f（0），f（2016）>e2016f（0）

B.e2016f（-2016）<f（0），f（2016）<e2016f（0）

C.e2016f（-2016）>f（0），f（2016）>e2016f（0）

D.e2016f（-2016）>f（0），f（2016）<e2016f（0）

解析 構造函數h（x）=f（x）ex，則h′（x）=f ′（x）ex-exf（x）（ex）2=f ′（x）-f（x）ex，因為x∈R，均有f（x）>f ′（x），并且ex>0，所以g′（x）<0，

故函數h（x）=f（x）ex在R上單調遞減，所以h（-2016）>h（0），h（2016）<h（0），

即f（-2016）e-2016>f（0），f（2016）e2016<f（0），即

e2016f（-2016）>f（0），f（2016）<e2016f（0），故選D.

點評 對于f ′（x）-f（x）>0，可構造函數h（x）=f（x）ex.

例4 若函數y=f（x）在R上可導且滿足不等式

xf ′（x）+f（x）>0恒成立，對任意正數a、b，若a<b，則必有（）.

A.af（b）<bf（a） B.bf（a）<af（b）

C.af（a）<bf（b）D.bf（b）<af（a）

解析 由已知xf ′（x）+f（x）>0可構造函數hx=xfx，則h′x=xf ′（x）+f（x）>0，從而h（x）在R上為增函數.因為a<b，所以h（a）<h（b），

即af（a）<bf（b），故選C.

點評 對于xf ′x+fx>0，可構造函數hx=xfx.

例5 已知f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf ′（x）-f（x）≤0，對任意正數a、b，若a<b，則必有（）.

A.af（b）≤bf（a） B.bf（a）≤af（b）

C.af（a）≤bf（b）D.bf（b）≤af（a）

解析 構造函數hx=fxx，則h′x=xf ′（x）-f（x）x2≤0，從而hx=fxx在R上為減函數.因為a<b，所以h（a）≥h（b），f（a）a≥f（b）b，即af（b）≤bf（a）.

故選A.

點評 對于xf ′x-fx>0，可構造函數hx=fxx.

例6 設函數f（x）在R上的導函數為f ′（x），且2f（x）+xf ′（x）>x2，下面不等式恒成立的是（）.

A.f（x）>0 B.f（x）<0 C.f（x）>x D.f（x）<x

解析 由已知，首先令x=0得f（x），排除B，D.

令h（x）=x2f（x），則h′（x）=x[2f（x）+xf ′（x）]

①當x>0時，有2f（x）+xf ′（x）=h′（x）x>x2，所以h′（x）>0，所以函數h（x）單調遞增，當x>1時，h（x）>h（0）=0，h（x）=x2f（x）>0，從而f（x）>0.

②當x<0時，有2f（x）+xf ′（x）=h′（x）x>x2，所以h′（x）<0，所以函數h（x）單調遞減，當x<0時，h（x）>h（0）=0，h（x）=x2f（x）>0，從而f（x）>0.

綜上f（x）>0，故選A.

點評 對于xf ′（x）+nf（x）≥0，可構造函數h（x）=xnf（x）.

例7 設函數f（x）是（0，+SymboleB@）上的非負可導函數，且xf ′（x）-2f（x）>0，下列不等式成立的是（）.

A.2f（3）<3f（2）B.2f（3）>3f（2）

C.2f（3）=3f（2） D.非上述答案

解析 構造函數h（x）=f（x）x2，則h′（x）=x[xf ′（x）-2f（x）]x4>0，函數h（x）在（0，+SymboleB@）單調遞增，因為2<3，所以f（2）（2）2<f（3）（3）2，即3f（2）<2f（3），故選B.

點評 xf ′（x）-nf（x）≥0，可構造函數h（x）=f（x）xn.

例8 設f（x）、g（x）是R上的可導函數，f ′（x）、

g′（x）分別為f（x）、g（x）的導函數，且滿足f ′（x）g（x）+

f（x）g′（x）<0，則當a<x<b時，則有（）.

A.f（x）g（b）>f（b）g（x） B.f（x）g（a）>f（a）g（x）

C.f（x）g（x）>f（b）g（b）D.f（x）g（x）>f（b）g（a）

解析 構造函數h（x）=f（x）g（x），則h′（x）=f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）<0，所以函數h（x）=f（x）g（x）在R上為減函數，因為x<b，所以f（x）g（x）>f（b）g（b），故選C.

點評 對于f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，構造函數h（x）=f（x）g（x）.

例9 設函數f（x），g（x）在[a，b]上均可導，且f ′（x）<g′（x），則當a<x<b時，有（）.

A.f（x）>g（x） B.f（x）<g（x）

C.f（x）+g（a）<g（x）+f（a）D.f（x）+g（b）<g（x）+f（b）

解析 構造函數hx=fx-gx，則h′（x）=f ′（x）-g′（x）<0，所以函數hx=fx-gx在[a，b]上為減函數， 因為a<x，所以f（a）-g（a）>f（x）-g（x），故f（x）+g（a）<g（x）+f（a），故選C.

點評 對于f ′（x）-g′（x）>0或f ′x+g′x>0，構造函數hx=fx-gx或hx=fx+gx.

例10 已知函數y=f（x）對任意的x∈（-π2，π2）滿足f ′（x）cosx+f（x）sinx>0，則下列不等式成立的是（）.

A.2f（-π3）<f（-π4）

B.2f（π3）<f（π4）

C.0>2f（π3）

D.0>2f（π4）

解析 構造函數h（x）=f（x）cosx，則h′（x）=f ′（x）cosx+f（x）sinxcos2x>0，函數h（x）在（-π2，π2）單調遞增，所以h（-π3）<h（-π4），2f（-π3）<f（-π4），故選A.

點評 對于f ′（x）cosx+f（x）sinx>0或f ′（x）sinx-f（x）cosx>0，構造函數h（x）=f（x）cosx或h（x）=f（x）sinx.

在平時的教學中，我們要勤于積累，善于總結，熟練掌握導數四則運算，通過對題目的分析，根據題目的不同形式在解題中合理巧妙地構造函數，結合導數這一工具進行合理計算，使復雜的問題轉化成熟悉而簡單的問題，進而找到問題解決的突破口！

模型總結 關系式為“加”型

（1）f ′（x）+f（x）≥0，構造hx=exfx，則h′（x）=[exf（x）]′=ex[f ′（x）+f（x）].

（2）xf ′（x）+f（x）≥0，構造hx=xfx，則h′（x）=[xf（x）]′=xf ′（x）+f（x）.

（3）xf ′（x）+nf（x）≥0，構造h（x）=xnf（x），

則h′（x）=[xnf（x）]′=xnf ′（x）+nxn-1f（x）=xn-1[xf ′（x）+nf（x）].

關系式為“減”型

（1）f ′（x）-f（x）≥0，構造h（x）=f（x）ex，

則h′（x）=[f（x）ex]′=f ′（x）ex-f（x）ex（ex）2=f ′（x）-f（x）ex

（2）xf ′（x）-f（x）≥0，構造hx=fxx，則h′（x）=[f（x）x]′=xf ′（x）-f（x）x2

（3）xf ′（x）-nf（x）≥0，構造h（x）=f（x）xn，則h′（x）=[f（x）xn]′=xnf ′（x）-nxn-1f（x）（xn）2=xf ′（x）-nf（x）xn+1（注意對x的符號進行討論）

參考文獻：

[1]王榮峰.觀察題目結構 構造函數解題[J].中學數學雜志，2016（01）：29-31.

[2]夏麗娟，胡廣宏.構造函數法在數學解題中的應用——關注以導數為背景的一類題[J].高中數學教與學，2013（10）：41-43.

[責任編輯：李 璟]