例談數據一般化方法的應用

摘 要：本文以模（高）考題或競賽題為引例，將數據一般化，從而找到隱藏在考題中的圓錐曲線性質，并給出證明.

關鍵詞：數據一般化;圓錐曲線;定點;定值

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0048-02

引例1 （高二第26屆“希望杯”賽20）已知拋物線C：y2=4x，A（4，4），動點Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=43，則直線PQ過定點D，點D的坐標是.

一、將數據一般化，探究定點坐標的表達式

性質1 已知拋物線C：y2=2px，定點A（a，b）∈C，動點Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=γγ≠0，則直線PQ過定點Db22p-2bγ，2pγ-b.

證明 y21=2px1，y22=2px2，b2=2pa，

kPQ=y1-y2y1+y2y1-y22p=2py1+y2，

∴kAP=2py1+b，kAQ=2py2+b，

2py1+b+2py2+b=γ，

∴2p2b+y1+y2=γ[b2+by1+y2+y1y2]，

∴y1y2+b-2pγy1+y2=4bpγ-b2①

直線PQ：y-y1=2py1+y2x-x1，

∴y1+y2y-y1y2=2px②

①+②得y1+y2y+b-2pγ=2px-b22p+2bγ，所以直線PQ過定點D b22p-2bγ，2pγ-b.

引例2 （2013晉中名校聯考）已知點Ax1，y1，Bx2，y2是拋物線y2=4x上相異兩點，且滿足x1+x2=2，①略②若AB的垂直平分線交x軸于點M，求三角形AMB的面積的最大值及此時直線AB的方程.

二、將數據一般化，探究三角形面積最大值的表達式

性質2 已知點Ax1，y1，Bx2，y2是拋物線y2=2px上相異兩動點，且滿足x1+x2=m，則AB的垂直平分線交x軸于定點M，且S△AMBmax=293pm+p3.

解法一 設AB中點Nx0，y0，y21=2px1，y22=2px2，∴y1+y2y1-y2=2px1-x2，

kAB=py0，AB的中垂線：y-y0=-y0px-x0，

∴xM=x0+p=m2+p，是定值.

y-y0=py0x-x0，y2=2px

消y，得p2y20x2-2p2x0y20x+y20+p2x20y20-2px0=0，

x1+x2=m，x1x2=y0-px0y02p2y20=1p2y40-2px0y20+p2x20

=14p24y40-4pmy20+m2p2，

AB=

1+p2y20[m2-1p24y40-4pmy20+p2m2]

=1+p2y20[4y20p2pm-y20]

d=p2y0+y01+p2y20，SΔ=12·2pp2+y20pm-y20

=12pp2+y02p2+y202pm-2y20

≤12p[p2+y20+p2+y20+2pm-2y203]3

=12p[2pm+p3]3=293pm+p3

所以S△max=293pm+p3.

解法二 由解法一得

Mm2+p，0，設Ay212p，y1，By222p，y2

S△=12

m2+p 0 1y212p y1 1y222p y2 1

=12m2+py1+y21y22p-y1y222p-m2+py2

=12m2+py1-y2+y1y22py1-y2

=12y1-y2m2+p+y1y22p.

S2△=142pm-2y1y2m2+p+y1y22p2

=p2m-y1y2pm2+p+y1y22pm2+p+y1y22p

≤p2[m-y1y2p+m2+p+y1y22p+m2+p+y1y22p3]3

=p22m+p33.

所以S△max=293pm+p3.

引例3 （2013江西，文）橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率e=32，a+b=3.

①求橢圓C的方程，②如圖A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線DA交BP于點M，證明：2kMN-kBP為定值.

三、將數據一般化，探究定值的幾何意義

性質3 橢圓C：x2a2+y2b2=1，如圖A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線DA交BP于點M，則：2kMN-kBP為定值.

證明 設Pacosθ，bsinθ，y=bax+b，y=bsinθacosθ-1x-a，消y，basinθcosθ-1-1x=b1+sinθcosθ-1

Masinθ+cosθ-1sinθ-cosθ+1，2bsinθsinθ-cosθ+1，

直線DP：y=bsinθ-1acosθx+b，

∴Nacosθ1-sinθ，0，kBP=bsinθacosθ-1，

kMN=2bsinθsinθ-cosθ+1asinθ+cosθ-1sinθ-cosθ+1-acosθ1-sinθ

=2bsinθ1-sinθ2asinθ1-cosθ-sinθ=b1-sinθa（1-sinθ-cosθ）

2kMN-kBP=ba21-sinθ1-sinθ-cosθ-sinθcosθ-1

=ba1+1-sinθ+cosθ1-sinθ-cosθ-sinθcosθ-1=ba

為定值.此定值是直線AD的斜率.即kAD，kMN，kBP成等差數列.

下面的題目留給讀者練習

強化訓練

請讀者將題目中的數據一般化，從而找到隱藏在題中的圓錐曲線性質，并給出證明.

題目 （2013遼寧六校聯考）已知 A-2，0，B2，0，kPA·kPB=-34，

①求動點P的軌跡C的方程;

②設MN是曲線C上任意兩點，且AM-AN=AM+AN，問直線MN是否恒過某定點？若是，求出定點坐標;否則，說明理由.

數據一般化的思維方法有利于培養思維的深刻性，有利于摒棄題海戰術，有利于提高學習效率，在解析幾何領域大有用武之地，希望本文對培養學生數學興趣、提高師生數學核心素養方面能有所幫助.

參考文獻：

[1]劉新飛，劉大鵬.對有心圓錐曲線一組性質的研究[J].中學數學研究（ 華南師范大學版），2019（01）：31-32.

[2]杜志建.2014新編高考題庫數學（理科）[M].延吉：延邊教育出版社，2014：310-338.

[責任編輯：李 璟]