從現象到本質的數學模型的建構與應用

姚晶晶

【教學目標】1. 感受“餐飲店K與M開在一起”等多種類似生活現象的存在。

2. 經歷思考、探索、闡釋等學習過程，理解“餐飲店K與M開在一起”背后的數學原理。

3. 形成生活中處處有數學、生活與數學密切相關的數學意識，培養數學觀察、數學思考、數學建模等核心素養。

【適合年級】六年級

【教學過程】

一、捕捉現象，提出猜想

出示一組照片：餐飲店K和M緊靠著開在一起。

引導：從這些現象當中，你有問題要問嗎？

疑問：明明是競爭對手，K和M為什么要開在一起？

揭示課題：剛剛同學們依據自己的生活經驗，從發現現象到提出問題，進而給出各種有依據的猜想，這是人們認識世界的一種重要方式。現象的背后究竟是什么？接下來，就讓我們從數學的角度進行探究，一起去揭開K和M開在一起的奧秘。

二、應用模型，簡化問題

1. 將復雜的空間問題簡化為“直線模型”。

說明：如果在真實的生活場景下研究這個問題確實非常復雜，不妨用數學的方式把問題簡化一下。

建構模型：假設有一條繁華的商業街道，它的長度大約是1千米。K和M這兩家餐飲店同時看中了這塊風水寶地，都想在這條街上開一家自己的店。假定這條街上的顧客都是均勻分布的，且每1米范圍內就有一位顧客，那么這條街上一共就有1000位顧客。進一步假定：這些顧客對口味沒有偏好，既可以吃K，也可以吃M。此外，他們的購買力也大致相等。

提問：根據上述條件，顧客到底是去吃K還是去吃M，你認為最主要的因素會是什么？

預設：距離——離誰近就買誰。

2. 推演模擬，做出判斷。

（1）任務一：K率先出手了，經理決定將店鋪開在距離這條街最左邊100米處。在這樣的情況下，如果你是M經理，你會把店開在哪里？（約定：店鋪要開在每個100米處的等分點上）

小組討論，確定方案。

方案1：把M開在距離最右邊100米處。理由：一個在左，一個在右，互不干擾。

方案2：把M開在這條街的中點處。理由：在中點就占據了核心位置。

方案3：把M開在K右側100米處。理由：離K最近，能得到最多的顧客量。

方案4：和K緊緊地靠在一起，開在同一個點上。理由：兩家店得到的顧客同樣多，并且顧客的選擇性會更大。既可以吃K，也可以選擇吃M。

重點理解“開在一起”的含義：指兩家店緊緊地挨在一起。左邊的顧客兩家平分，右邊的顧客也兩家平分。

幾種方法各有利弊，學生可能對此爭執不下。

點撥：要想做出準確的判斷，僅僅依賴感覺是不可靠的。很多情況下，我們需要借助“數據”。

（2）優化方法，用數據說話。

方案1： M1=100+（800÷2）=500（人）。

右邊的100人全部歸M，兩家中間的800人平分，所以每家400人，合起來M一共可以得到500人。

方案2： M2=500+（400÷2）=700（人）。

中點右邊的500人全部歸M，兩家中間的400人平分，每家可以得到200人，M一共會有700人。

方案3： M3=800+（100÷2）=850（人）。

右邊的800人全部歸M，兩家中間的100人平分，每家50人，M能得到850人。

方案4： M4=（900÷2）+（100÷2）=500（人）

由于它們緊緊靠在一起，左邊的100人和右邊的900人都是兩家平分，因此每家各得500人。

有了數據的支持，預設會達成共識：選擇方案③，即開在離K最近的右側100米處。

三、提煉策略，滲透思想

1. 體會博弈過程。

提問：如果你是K老板，面對M所做出的決策，你又會做出怎樣的反應呢？你還會固守原地嗎？

預設：學生會將K移到M右邊100米處（再次用數據證明想法，圖略）

K=700+50=750（人），M=200+50=250（人）。

說明：無論是K還是M，它們都在追求利益最大化。它們之間互相比拼、彼此對抗以獲得利益最大化的過程，數學上把它稱作博弈。

提問：這場博弈會在這里終止嗎？會不會永遠繼續下去？

任務二：假設博弈還將繼續下去，這場為了爭奪客源的博弈大戰總有停下來的那一刻，猜一猜：這兩家店最終會停在什么位置上？

學生討論，各自給出設想方案。

2. 優化博弈策略。

方案1：K開在距離中點左邊100米處，M開在距離中點右邊100米處。

方案2：M開在中點，K開在靠中點左邊100米處。

方案3：兩家一起開在了中點處。

比較三種方案，你更認同哪一種，說一說理由（圖略）。

理由1：第一種方案，看似穩定，但只要其中一方往中點移動，就會占據更多客源，所以還是會繼續博弈下去。

理由2：第二種方案，K明擺著吃虧，所以也不會讓博弈停止。

理由3：第三種方案，兩家通過不斷地互相比拼、博弈，最終只能共同占據中點位置。這樣的好處是，首先，兩家店都能平分到500人的客源。其次，無論是誰，都不敢再輕易移動了，誰移動了誰就會吃虧。所以，一起開在中點，是最穩定、最保險的，是兩家利益均衡的最好選擇。

追問：這對歡喜冤家是開開心心在一起還是無可奈何在一起？

歸納：博弈的最終結果并不是誰贏誰輸，而是相互妥協，找到一個平衡點，讓雙方得到的利益能夠均衡且穩定，這是博弈現象當中很有意思的一種策略。今天，同學們通過模擬推演，既揭開了K和M會開在一起的秘密，同時對這種現象背后所隱藏的“均衡博弈”思想也有了一定程度的體會和思考。

四、拓展遷移，內化提升

遷移：在你的生活當中，除了K和M，你有見到過其他類似的現象嗎？

小結：這節課，我們并沒有學習任何知識，但是，我們卻多了一種用數學看待世界的眼光和思考方式。數學，僅僅是用作解題的嗎？它更大的用處在于能夠幫助我們透過現象，看到事物的本質。而這，才是我們學習數學更為重要的價值所在。

（作者單位：江蘇省南京市鎖金新村第一小學？搖？搖？搖責任編輯：王彬）