淺談用“將軍飲馬”問題解決最小值問題

向勇 冉瓊英

摘 ?要：“將軍飲馬”問題是初中數學的重要模型，利用該模型解決相關數學問題是考查學生能力的常用題型。最小值或最短路徑問題更是廣泛運用于解決代數及幾何問題。

關鍵詞：將軍飲馬 ? 最小值

唐代詩人李頎在《古從軍行》中寫道：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。” 翻譯過來：白天登山觀察報警的烽火臺，黃昏時牽馬飲水靠近交河邊。這兩句詩中就蘊含了重要的數學問題，即“將軍飲馬”問題。

【將軍飲馬】問題：將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的城堡B地開會，怎樣走才能使路程最短（圖一）？

解決這個問題的數學依據：軸對稱的性質及兩點之間距離最短（圖二）。該數學模型中包含的最短距離問題，在初中數學中有著廣泛的應用，我結合日常教學歸納如下：

一、在幾何圖形中的應用：

例1、（如圖1）等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC于D，E是AC上一點，且AE=2，M是AD上一點，求EM+MC的最小值。

簡析（如圖2）：由已知，B、C關于AD對稱，連接B、E與AD的交點即為M的位置。線段BE的值就是EM+MC的最小值。

變式：如圖3，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，點M、N分別是AC、AB上的點，求BM+MN的最小值。

提示：（如圖4），作點N關于AC的對稱點N’，當∠AN’B=90o時，BN’的值就是BM+MN的最小值。

例2：如圖5，在矩形ABCD中，AB=10，AD=20，點E、P分別是邊BC和對角線BD上任一點，求PC+PE的最小值。

解析：作點C關于BD的對稱點C（圖6），則CC’⊥BD，易求出BD= ，BG= ，在ΔBCC’中，當CE⊥BC時C’E的值（16）即是PC+PE的最小值。

例3、如圖7，已知圓O的直徑CD=4，∠AOD=60°，點B是AD的中點，直徑CD上任一點P，求PA+PB的最小值。

簡析：作點A關于CD的對稱點A’（如圖8），由已知可得：∠BOA'=90°，在等腰RtΔA'OB求出BA'的值即為PA+PB的最小值。

二、在函數知識中的應用：

例4、如圖9，一次函數y=kx+b的圖象與坐標軸的交點分別為A（2，0），B（0，4），設原點為O，線段OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求當P的坐標為多少時，PC+PD的值最小，并求這個最小值。（最小值為 ）

例5、如圖10，已知點A（-2，0），將OA繞點O順時針旋轉120o得OB。是否存在過A、B、O三點的拋物線的對稱軸上一點C，使△BOC的周長最小，若存在，求C點的坐標;若不存在，請說明理由。

解析：要使△BOC的周長最小，只需CB+CO的值最小即可。根據已知可求出經過A、B、O三點的拋物線的對稱軸為直線x=-1，故所求點C的坐標為直線AB與直線x=-1的交點坐標。直線AB的解析式為 ，所以點C的為 。

三、在求代數式值中的應用：

例6、求代數式 的最小值。

解析：設 ，將a、b表示在數軸上如圖11所示，a+b的最小值即可轉化為將軍飲馬問題求出（最小值為 13）。

四、中考中的最小值問題：

例7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，點D、E分別是AB、BC邊上的點，求CD+DE的最小值。

簡析：作點C關于AB的對稱點C'，過點C'作BC的垂線C'E'交AB于D'，則C'E'=CD+DE為最小值。通過△CC'E'～△ABC即求出C'E'。