種子課，將“生活經(jīng)驗”改造成“數(shù)學(xué)知識”

俞正強

生活經(jīng)驗，是小學(xué)生在日常生活中獲得的感性認識。

數(shù)學(xué)知識，是人類以數(shù)學(xué)方法對世界加以認識的理性成果。

將“生活經(jīng)驗”改造成“數(shù)學(xué)知識”，數(shù)學(xué)知識對于學(xué)生來說就不是外加的，而是內(nèi)生的，是從生命之樹中長出的一根枝芽，而不是貼在生命之墻上的一塊瓷磚。長出的枝芽，還能繼續(xù)長;貼上的瓷磚，如果得不到養(yǎng)護，就會有脫落的可能。

那么，我們數(shù)學(xué)老師，如何幫助學(xué)生完成“生活經(jīng)驗”的改造呢？本文以“比的認識”為例，討論如何完成經(jīng)驗改造。

一、溯源：比的生活經(jīng)驗來自兩個地方

我們要幫助學(xué)生完成“生活經(jīng)驗”的改造，首先要將相應(yīng)的生活經(jīng)驗找到，讓生活經(jīng)驗成為一個存在、一個思考對象。

對學(xué)生來說，“比”的生活經(jīng)驗，主要存在于體育比賽中，但其實體育比賽的“比”不是我們要認識的對象，是去偽存真的認識過程中的“偽”的部分。

“比”的生活經(jīng)驗的“真”的部分，在學(xué)生的經(jīng)驗中并不十分明顯。課本中選了照片的放大與縮小。其實照片的放大與縮小不是比，是比例。

課本里是以照片的放大與縮小為切入口，然后直接給出一個定義：兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比。

從這個定義看，比是一種運算，是除法的另一種說法。

這個定義妥當與否本文不作討論，因為本文主要是討論生活經(jīng)驗的改造。

個人在教學(xué)實踐中選擇“煮飯”這件事情作為生活經(jīng)驗的切入口。飯是米和水的“比”，因為學(xué)生每天都會吃飯，所以有充分的經(jīng)驗，只是沒有教師引導(dǎo)，學(xué)生很少會主動想到煮飯這件事情。

1. 體育賽事中的比

材料：（）∶（）

序一：這份材料在什么地方看到過？怎么讀？

討論：體育比賽。幾比幾。如足球比賽2∶3。

序二：請同學(xué)們說說足球賽2∶3是什么意思。

討論：一個班踢進2個球，另一個班踢進3個球。

序三：如果場上又踢進一個球，接下來可能會是幾比幾？

討論：2∶4或3∶3。

2. 煮飯中的比

材料：煮飯

序一：同學(xué)們肯定都吃過飯，大家煮過飯嗎？

討論：水加米煮成飯，水和米不能隨便亂放，要有個基本的要求，水太多會稀，米太多會硬……

水和米之間有一個恰恰好的關(guān)系，這個關(guān)系定了就能煮成我們喜歡的飯。

序二：我們家煮飯通常米和水的關(guān)系表示為2∶3，大家能看明白嗎？

討論：2杯米與3杯水。

2斤米與3斤水。

2份米與3份水。

序三：今天我們家來了很多客人，煮飯的時候放了4杯米，大家覺得水應(yīng)放多少？

討論：4杯米就要6杯水，如果米增加了水不增加，飯就變硬了。而且必須變成6杯水，如果不是6杯水，飯的口感就變了。

要使飯的口感不變，則必須變成6杯水。

結(jié)論：口感就是標準的通俗的理解，比，本質(zhì)上是一種關(guān)系的標準。

二、實踐：經(jīng)驗改造的兩個基本要點

在前面的經(jīng)驗整理中，形成如下材料：

接下來便進入關(guān)鍵的改造環(huán)節(jié)。

改造一：概括比較，厘清相同點與不同點

相同點：都是2∶3，前項后項是一樣的。

不同點：（見表1）

【分析】經(jīng)驗的改造，首先是將經(jīng)驗作為思考對象，在成為思考對象之后，組織學(xué)生進行思辨，思辨的方式是比較、抽象與概括。思辨的結(jié)果是混沌的經(jīng)驗被特征化，而且特征是基于比較產(chǎn)生的，特征又是比較指向的。

改造二：去偽存真，形成比的基本概念

對于數(shù)學(xué)而言，我們所關(guān)注的“比”是類似煮飯這樣的“比”，不是體育賽事這樣的“比”。

因此，對小學(xué)數(shù)學(xué)而言，“比”有一對雙胞胎，有點類似真假孫悟空。把這兩個“孫悟空”放在一起，盡管長得一模一樣，都是2∶3，差別卻是巨大的。表1左邊體育賽事之比是偽比，右邊煮飯之比是真比。這個去偽存真的過程，也是這節(jié)課完成經(jīng)驗改造的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，相當于攝影人說的“定格”，是知識的固化的一個節(jié)點。

材料：表1

序一：同學(xué)們，同一個2∶3，在不同的地方，表示的意義有這么大的差別。如果我們選擇一個作為研究對象時，大家會選擇哪一種？

討論：選擇生活中的類似煮飯的比，因為這個比是有規(guī)律的，有規(guī)律的是可以研究的。

序二：現(xiàn)在我們擦去體育賽事中的比的認識，留下煮飯中的比的認識。請同學(xué)們說說，比是什么？

討論：比是兩個量之間的一種固定的關(guān)系，一個量的變化一定帶來另一個量的相應(yīng)的變化，這種固定關(guān)系是一種標準。

序三：在學(xué)生的討論中，將表1改造成表2。

【分析】這些認識便是比的概念的內(nèi)涵，內(nèi)涵確定，比的認識便基本完成。去偽存真的過程是一個思辨的過程，這個過程也是達成理解的過程，去偽存真的結(jié)果就是對數(shù)學(xué)知識的定格、固化，即什么是比的明確。

三、應(yīng)用：速度是路程與時間的比

當那些模糊的零碎的經(jīng)驗通過思辨、去偽存真后成為數(shù)學(xué)知識時，讓這個知識發(fā)生作用是十分重要的。學(xué)生會在知識發(fā)生作用的過程中加深對知識的理解。作用的發(fā)生主要有兩種路徑：一種路徑是用改造而成的數(shù)學(xué)知識解決相應(yīng)的問題;另一種路徑是用改造而成的數(shù)學(xué)知識解釋已有的知識。

在學(xué)生的原有知識中，速度是單位時間里完成的路程，速度是運算的結(jié)果。在學(xué)習(xí)比的認識之后，速度是路程與時間的比，速度是作為一種關(guān)系而存在的。這個對速度的新的解釋的過程，就是比作為改造而成的數(shù)學(xué)知識的運用過程。這一過程如何完成呢？

序一：請觀察時間與路程兩個量之間的關(guān)系。

討論：1.時間的變化一定帶來路程的變化。

2.時間與路程不論怎么變，始終是120與 ?的關(guān)系，這個關(guān)系就是固定的。

3.只要車在跑，時間與路程就不可能為0。

結(jié)論：路程與時間的關(guān)系符合比的內(nèi)涵，因此，速度其實是路程與時間的比。

序二：我們發(fā)現(xiàn)速度其實就是路程與時間的比。同學(xué)們能都舉一反三，誰又是誰和誰的比呢？

結(jié)論：單價是總價與數(shù)量的比。

序三：請大家觀察以下材料，有什么發(fā)現(xiàn)與大家分享？

材料：路程÷時間=速度 ?速度是路程與時間的比

總價÷數(shù)量=單價 ?單價是總價與數(shù)量的比

總量÷時間=效率 ?效率是總量與時間的比

討論：比總是與兩個相除的量連接在一起。我們在舉一反三時的竅門就是與除法運算相連。

【分析】在這個數(shù)學(xué)知識的運用過程中，學(xué)生們體會到比與除法運算的密切聯(lián)系。書本之中的關(guān)于兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比，在這里得到了落實，而這個落實是在知識的運用中完成的。至此，比是什么，學(xué)生們應(yīng)該有個完整的認識了。

四、經(jīng)驗改造學(xué)習(xí)中的三個問題

做好經(jīng)驗改造，關(guān)鍵在兩點：

第一，經(jīng)驗的喚醒與整理，使經(jīng)驗成為一個改造的“對象”。

第二，改造過程中的概括與去偽存真，形成一個“數(shù)學(xué)知識”。

要做好這兩點，則必須做到以下三個要點。

要點之一：找準經(jīng)驗喚醒的切入口

在比的認識過程中，體育賽事這個切入口是十分普遍的，足球、籃球等什么比賽都無關(guān)緊要，而煮飯這個經(jīng)驗的切入口的選擇十分重要。

為什么選擇煮飯？

生活中關(guān)于這種配比的具體經(jīng)驗，學(xué)生是十分缺乏的，有人說配果汁，有人說洗衣服，有人說做面包，雖然這種事情很多，具體按照規(guī)范去干的卻很少。很少干的活，經(jīng)驗便不具有普適性，討論便無法開展。

煮飯這件事，雖然學(xué)生很少有直接的煮飯經(jīng)驗，但每位學(xué)生都有豐富的吃飯的經(jīng)驗。他們知道太黏的飯或太干的飯的原因是水多或水少，他們知道吃飯的人多自然米要多，米多了自然要水多。而且現(xiàn)在的學(xué)生都能明白什么是“口感”。媽媽燒的菜、外婆煮的飯為什么好吃？只是那個口感。學(xué)生們對口感完全能理解。

而自己習(xí)慣的那個口感，就是自己對飯的標準的設(shè)置，這種標準其實就是米與水的固定關(guān)系。

因為有這些基礎(chǔ)，所以在經(jīng)驗的喚醒以及喚醒過程中有利于概括比較的，莫過于煮飯這件事了。

要點之二：在經(jīng)驗喚醒與思辨中舍得花時間

教師們對課堂效率念念不忘，似乎作業(yè)做得多了，就是效率高。因此，“比的認識”通常會是以下教學(xué)流程：

1.課堂談話：照片放大不變形

2.定義學(xué)習(xí)：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。因為除數(shù)不能為0，所以比的后項不能為0

3.練習(xí)：將除法運算改寫成比，求比值

4.練習(xí)：相同量的比擴展到不同量的比

5.小結(jié)

這個流程，比的認識來自除法運算，比只是除法的另一種表示。所有除法的規(guī)則同樣是比的規(guī)則：除數(shù)不能為0，所以比的后項不能為0;因為有商不變的性質(zhì)，所以有比的基本性質(zhì)。

學(xué)習(xí)十分簡單，作業(yè)會做得比較多，效率會高。

但是，這樣的學(xué)習(xí)是脫離學(xué)生們的生活的。在學(xué)生們的生活中，明明看見比的前后項都可以是0的。膽大的學(xué)生問老師一下，老師會回答：那個比不是我們這個比。膽小的學(xué)生則會把疑惑放在心里，覺得數(shù)學(xué)是一只古怪的怪獸。

迎著學(xué)生們生活中最熟悉的“比”的經(jīng)驗上去，就會費時間，一點一點厘清楚，需要占用時間。學(xué)生的思考也要有時間，時間的占用會減少學(xué)生做作業(yè)的時間。

但是，這段時間是不會白花的。這段時間花了，學(xué)生會少做一些作業(yè)，但是，得到的回報是學(xué)生會喜歡上數(shù)學(xué)，喜歡上思考，喜歡上觀察這個世界，繼而喜歡去干一些事情。

要點之三：改造中形成的觀點要多包容

在“比的認識”的改造中，有一個討論是這樣的：

師：在比中可以出現(xiàn)0嗎？

生1：比的后項不能為0，因為除數(shù)不能為0。

生2：比的前后項均不能為0，因為如果出現(xiàn)0，飯就不是飯了。

請老師們思考，這兩個學(xué)生的回答，您喜歡哪個學(xué)生的回答。

生1的回答，估計來自他的課外學(xué)習(xí)，他是用知識在回答我們的問題，就其性質(zhì)而言，是知識的提取。生2的回答，則應(yīng)該來自他對生活經(jīng)驗的思考，他用常識回答問題，就其性質(zhì)而言，是知識的創(chuàng)造。

但是，生2的回答與書本上的知識是有沖突的，書本上認為：

比的前項可以為0，比的后項不能為0。

而這位同學(xué)以他的思考告訴我們：

比的前項與后項，都不能為0。

理由很簡單：米∶水=2∶3，若米為0，則飯不是飯，是水;若水為0，則同樣飯不是飯，是米。

那么，他的思考結(jié)論與書本的知識不相符，怎么辦？

這就需要有包容之心。因為在經(jīng)驗的改造中，思考環(huán)境是開放的，既然是開放的，則完全有可能獲得一些意外的成果。

而這些意外的成果與計劃的成果一起，便組成了學(xué)習(xí)的深度水平。

經(jīng)驗的改造，其實只是把知識學(xué)習(xí)深入學(xué)生們的生活中，這應(yīng)該就是我們平常所說的深度學(xué)習(xí)了。

（作者系浙江省金華師范學(xué)校附屬小學(xué)校長）

責任編輯：胡玉敏

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