讓學生經歷公式的發現、證明與應用

【關鍵詞】祖暅原理;幾何體的體積;高中數學

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）54-0062-03

【作者簡介】陳春芳，江蘇省錫山高級中學（江蘇無錫，214174）教師，高級教師。

一、教材分析

本節課位于新人教A版必修第二冊第八章“立體幾何初步”，本章采用“總—分”的結構。先從對空間幾何體的整體觀察入手，研究其結構特征、表示方法和表面積體積的計算方法;再從構成立體幾何圖形的基本元素——點、線、面入手，研究它們的性質及其相互間的位置關系。本章的第三節“簡單幾何體的表面積與體積”包括簡單幾何體的表面積和體積兩部分內容。計算簡單幾何體的表面積主要方法是將空間問題轉化為平面問題，學生易于學習。而對于簡單幾何體的體積，學生雖已學習長方體、圓柱和圓錐的體積計算公式。但是公式的學習是通過實驗操作、觀察猜想所得，并沒有經過嚴格的推理論證。因此，根據我校學生的認知水平，結合教材探究與發現，本節課采用探究式教學，通過合作交流，讓學生經歷簡單幾何體的體積公式的發現、證明和應用的過程。

二、教學目標及重難點

1.教學目標。

（1）通過實驗操作，學生了解祖暅原理，并能利用祖暅原理推導柱體和球的體積公式;

（2）學生會用割補的方法推導錐體和臺體的體積公式，感受柱體、錐體和臺體內在結構的聯系以及體積公式之間的相互聯系，體會轉化思想在解決問題中的作用;

（3）學生會用體積公式求解相關問題，能運用類比的方法研究問題。

2.教學重點。

柱、錐、臺和球的體積公式的推導及應用。

3.教學難點。

錐體和球體體積公式的推導。

三、教學過程

1.問題情境。

嘗試與發現：同一摞書，當改變擺放書的形狀時（如下頁圖1所示），這摞書的總體積是否會改變？由此你能得到有關體積的什么結論？

【設計意圖】學生能從同一摞書的三個不同形狀抽象出三個不同的幾何體：長方體、斜棱柱和不規則的幾何體。由于所占空間的大小沒有發生變化，因此三個幾何的體積相等。由此學生從知識層面能夠歸納出祖暅原理——冪（截面面積）勢（高）既同，則積不容異;從數學方法層面能將不規則的幾何體轉化為規則的幾何體，體現了轉化在解決問題中的重要作用;從數學思想層面，滲透極限思想。這些將為本節課推導簡單幾何體體積作鋪墊。

2.公式推導。

在以前的學習中，我們已經知道了正方體的體積公V=a3式（其中a為棱長），長方體的體積公式V=abc=Sh（a、b、c分別為長、寬、高）。以長方體為基礎，可以得到什么幾何體的體積？

探究1：如圖2，底面積都等于S，高都等于h的任意棱柱，圓柱和長方體，你能用祖暅原理推導柱體的體積公式嗎？

探究2：如圖3，底面積相等、高也相等的錐體體積之間有怎樣的關系呢？

探究3：我們學過柱體和錐體的體積公式，那么臺體的體積可以通過我們已知的知識得到嗎？

思考：柱體、錐體、臺體之間有什么關系？你能從形的角度，揭示公式之間的聯系嗎？待學生推導后出示圖4進行講解。

探究4：（1）你能想辦法測出一個乒乓球的體積嗎？（歷史上阿基米德發現了球的體積公式）

（2）你能利用祖暅原理推導球的體積公式嗎？

為了方便，取出半球，請大家構造一個與之等底同高，且等高處截面面積相等的簡單幾何體。

如圖5所示是底面積和高都相等的兩個幾何體，左邊是半球，右邊是圓柱被挖去一個倒立的圓錐剩余的部分，用平行于半球與圓柱底面的平面去截這兩個幾何體，分別指出截面的形狀，并討論兩個截面面積的大小關系，并由此推導球的體積公式。

【設計意圖】通過4個探究完成了柱、錐、臺和球的體積公式的發現及推導。學生經歷了對公式的發現與證明的過程，從直觀感知到推理論證，符合人們認識事物的一般規律，它也是研究立體幾何的重要方法。公式的推導體現了轉化思想，將不規則的幾何體轉化為規則幾何體，例如柱體（斜棱柱轉化為直棱柱）、球（球轉化為簡單組合體）;將未知轉化為已知，例如錐體轉化為柱體、臺體轉化為錐體。在推導的過程中，學生不僅提升了數學探究能力，同時也發展了邏輯推理和數學運算核心素養。最后從簡單幾何體的結構聯系揭示公式之間的聯系，將公式進行統一，從中學生能體會到數學中的“變”與“不變”，從數學本質來認識數學學習。

3.公式運用。

例題：如圖6，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比。

4.課堂小結。

（1）公式的學習：發現—證明—應用。

（2）公式的推導：化不規則為規則、化未知為已知。

（3）公式的特征：內在的結構體現了公式的聯系。

5.課后探究。

一個旋轉體的母線是拋物線y=x2（0≤y≤H）的一部分，以y軸為旋轉軸，求該旋轉體的體積。

【設計意圖】通過課堂小結，回顧本節課的研究過程，了解研究數學問題的方法。類比球的體積推導過程，學生課后合作完成探究作業，提高學生分析問題和解決問題的能力。

四、教學思考

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用。本節課緊扣“利用祖暅原理探究簡單幾何體體積”這條主線設計教學，通過4個探究活動逐步展開，學生在學習基本知識的過程中，掌握研究數學問題的基本思想，同時提升了思維水平。

1.立足學生的認知，促進學生思維的主動參與。

以學生發展為本是新課程的基本理念，課堂教學應以“學生的學”為中心。教師在充分了解學情的基礎上，依據教材，設計教學內容，為學生的自主學習搭建平臺。本節課對教材內容進行了整合。教材是分多面體、旋轉體的表面積和體積展開，公式也是直接告知，沒有進行嚴格的推理證明。在習題后面的“探究與發現”給出了證明，供學有余力的學生課后自主學習。對于高中生，根據以往的學習經驗，他們已經知道了柱體和錐體的體積公式，但是這僅僅停留在直觀感知，沒有較強的說服力。對于這個階段的學生，他們不僅僅想知道“是什么”，更想知道“為什么”。證明和推理是培養學生數學思維，建立思維體系的一項重要內容，是培養學生分析問題和邏輯推理等能力的有效載體。顯然告知式的教學方式已經滿足不了學生的學習需求，也不利于學生的思維發展。本節課的重點是在學生的合作交流中完成公式的推導，在直觀感知的基礎上，進行推理論證，學生經歷“再創造”的過程，體驗數學發現和創造的過程，激發學習主動性，增強求知欲 ，思維積極主動參與。

2.設置合適的問題，促進學生思維的深度參與。

基于數學學科核心素養的教學活動應該把握數學的本質，提出合適的數學問題，引發學生思考與交流，形成和發展數學學科核心素養。以問題為驅動組織課堂教學，能夠激發學生的學習熱情，培養學生分析問題和解決問題的能力，增強學生自主學習的能力。本節課緊緊抓住學生認知規律，設置合適的“問題串”，引導學生主動思考，啟迪學生思維。本節課的核心問題為：能否將未知的問題轉化為已知的問題？能否完成證明？幾個問題難易適度，重點突出，提高了學生思維的積極性和有效性。在解決問題的過程中，學生獲得深度學習的經歷，從而能夠將教材知識的邏輯結構轉化為自己的認知結構。

3.開展有效的數學探究，促進學生數學核心素養的提升。

數學建模活動與數學探究活動是高中數學課程的主線之一，新教材中增加了很多探究，教師進行教學設計時可以圍繞這些探究活動，設計好具體的數學問題，讓學生開展自主探究、合作研究并最終解決問題。這樣的探究學習不僅可以轉變學生的學習方式，讓學生經歷獨立思考、自主學習、合作交流等過程，還能激發他們學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展。本節課圍繞柱、錐、臺、球的體積這一知識主線，立體幾何中的降維、圖形“割補”、數形結合這一方法主線以及轉化、類比的思想方法主線，結合“探究與發現”，精心設計了4個探究活動，環環相扣、層層遞進，難度不斷增加，學生探究欲望逐漸增強，在學習基礎知識的同時，又揭示了數學本質，從而達到突出重點、突破難點，提升的學習的有效性。在探究活動中，學生通過解決具體問題，積累數學活動的基本經驗，從而發展自身的數學核心素養。

【參考文獻】

[1]教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]汪俊.基于核心素養培育的高中數學網絡教學策略探析——以“空間幾何體的體積”教學設計為例[J].數學通訊，2020（18）：28-31.