緊扣概念本質 優化變式教學
——以“平面向量的數量積”復習課為例

汪東生

（安徽師范大學附屬外國語學校城東校區 安徽蕪湖 241000）

數學復習課中，如何真正做到精講精練，提高復習效率，是數學老師所面對的一個重要課題。下面以一節高三數學復習課“平面向量的數量積”為例。通過對經典例題的挖掘，引導學生進行自主探究、變中生成的教學，希望對數學復習有所啟發。

一、課堂教學簡錄與反思

（一）課前練習

（二）課前思考

①求向量的數量積的方法有哪些？②向量的數量積有哪些應用？

二、一題多變，呈現知識網絡

例1 已知|a|=1，|b|=2，向量a與b的夾角60°，求a·(b-a)的值。

師：請同學們快速給出答案。

學生齊答：a·(b-a)＝a·b-a2=0.

師：很好！通過本題，我們復習了向量數量積的公式：a·b=|a|·|b|cosθ.請再看下一題。

變式1 已知|a|=1，|b|=2，且向量a與b-a垂直，求向量a與b夾角。

變式2 已知|a|=1，|b|=2，向量a與b的夾角60°，求向量a與2a-b的夾角。

生2：先求出|2a-b|＝2和a·(2a-b)=1，再用公式求出其夾角為60°。

生3：畫圖，發現向量2a，b和2a-b構成一個正三角形，直接看出。

師：非常棒！向量本質是幾何概念，利用數學結合的方法快速解題。我們根據他這個圖你們能否求出向量a與2a＋b的夾角？

學生齊答：30°

變式3 已知|a|=1，|b|=2，向量a與b的夾角60°，求 |2a-b|和|a+b|。

師：公式記憶很熟，在三角形中我們還可以用余弦定理求解|a+b|！再看題。

師：他是用向量數量積的公式。注意找兩向量夾角要平移使得它們共起點，那兩向量夾角范圍是？

學生齊答：0≤θ≤π！

師：如果本題∠O不是特殊角60°還行嗎？請再看下一題。

反思：通過課前練習，當堂投影學生作品蘇醒知識。然后從問題1出發，通過變式幫助學生復習了數量積定義、夾角公式、模長公式，通過數形結合體會向量數量積本質。

三、一題多解，使求解方法清晰

師：他對平面向量數量積的公式的本質理解了，他把兩個向量投影到一個向量上，用共線向量的長度來計算，我們把這種方法稱為投影法，當然還需要觀察兩個向量的夾角是銳角還是鈍角，以確定符號.誰還有其他方法？

學生根據題意說出選擇思路。

師：剛才同學們的這些解法，從不同的角度解決了這個問題，希望學生通過三種解法的比較，學會根據題目的特點，選擇最優的方法解題。

反思：通過例2、變式1、2的分析、講解、示范，學生可以清楚地知道求解向量數量積的分析和求解方法。考慮變式數量要“適度”，盡量避免題量展示解法展覽，減輕學生無效勞動，因此變式3、4讓學生說出思路即可。