基于主動學習Kriging模型與序列重要抽樣的隨機-區間混合可靠性分析

(大連理工大學 工程力學系 工業裝備結構分析國家重點實驗室,大連 116024)

1 引 言

不確定性廣泛存在于物理系統的整個生命周期中，隨著實際問題日益復雜，描述材料屬性、結構幾何、載荷條件以及制造公差等的不確定性信息呈現多元化特點，通?？煞譃殡S機不確定性和認知不確定性。前者描述的是物理系統的固有特性，通常采用概率形式量化；后者則是由于對物理系統的認識水平和信息缺乏而產生的認知差異，通常采用區間形式量化。實際工程的不確定分析問題中，隨機與認知不確定性經常同時存在，因此解決多種類型不確定性變量的混合可靠性分析越來越受關注。

近年來，眾多國內外學者對混合可靠性問題進行了深入的研究。王睿星等[1]綜述了已有的4種主要非概率可靠性模型，針對線性功能函數分別從度量原理、可靠性指標物理意義、適用范圍和結果精度等方面對各模型進行了對比和總結。郭書祥等[2]結合結構的概率和非概率混合模型，通過兩級功能方程的逐次建立及可靠性分析,給出結構可靠的概率度量。Du[3]提出了基于一階可靠性方法的FORM(First Order Reliability Method)的統一不確定性分析方法，稱為FORM-UUA，可以處理具有高魯棒性的黑箱功能函數；Guo等[4]基于該方法對具有隨機變量和區間變量的混合可靠性問題進行了敏感性分析。Jiang等[5]構造了一個等效的隨機變量單層優化算法，改進了雙層循環算法的效率和穩定性，可計算最大失效概率。賈大衛等[6]采用Laplace漸進積分法分析了凸集-概率混合模型的結構可靠性問題。上述方法在處理功能函數高非線性和多設計點的情況容易出現計算失真。

在可靠性分析方法中，蒙特卡洛模擬MCS(Monte Carlo Simulation)是適用性和魯棒性最好的方法，不受隨機變量數目和功能函數形式的影響。但是在求解小失效概率問題時，需要大量的隨機樣本。為了解決MCS方法計算效率低的問題，往往采用減少方差的模擬方法，其中重要性抽樣通過引入重要性抽樣函數，來提高隨機樣本落入失效區域的幾率。Liu等[7]提出了一種基于FORM-UUA的重要抽樣法用于處理隨機和相關區間變量的混合可靠性問題，但是當功能函數具有高非線性或者多設計點的情況下，該方法很難準確定位失效面附近，進而影響最終失效概率的準確性。序列重要抽樣方法SIS(Sequential Importance Sampling)是一種有效的自適應重要抽樣方法，通過中間分布的逐級采樣逼近最優重要抽樣函數，漸近收斂的特性使得算法處理復雜功能函數更加有效，在隨機不確定性分析領域得到廣泛應用，包括可靠性分析[8,9]、可靠性靈敏性分析[10]及可靠性優化[11]等。

同時，為了節省耗時功能函數的可靠性分析的計算成本，代理模型技術在可靠性分析領域得到廣泛應用。Kriging[12,13]模型是最常用的代理模型之一，本質上是一個高斯過程模型，可以給出功能函數在未知點的預測均值和預測方差，為后續改進代理模型的精度提供了更多的可能。Yang等[14]將主動學習Kriging與MCS方法相結合用于解決隨機-區間混合可靠性問題，稱為ALK-HRA方法(Active Learning Kriging model for Hybrid Reliability Analysis)。Zhang等[15]提出一種基于投影邊界的主動學習方法，提高了ALK-HRA方法的效率。但是基于MCS的方法在面對小失效概率問題時，過大的樣本數使得主動學習過程變得繁雜耗時。

本文將序列重要抽樣方法與主動學習Kriging模型結合，提出了一種有效處理隨機-區間混合可靠性問題的方法。在序列重要采樣方法中采用高斯混合分布作為提議分布進行逐級采樣，通過合理選擇高斯混合分布的參數使得算法適用于復雜功能函數；提出了構建Kriging模型的兩步主動學習策略，在保證算法準確性的前提下顯著提高計算效率。

2 隨機-區間混合可靠性問題

對于隨機變量和區間變量同時存在的混合可靠性問題，功能函數G(X,Y)包含隨機變量X和區間變量Y?？紤]區間變量，可以定義功能函數的上下界為

Gmax(X)={maxYG(X,Y)|Y∈D}

(1)

Gmin(X)={minYG(X,Y)|Y∈D}

(2)

式中D=[YL,YU]為區間變量取值范圍，Gmin(X)和Gmax(X)分別為區間變量影響下功能函數的最小值和最大值，圖1給出了設計空間中的失效區域。定義失效概率的上下邊界為

圖1 混合可靠性問題失效區域

(3)

(4)

混合可靠性分析就是計算失效概率的上下邊界，這是一個雙循環的過程，內層循環采用優化算法求解功能函數的極值響應，外層循環采用概率分析方法求解失效概率?？梢圆捎妹商乜宸椒∕CS求解式(3,4)。首先，根據隨機變量分布函數產生大量樣本，然后估計每一個樣本在區間變量影響下的最大和最小響應，最終統計失效響應的占比即可得到失效概率。雖然MCS方法具有很強的魯棒性和適應性，但是計算成本較大。

3 基于主動學習Kriging的序列重要抽樣方法

3.1 混合可靠性分析的序列重要抽樣方法

重要性抽樣通過引入合理的重要抽樣函數h(X)，使得產生樣本落入失效區域的概率增加，從而提高采樣效率。在重要性抽樣中，失效概率的計算式表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

重要抽樣方法的關鍵是合理選取重要抽樣函數hU(X)和hL(X)。如果選取得當，可以顯著降低采樣方差，節省計算成本。理論上存在最優的重要抽樣函數使采樣方差為0，形式如下

(9)

(10)

(11)

式中Φ(·)為標準正態累積分布函數。隨著參數σ逐漸趨近于0，光滑函數對于指示函數的近似效果越好，即存在如下極限情況

(12)

(13)

(14)

(15)

中間分布的參數選擇是SIS方法的重要組成部分。為了確保相鄰中間分布之間的歸一化常數比估計值式(15)的準確性，應該合理選擇參數σ使得相鄰分布之間的差異不大。文獻[9]提出了一種自適應的參數σ選取方式。即在SIS的每一個迭代步中，可以通過求解下面的優化問題自適應的選擇參數σ。

(16)

(17)

(18)

3.2 主動學習Kriging模型

本文采用Kriging模型近似真實功能函數。實驗設計DoE(Design of Experiments)方法影響著Kriging模型的精度與效率，雖然可以通過DoE方法選取足夠多的樣本來提高Kriging模型的精度，但是會增加計算負擔。為了平衡樣本數和模型精度，學者們提出了構建代理模型的主動學習方法，通過少量的初始樣本構建Kriging模型，然后采用某種學習方案序列的增加樣本點，逐步提高Kriging模型的精度，如U準則[18]、EFF準則[19]和H準則[20]等。其中U準則是一種簡單高效的主動學習策略，旨在將Kriging預測最不準確的點逐次加入到訓練樣本中。其學習函數如下

(19)

3.3 本文方法流程

本文提出基于主動學習Kriging模型與序列重要抽樣方法相結合的ALK-HRA-SIS方法，求解隨機-區間混合可靠性問題。SIS方法通過分布序列的逐級采樣，將初始樣本逐漸轉移到近似最優的重要密度函數附近。當與主動學習Kriging方法相結合時，Kriging模型的近似精度需要滿足以下兩點需求，一是保證分布序列可以無偏收斂到近似最優的重要密度函數附近，二是確保最終的重要采樣過程計算失效概率的準確性。因此，本文提出了兩步主動學習策略，即在SIS方法的分布序列第一級和最后一級分別進行Kriging主動學習。第一個主動學習過程針對SIS分布序列的初始樣本集，第一次提高Kriging模型的預測精度，以獲得功能函數的整體近似。第二個主動學習過程針對SIS分布序列的最終重要樣本集，第二次提升Kriging模型預測精度，保證最終失效概率計算的準確性。圖2為基于主動學習Kriging模型的序列重要抽樣方法流程，具體步驟如下。

圖2 本文方法ALK-HRA-SIS流程

(1) 初始化Kriging代理模型。采用拉丁超立方抽樣在變量空間產生少量初始DoE樣本，隨機變量采用均值附近5倍標準差作為采樣范圍，區間變量采樣范圍即為變量界限。利用Matlab toolbox DACE建立初始化的代理模型。

(2) 產生初始樣本集。迭代步j=1，為了計算失效概率的上下邊界，SIS方法需要兩個分布序列，其初始分布相同(隨機變量的初始概率分布)，可以采用相同的初始樣本集ΩM C。對于隨機變量，根據分布產生隨機樣本；對于區間變量，采用LHS產生樣本。

(3) 主動學習過程。使用Kriging模型預測初始樣本集ΩM C的預測值和預測方差，采用U準則識別需要更新的樣本點，加入到訓練樣本中，重新建立Kriging代理模型，重復上述過程，樣本集上的U值最小值滿足min(U)≥2時停止更新。

(4) 構造SIS分布序列。對于失效概率的上下邊界，需要分別構造SIS的分布序列。采用上面步驟給出的Kriging模型，依照式(13～16)分別構造用于計算失效概率上下邊界的分布序列，當兩個分布序列收斂時，記錄當前算法迭代步為j=ML和j=MU。

(20)

(21)

(6) 主動學習過程。使用Kriging模型預測樣本集ΩI S的預測值和預測方差，采用U準則識別需要更新的樣本點，加入到訓練樣本中，重新建立Kriging代理模型，重復上述過程，樣本集上的U值最小值滿足min(U)≥2時停止更新。

(7) 失效概率計算。根據式(17，18)，采用Kriging模型預測失效概率的上下邊界。

4 算例分析

通過三個算例將本文提出的ALK-HRA-SIS算法與其他幾種常用的混合可靠性分析方法進行比較，包括MCS、SIS、FORM-UUA[3]和ALK-HRA[14]，說明本文方法的計算效率和精度。對于每個算例，MCS采用200×106次真實功能函數調用，其中根據隨機變量概率分布產生106個樣本，根據區間變量產生200個樣本，參考解是獨立運行MCS方法10次所得的平均值。

4.1 算例1

本算例來源于文獻[19]，本文對其進行了適當修改，功能函數如下,

(22)

式中x1和x2是相互獨立的正態分布隨機變量，x1～N(1.5,1)，x2～N(2.5,1)，y為區間變量，取值范圍是[2,2.5]。已有研究[19]表明，該算例的功能函數在標準正態空間形狀復雜，呈高非線性和多峰特性。本算例中，ALK-HRA-SIS方法初始樣本集ΩM C個數為5000，每個中間分布取樣個數為2000。

表1給出了不同方法的計算結果，其中，Pmax和Pmin分別為失效概率的上下界限，Ncall為調用實際功能函數的次數，相對誤差(%)(U/L)為失效概率結果與MSC方法參考解的相對誤差，U和L分別對應失效概率的上下界。

表1 算例1結果

由表1可知，FORM-UUA是基于一階可靠度法的統一不確定性分析方法，分別采用了441次和1114次功能函數調用近似求解失效概率的上下界限，Ncall為二者的和1555次，失效概率結果相對誤差很大，Pmax的相對誤差達到了274.25%。ALK-HRA的功能函數調用次數為初始DoE樣本和主動學習增加樣本數目相加，共51次。本文提出的ALK-HRA-SIS實際功能函數為初始DoE樣本與兩次主動學習過程增加樣本數目相加，共41次。SIS,ALK-HRA和ALK-HRA-SIS方法的失效概率相對誤差均較小，其中SIS方法結果最接近MCS參考解，但計算量很大。相比ALK-HRA，本文的ALK-HRA-SIS方法計算精度更高，誤差小于1%，而且功能函數調用次數更少，降低了樣本池的規模，提升了算法的計算效率。

圖3給出了本文方法獲得的最終重要抽樣樣本與真實失效面，可以看出，ALK-HRA-SIS方法可以準確定位失效面的兩個重要區域。同時，獲得的兩組重要樣本的分布變化也捕捉到了最大與最小失效面的重要區域的變化。

圖3 ALK-SIS最后一級樣本

4.2 算例2

該算例是概率可靠性領域常用的例子，本文稍作修改，功能函數如下,

(23)

式中x1和x2為相互獨立的標準正態隨機變量，y是區間變量，取值范圍為[2.5,3.2]。標準正態空間中，該算例的失效域具有多個設計點，同時失效域是斷開的。FORM-UUA無法求解多設計點問題。

在本算例中，ALK-HRA和ALK-HRA-SIS方法的初始DoE設置為12。表2給出了不同方法的結果對比。盡管SIS精度很好，但函數調用次數太多；相比ALK-HRA方法，本文的方法在計算效率(功能函數調用次數43=12+20+11)和計算精度(誤差分別為1.32%和1.60%)方面都有優勢，說明本文方法可有效解決功能函數多設計點和高非線性問題。

表2 算例2結果

圖4給出了標準正態空間中本文方法樣本點逐漸向最優重要抽樣函數收斂的過程，算法在4步迭代之后收斂到重要失效區域，準確捕捉到了最優和次優失效面，同時重要樣本的分布比例也表明了兩個失效區域對于失效概率的貢獻程度。

圖4 對應失效概率下界的SIS樣本收斂過程

4.3 算例3

如圖5所示，屋頂結構受到均勻分布荷載q作用。頂層與壓桿材料為混凝土，而底層與拉桿由鋼材料構成。在結構分析中，均勻分布載荷等效為三個節點載荷，大小為P=ql/4。表3給出了隨機和區間變量的參數信息。功能函數定義如下，

表3 屋頂結構不確定性變量

圖5 屋頂結構

(24)

式中EC和ES分別為混凝土和鋼筋的楊氏模量，AC和AS分別為其橫截面積。功能函數表示節點C豎向撓度大于0.025 m則結構失效。

該算例有2個區間變量，因此采用400個區間樣本用于估計失效概率的極值。同樣，ALK-HRA與ALK-HRA-SIS方法的初始DoE設置為12?？梢钥闯觯瑢τ谖蓓斀Y構混合可靠性問題，FORM-UUA相對誤差最大，ALK-HRA與本文方法的相對誤差均很小，本文方法的計算精度更高，真實函數調用次數更少(46次)。

表4 算例3結果

5 結 論

對于隨機-區間混合可靠性分析中的復雜功能函數，如高非線性和多設計點，本文提出了結合序列重要抽樣方法和主動學習Kriging模型的ALK-HRA-SIS方法。通過自適應的分布序列逐級采樣，實現對最優重要抽樣密度的近似取樣，采樣過程中使用主動學習Kriging模型近似計算樣本響應值，顯著降低了功能函數的調用次數，在保證結果精度的同時提高了序列重要抽樣的計算效率。算例分析表明，與FORM-UUA相比，本文方法對于高非線性及多設計點問題的處理能力更強；與ALK-HRA方法相比，降低了樣本池的規模，提高了實際問題的計算效率。

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