卡方檢驗在IBDP生物教學中的應用與啟示

曾 弦

（深圳市高級中學 廣東深圳 518040）

χ2檢驗在 IBDP（International Baccalaureate Diplo?ma Programme）生物教學中主要有兩種用途：獨立性檢驗和適合性檢驗，這兩者都適用于離散型數據的假設檢驗，其基本原理是通過χ2值的大小來檢驗實際觀測值與理論值之間的偏離程度。獨立性檢驗是判斷兩個或兩個以上因素之間是否具有關聯關系的假設檢驗；適合性檢驗是比較觀測值與理論值是否符合的假設檢驗。下面結合IBDP生物教材中的具體案例來詳細說明。

1 獨立性檢驗

獨立性檢驗是研究兩個或兩個以上因子彼此之間是相互獨立還是相互影響的一類統計方法。具體做法是，先提出無效假設（H0），假設所觀測的各屬性之間沒有關聯，根據無效假設計算理論數，在一定自由度下以給定的顯著性水平做出判斷，最后證明無效假設是否成立。若拒絕無效假設（H0），則說明兩種因子之間的關聯是顯著的；若接受無效假設（H0），則說明兩種因子之間無關聯，是相互獨立的。獨立性檢驗的形式有多種，常利用列聯表進行檢驗，在生物學研究中常用2×2列聯表。在IBDP生物中獨立性檢驗主要應用于“生態學”這一章，用來檢驗兩個物種的分布是否具有關聯性。

以2014年牛津大學出版社出版的IB Diploma Programme：Biology中第四章“生態學”中課后習題為例詳細說明。

英國什羅普郡某山頂上的草地，這個地區在夏天有綿羊在此放牧，此外還有登山者在草地上穿過。草地上有凸起的小丘，上面長著石楠（Calluna vulgaris）。對該處的肉眼觀察發現，有一種苔蘚（Rhytidiadelphus squarrosus）與這種石楠有關。隨機調查統計了100個樣方的數據，兩個物種的分布情況見表1。這兩個物種的分布是否具有關聯性?

表1 兩個物種的分布

解題步驟如下：

（1）構建一個觀察值的列聯表：基于已知數據構建一個2×2列聯表，即橫行分為兩組數據，縱列也分為兩組數據（表2）。

表2 根據表1所構建的列聯表

（2）假設兩個物種的分布沒有關聯，計算理論值（理論值=行總和×列總和/總數）。理論值的結果見表3。

表3 理論值的計算結果

（3）確定自由度：自由度有公式，df=（m-1）（n-1），m是行數，n是列數。在生物學研究中常用2×2列聯表，故自由度常等于1。本題中自由度=（2-1）（2-1）=1。

（4）確定臨界值：要確定一個否定無效假設（H0）的概率標準，這個概率標準叫做顯著性水平或者概率水平，記做α。α是人為規定的小概率界限，生物學研究中常取α=0.05和α=0.01兩個顯著水平，IBDP生物中常取α=0.05。

查χ2值表（常見用表）可以看出，α=0.05，df=1時，臨界值為3.84。

（5）計算本題中的χ2值。

其中，f0表示觀察頻率；fe表示理論頻率。χ2=（57-42.2）2/42.2+（7-21.8）2/21.8+（9-23.8）2/23.8+（27-12.2）2/12.2=5.190 5+10.047 7+9.203 4+17.954 1=42.395 7。

（6）陳述無效假設H0和備擇假設H1，并使用卡方檢驗的計算值對其進行評估：無效假設H0：石楠和苔蘚的分布是相互獨立的；備擇假設H1：石楠和苔蘚的分布是有顯著關聯的。

計算出的卡方值42.395 7大于臨界值3.84，有證據表明這兩個物種之間存在5%的關聯，即可以拒絕無效假設H0，接受假設H1，即石楠和苔蘚的分布是有顯著關聯的。

如計算出的卡方值小于或者等于臨界值3.84，則不能拒絕無效假設H0。沒有證據表明這兩個物種之間有5%的關聯，即石楠和苔蘚的分布是相互獨立的。

2 適合性檢驗

比較觀測值與理論值是否符合的假設檢驗叫適合性檢驗。這種方法是先對樣本的理論值通過一定的理論分布推算出來，再用實際觀察值與理論值比較，從而得出實際觀測值與理論值之間是否吻合的結論。在IBDP生物中適合性檢驗主要應用于遺傳學這一章，用來檢測所得的結果是否符合孟德爾分離定律、自由組合定律等。

做適合性檢驗時，可以先提出無效假設H0：O-E=0，即觀察值與理論值之間沒有差異，再計算樣本的卡方值χ2，根據規定的顯著性水平α和自由度df從χ2值表（常見用表）中查出相應的卡方值，如果計算出的卡方值大于查表所得卡方值，則拒絕無效假設H0，如果計算出的卡方值小于查表所得卡方值，則接受無效假設H0。

以2014年劍橋大學出版社出版的Biology for the IB Diploma中第十章“遺傳學”中課后習題為例詳細說明。

例：孟德爾單因子雜交實驗。有人種植了7 324株豌豆，在這一代中，他觀察到5 474株黃色種子植物和1 850株綠色種子植物。這一實際觀察值是否符合孟德爾一對等位基因的遺傳規律，即黃色種子∶綠色種子=3∶1？

本例為判斷實際觀察值與理論比率是否相符的問題，屬于典型的適合性檢驗問題。解題步驟如下：

（1）設置無效假設H0：黃色種子與綠色種子符合3∶1的比率。對于一個單因子雜交實驗來說，理論的表型比率F1代是3∶1。如果計算7 324株植物，理論上，預期比率（E）將是5 493∶1 831（即3∶1）見表4。

表4 理論值的計算過程

其中，O表示觀察值；E表示理論。χ2=（5 474-5 493）2/5 493+（1 850-1 831）2/1 831=0.065+0.197=0.262。

（3）確定自由度：自由度df，即結果中的類別數減去1。此題中只有兩種類型（黃色種子和綠色種子），因此自由度df=2-1=1。

（4）找到自由度是1，顯著性水平為5%（0.05時）的臨界卡方值，將計算出的卡方值與查表值比較。如果計算出的卡方值大于這個值意味著拒絕無效假設H0，即不符合3∶1的分離比；如果計算出的卡方值小于這個值意味著接受無效假設H0，即符合3∶1的分離比。在本題中計算出的卡方值是0.262，查表所得卡方值是3.841，0.262小于3.841，因此接受接受無效假設H0，假設觀察到的結果和預期結果之間沒有顯著差異，即結果符合3∶1的預期分離比。

3 啟示

生物學是一門實驗學科，實驗數據的分析和處理是非常重要的研究手段。我國高中生物學課程標準中沒有對生物數據的統計以及掌握程度做明確規定，教材中也沒有單獨設置的章節加以介紹，各類考試評價中也未有相關要求。學生在高中生物實驗中獲得數據，僅進行記錄和簡單的處理即可，沒有利用統計學的手段來對實驗數據進行系統分析。生物統計學相關的內容在我國往往被放在大學生物學專業講述。

IBDP生物學對實驗數據的處理有較高的要求，2011年IBDP生物學大綱第一部分就是統計分析，明確學生必須掌握平均數、標準差、正態分布以及如何表示數據測量的誤差，并且能用統計學的方法進行數據處理，如用t檢驗來判斷數據間平均值之間是否存在顯著性差異，又或者偶然因素導致。2016年新修訂的IBDP生物學大綱另外增加了卡方檢驗的內容。這些足見IBDP生物對數據處理的重視程度，也顯示了實驗科學在自然科學學科中的重要地位，這種能力的培養對于學生閱讀生物學文獻以及處理生物學實驗數據是非常重要的。IBDP生物學作為一門實驗學科，注重實驗數據的規范表達和生物統計方法的應用，這些應是我國高中生物課程的借鑒之處。