從“植樹問題”談小學生數學建模能力的培養

黃麗鳳

數學模型的運用是學生體驗和理解數學與外界聯系的途徑。隨著年級的升高，學習內容在不斷加深，學生的數學學習表現得越來越不適應，解決問題的能力低下，這與學生在學習中沒有形成模型意識有關系?！爸矘鋯栴}”是人教版五上“數學廣角”中的內容，這類探索規律的問題是小學階段典型的數學應用問題，學生在實際學習中往往覺得抽象難懂。因此，在教學時應讓學生經歷和體驗知識的形成過程，滲透模型思想，提高建模能力，逐步建立“植樹問題”的數學模型，進而解決生活中的實際問題，實現核心素養的提升。

一、在教材編排中尋找模型

教材是開展教學活動的重要根據。由于小學生認知發展規律的特殊性，教材在編排時會根據學生的實際情況把一個知識點分布在各個學段逐步滲透、深化，呈螺旋式上升的態勢進行編排?！爸矘鋯栴}”屬于“探索規律”的內容，學生早在一年級下冊第七單元“找規律”的學習中就有最初的感知和探索，但此時的他們只能通過具體的人或事物進行感性認知。例如，在一列站好的10個女生中，相鄰兩個女生之間站一個男生，問一共有多少個男生？又如，二年級上冊“表內乘法（二）”單元“練習二十”第8題（如下圖所示）。以及在三、四年級學習除法內容時的練習中也出現像“1，2，2，3，1，2，2……這樣排列中，第60個是什么數字”的問題。

可以看出，教材的編排中對植樹問題的相關知識早有滲透，并且其中的“間隔長×間隔數=總長”與“總長÷間隔長=間隔數”這兩個關系式，學生早在學習乘除法內容時就已經初步認識了。因此教師在開展植樹問題的教學前，就要根據教材編排的特點，幫助學生把各個知識點串成一條有聯系的知識鏈，讓學生有根可尋、有據可依，為數學模型的建立找到最初的原型。

二、在問題探究中建立模型

數學模型的建立，需要學生親身經歷知識探究的過程，而不應該是教師簡單地給予。知識應由學生自己發現、歸納，這樣的獲得才能終身受益。如何讓學生在原有認知基礎上，建立植樹問題的數學模型呢？

1. 創設情境，喚醒學生對間隔的認識。

現階段，學生年齡小、認知水平較低，沒能形成主動的建模意識，建模能力的培養也存在困難。學生對數學模型的建立還做不到主動觀察和主動探究，因此，課堂上教師要精心選擇學生熟悉的生活素材，學生才能在熟悉的現實問題中激起對數學建模的興趣，為順利建模做好鋪墊。教學時，筆者將學生熟悉的“某品牌3+2”餅干作為導入的載體，讓他們形象直觀地借助餅干與餅干之間的夾心認識“間隔”，理解兩層夾心就是2個間隔。緊接著，筆者讓學生張開自己的手掌，觀察5根手指，數數有幾根手指和幾個間隔。設置這些看似與植樹問題不相干的事物的探究環節意在讓學生親身體會不同的事物或現象之間存在著相同的數學本質，既符合學生好奇、求真的心理特征，又讓學生快速體驗到不同類型的間隔，為解決后續植樹問題做好鋪墊。讓學生將如“餅干夾心”“手指縫隙”等生活問題抽象出數學問題，初步感知數學模型在現實生活中廣泛存在，進而為更快地建立數學模型助力。

2. 經歷探究，建立模型。

數學學習重視學生的認知基礎，對于植樹問題教學的中心環節，創設學生熟悉的生活實例，可以為他們探究新知提供經驗基礎。植樹問題模型的關鍵在于分割，與學生對間隔規律的掌握有很大聯系。因此，筆者創設聯歡會舞臺布置情境，讓學生體驗每1米放一盆花，以及紅黃氣球間隔排列等類型的規律認知，自動喚醒學生對“總長、間隔長、間隔數”的最初認知。這樣在校園植樹的問題情境中，學生也就能順利地在理解題意的前提下明確“總長”“間隔長”“間隔數”之間的關系是：間隔數=總長÷間隔長;接著引導學生用畫圖的方式設計植樹方案，變抽象為形象，在實際操作中初步感受植樹問題的“兩端都種”“只種一端”和“兩端都不種”三種情況，以畫圖的形式呈現數學信息，為全面構建植樹問題的數學模型，建立棵數、段數與間隔數之間的對應關系，也為學生能描述植樹問題的本質特征做好準備。在此基礎上，筆者再次組織學生以小組合作的方式開展填表活動，開放間隔長度，為學生提供多次的“植樹”探究機會，重點引導他們聚焦間隔數與棵數的關系，充分發揮學生的合作交流能力，逐步發現隱含其中的規律，歸納數量關系，即兩端都種（間隔數+1=棵數）、只種一端（間隔數=棵數）、兩端都不種（間隔數-1=棵數），建立數學模型。符合學生發展規律的探究活動，是引導學生經歷驗證、分析和概括等思維的過程，也是學生形成策略性知識發展的過程，模型思想的生發與建模能力的提高也在此過程中得到體現。

三、在知識應用中發展模型

學生經歷充分的探究活動建立起來的數學模型，并不是一節課學習的終點。教師應引導學生將已經生成的數學模型進行拓展，衍生出新的數學模型，進一步培養學生主動建模的能力。植樹問題數學模型是從學生熟悉的生活中來，為了讓學生體驗建模的意義，理應回到現實生活中去，發揮模型的最大的應用價值。如鋸木頭問題：把一根木料鋸成4段，每鋸一次用6分鐘，一共要用多少分鐘？聯系植樹問題中的兩端不種模型“間隔數-1=棵數”，引導學生理解這是要解決鋸的次數問題，因為段數比次數多1，即段數=次數+1，次數=段數-1，所以（4-1）×6=18（分）。學生只要理解并掌握了這個數學模型，此類鋸木頭問題也就迎刃而解了。又如爬樓問題：陳老師從1樓走到3樓走了38級臺階，如果要從1樓走到7樓要走多少級臺階？通過分析，學生明白這是植樹問題中求間隔數的問題，理解從1樓走到3樓，層數為3-1=2（層），所以從1樓走到7樓，層數就為7-1=6（層），所以一共要走38÷2×6=114（級）。當然還有敲鐘問題、安裝路燈問題等等都可以跟植樹問題緊密聯系。通過大量的實踐運用，植樹問題的模型得到拓展，進而應用模型解決更多類似的生活問題，充分體驗建立、應用數學模型帶來的方便，讓模型思想深入人心，建模能力得以提升。

模型思想是學生應具備的數學素養之一，它的建立與發展需要學生在教師的引導下，經歷數學模型的建構過程，不斷完善學生的建模意識與建模能力。為實現這一目標，教師要根據學生的認知規律，遵循數學教材的編排特點，將知識間的內在聯系貫穿于建模過程;聯系學生的生活經驗，并提供充足的時間和豐富的實踐材料引導學生經歷探究歸納、實踐總結、深化理解等的學習活動，逐步建立解決問題的數學模型，并在應用中讓數學模型呈動態發展，更好地解決生活中的實際問題。

（作者單位：福建省三明市梅列區實驗小學 本專輯責任編輯：王彬）