模型思想在小學數學教學中的融入

強震球 強振宇

【編者按】模型思想是數學基本思想之一，在數學教學中有著重要的意義。如何在教學中滲透模型思想，引導學生經歷數學模型的建構過程，積累數學建模經驗，實現數學素養的有效提升？本期話題圍繞“滲透模型思想，優化建模過程”的相關研究而展開。

一、厘清小學階段的模型思想

1. 辨析模型思想的概念。

所謂數學模型是指針對或參照某種事物的特征或數量相依關系，采用形式化的數學語言，概括地或近似地表達出來的一種數學結構。按廣義解釋，凡一切數學概念、數學理論體系，各種數學公式、各個方程式，以及由公式系列構成的算法系統等都稱為數學模型。按狹義解釋，那些反映特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構才叫數學模型。

在小學數學教材中，蘊含的模型無處不在——數概念模型、運算模型、幾何圖形模型、植樹模型、工程模型等。仔細分析，不難看出模型思想和符號化意識相似，都是抽象后的數、數量關系、空間形式和變化規律的表達。那么，對小學數學而言，模型思想就是要求學生在學習過程中，從相對簡單到相對復雜，從相對具體到相對抽象，逐步積累經驗，形成運用模型進行數學思維的習慣——即“建模”。建模過程就是“數學化”的過程，是學生在數學學習中獲得某種模型意義的數學結構的過程。

2. 明確模型思想的價值。

首先，有利于明晰數學本質。數學是研究數量關系和空間形式的科學，它的本質是抽象的。現在，通過由原型抽象出數學模型的實例，使得抽象的數學看得見、摸得著，避免“數學聯系生活”的形式化，避免就題論題的知識傳授，讓學生真正感悟數學思想，發展數學理性。

其次，有利于明晰一般化思想。數學來源于生活又應用于生活，模型思想能將一個問題的解決，拓展為一類問題的解決。它能讓學生清晰感受數學與生活的密切聯系，感受數學的實際應用價值，從而增進自身對數學的學習興趣和信心。

再次，有利于明晰結構化思想。數學家對數學模型各有自己的闡釋，但其共同點可以歸結為一句話：由原型結構抽象出數學結構。結構就是關系的組合，具有整體性。滲透模型思想，就是要啟迪學生在掌握模型的主干后，進行“多題一解”與“一題多變”的變式訓練，讓學生在改編的過程中領悟結構化內涵，易于學生看破這些數學問題。

二、把握小學階段模型思想的現狀

1. 不能揭示數學本質，目標不準。

有些數學教師由于受傳統教學方式的影響，本身又對模型思想的認識不足，在設計課堂教學時，往往在乎的還是對學生的基本知識傳授，即使是一些簡單易操作的探究性活動，仍認為是浪費時間。導致學生被動接受知識，不能直抵數學知識的本質。

2. 不能凸顯數學思想，重點不明。

作為小學數學一種新的課堂教學方式“問題情境—建立模型—求解驗證—總結應用”，已經引起一線教師的關注和實踐。但是，由于教師對數學建模的認識不清，缺乏對各類知識模型化的對策，注意力過多地放在“生活情境創設”和“實際應用”的翻新上。對處于核心地位的“建立模型”忽視了實質，教學即使將數學與生活聯系起來，也僅僅停留在聯系的層面。這樣學生也就不能通過模型的形成提高自己的思維能力，違背建模初心。

3. 不能架構整體練習，興趣不濃。

模型思想蘊含結構化思想，要求我們將一個問題——原型的解決，拓展為一題多變的解決。然而，在平時教學的解釋應用環節，大多呈現為單個實際問題的設計，是為用而用，缺少思維含量，練習忽視模型結構的設計。這樣就將問題解決策略多樣化，演繹成低水平的“一題多解”現象。學生掌握不了關系模型的主干，體會不到數學結構的魅力，形成不了以簡馭繁的解題思路，題越做越沒興趣，形成不了模型思想。

三、融入模型思想的教學實踐

1. 在概念教學中建模——統攝引領。

數學概念是學生掌握數學基本知識和基本技能的基石，它直接影響后續學習及思維能力的發展。概念分為描述性概念和定義性概念兩類，主要表現為數學語言中名詞、術語、符號等的含義。由于數學概念是現實生活中數量關系和空間形式的本質屬性反映，因而，每一個數學概念都可以看做數學模型，每個概念是建立其他數學模型的材料。教學過程中教師需要逐步抽象、簡化，不斷變化數學問題的非本質屬性，構建數學模型，突出數學問題的本質。

【教學片段一】

一年級學生對“加法——5+2=7”的認識。

師：誰來說說從第一幅圖上看到什么？

生：有5只小兔在采蘑菇。

師：第二幅圖呢？

生：有2只小兔在采蘑菇。

師：誰來把兩幅圖的意思連起來說？

生：小兔采蘑菇，左邊有5只，右邊有2只。

師：根據圖的意思，請你們提一個數學問題。（一共有多少只小兔？）

師：那么一共有多少只呢？（7只，算式5+2=7）

師：結合情境圖——左邊有5只小兔，右邊有2只小兔。要求一共有多少只，就是把5只和2只合起來，算式是5+2=7。這里的5表示什么？2表示什么？7表示什么？

師：大家能不能用小棒代替小兔子，把這一過程擺一擺呢？

師：看這個同學擺的小棒圖，要求一共有多少根小棒，怎么表示呢？（5+2=7）

師：左邊有5根小棒，右邊有2根小棒。要求一共有多少根小棒，就是把5根和2根合起來，算式是5+2=7。這里的5表示什么？2、7又表示什么？

師：看，圖中先是小兔，再是小棒，為什么都可以用同一個算式5+2=7來表示呢？

師：同學們都說得很好。那么5+2=7還可以表示生活中怎樣的數學問題？請大家相互說一說。

師：這兒有加法算式“4+3=7”，誰能來說一說？

師：如果用□+□=□來表示加法，你們還能怎么說？

上述教學片段根據低年級學生年齡特點和學習特點，由具體的實例開始，借助小棒操作進行知識的內化和強化，最后通過學生舉例，以思維的發散和聯想擴展理解加法的意義，從而賦予“5+2=7”更多的模型意義。重點訓練了：學生對數學符號的抽象、對現實信息的概括、加法意義的舉一反三學習能力。教師通過豐富的資源在開展加法教學的同時，融入加法“□+□=□”模型思想，讓學生在學習數學的過程中體會到數學自身的魅力，為學生以后學習乘法、減法等內容助力。

2. 在數學規則中建模——以一當十。

數學規則指的是在小學數學學習中，大量有關數的四則計算法則、運算定律與性質、計算公式等內容。這些內容是現實生活中數量關系、空間形式、計算規律的概括與總結，具有模型意義。因此，在教學中，應當不失時機引導學生觀察、探索，經歷推理、歸納等數學化的過程，嘗試用簡練、準確的數學語言、符號語言來建構、表達模型，掌握模型主干，領悟模型的結構化，解決問題一大片，激發學生學數學、用模型的興趣。

例如，在蘇教版三下的“年、月、日”單元中，有一節“求簡單的經過時間”的學習內容。這部分內容是學生認識了“1日=24時”，掌握了鐘面24時在具體生活情境中的記錄方法后，解決與時間知識有關的實際問題。通過解決這類問題，讓學生具體感受時間的實際意義，體會數學與日常生活的廣泛聯系。那么，如何在學生求經過時間時體現模型思想呢？

【教學片段二】

一、初“模”：整時到整時的經過時間（時針轉動）

1. 出示“節目預告”單，明確問題。

師：通過前面的學習，我們知道“節目預告”采用的是24時記時法。誰再來播送一遍？

師：同學們，就在這些節目播放的記錄中，還蘊藏著與時間有關的數學問題呢！（出示問題“《動畫劇場》播放了多長時間？”）你們知道嗎？有辦法知道嗎？

2. 探索方法，交流反饋。

師：《動畫劇場》是怎么播放的？（從14：00開始播放到16：00結束）播放了多長時間也就是哪段時間？（14：00到16：00這一段時間）實際多長時間，怎么得到的？

鐘面上數? ? ? ? ? ? ? ? ?時間尺上看

師：看，無論是到鐘面上數，還是從時間尺上看，播放的時間就是時針在鐘面上轉動的2大格所表示的時間，也就是從14時到16時的經過時間。（板書：經過時間）

3. 列式計算，初步表達。

師：結合剛才的所思所想，播放多長時間能不能通過列式計算解決？（16-14=2小時）

追問：16表示什么？14呢？最后結果2表示什么？

小結：結束時間-開始時間=經過時間。

二、用“模”：1小時內的經過時間（分針轉動）

1. 問題：《智慧樹》播放多長時間呢？試著畫圖求出播放時間。

2. 師生一起畫線段圖得到《智慧樹》播放的時間。

3. 鐘面上感知，實質是分針在鐘面上轉動經過的時間。

4. 列式計算表示：40-10=30分鐘。

5. 總結建模：同學們，剛才我們一起通過討論解決了兩個節目播放時間的問題。發現節目播放時間多長就是節目從開始到結束那段經過時間，也就是相當于時針或分針在鐘面上轉動經過的時間。求經過時間可以直接用“結束時間-開始時間”列式計算。

三、應用鞏固“模”

1. 口答：借書時間、營業時間等。（展示實際生活中出現的各種時間公示欄）

2. 關系結構化訓練。

出示：老師今天早上7：00上班，工作到上午11：00，工作了多長時間？（11-7=4小時）

任務：將上面的問題改編成求其中一個條件的實際問題。

（1）求結束時間：老師今天早上7：00上班，工作了4小時，工作到什么時間結束？用24時記時法表示是（? ）。

（2）求開始時間：老師今天上午工作了4小時，工作到11：00。你知道老師是什么時間開始工作嗎？

教學借助現實情境和幾何直觀搭起了開始時間與結束時間的橋梁，再加上語言的描述，讓學生理解經過時間概念的本質，即經過時間實質是鐘面時針、分針的轉動所用的時間，為抽象概括“結束時間-開始時間=經過時間”這一主干關系模型厘清了思路。在應用鞏固模型環節，也不是就題論題，而是啟迪學生在掌握主干模型的基礎上，通過編題去領悟整個模型的結構化，感悟模型的聯系，提升思維含量，體會數學結構的魅力，實現做一題帶一片。

3. 在解決問題中建模——舉一反三。

模型思想蘊含一般化的思想。滲透模型思想的教學是通過“問題情境—建立模型—求解驗證—總結應用”的模式展開的，也就是說，教師引導學生在解決一些實際問題時，通過比較、觀察分析，抽象出更為一般的模式表達，將一個問題的解決，拓展為一類問題的解決，舉一反三，使學生體會到“原來這些題目可以這樣變，萬變不離其宗”。

最為典型的就是吳正憲老師執教的“解決問題——連加”，吳老師將教材中的顯性知識和隱性知識有機結合，運用“圖示法”，使學生經歷從實際問題中建立模型的過程，張揚了學生的個性和創造力，培養了學生的符號化意識和解決問題的創新能力。

【教學片段三】

一、復習鋪墊

1. 出示小猴采桃問題：猴弟弟采了4個桃，猴哥哥采了7個桃，一共采了多少個桃？

2. 追問：為什么用加法算？

3. 表征：（1）手勢表示——同學們舉起雙手做“把兩個數合在一起”的合攏動作;（2）符號表示——板書“□+□=和”。

二、新知建模

1. 變一變出例題：猴哥哥采了7個桃，會怎么對弟弟說？順勢把“猴哥哥采了7個桃”換成“猴哥哥比弟弟多采了3個”。

2. 讀題、審題、思考：要解決這個問題，想想先做什么，再做什么。你有什么要提醒大家的？

3. 請學生用畫圖的方式表達。

吳老師讓每個進行板演的學生表達自己的想法，然后引導總結，列式計算。

最后，師生一起用手勢總結——舉左手表示弟弟采的桃子數，右手表示哥哥采的桃子數。右手這邊沒有直接告訴你是多少，就要先算出來再相加。

4. 符號表示：□+□=和，其中一個加數沒有告訴我們，就要先求出來。這兒先算的是加法，以后還會遇到先算減法、乘法……

三、回顧總結：我們怎么解決問題的？有什么新的收獲？

縱觀整個建模過程，吳老師通過創設“小猴采桃”故事情境，給足學生表達的時間和空間，引導學生充分展現各自的思維過程，幫助每一個學生最終獨立完成“連加”的建構活動，滲透了模型思想和符號意識。

（作者單位：江蘇省江陰市實驗小學教育集團

江蘇省江陰市璜塘實驗小學）