考慮幾何非線性的變彎度機翼魚骨結構分析研究

李 揚，陳小雨，張凱航，楊 睿(大連理工大學，遼寧 大連 116024)

0 引言

變彎度機翼的變形結構是實現變體飛機的重要關鍵技術之一，變彎度機翼是通過變形結構驅動機翼外形完成弦向彎度的變化，與傳統飛行器固定機翼相比，機翼彎度的變化可以為飛機提供更好的機動性，較低的能耗以及適應工況的氣動性能。

近年各類型的變彎度機翼設計方案也被大量的提出，Barbarino等人對已存的設計工作方案進行全面的概述[1]，大部分變彎度機翼設計都偏向于在柔性結構的應用，Heo等人提出基于零泊松比蜂窩填充結構的設計[2]，Michael等人提出的基于柔性波紋結構的設計[3]。根據仿生學研究啟發，Woods等人提出一種基于魚骨形柔性翼肋的連續變彎度機翼結構設計[4]。其中變形柔性結構為魚骨柔性翼肋部分，該結構具備較強的各向異性特性，弦向變形彎曲剛度低，展向以及厚度方向面外承載剛度較高。該設計既實現了變形結構的低驅動力，也保證了高承載強度。

隨后Woods對魚骨柔性機翼進行了大量研究，對變彎度魚骨機翼外形的氣動性能[5]、變形能力[6]、風洞試驗中氣動效率升阻比[7]進行了研究探索。Woods在結構設計分析時，理論基礎為線性歐拉梁理論和有限元理論，仿真分析后再通過引入主梁的長度不變的非線性條件修正模型，這種分析依舊存在沒有考慮在結構大變形時受力情況發生變化的問題，導致不能完全準確反映結構形變；此外，在變彎度機翼柔性結構設計方面，李剛等人基于考慮結構承載性與變形連續性提出多復鉸連桿機翼設計[8]，王志強等人基于結構輕量化與新型智能材料提出應用形狀記憶合金的機翼設計[9]。通常在柔性結構大變形時，結構剛度會發生變化，會影響結構設計的初始條件，導致初始的結構設計無法完全兼顧承載性和變形能力。

所以綜合從反映魚骨結構的真實變形與幾何非線性對結構的影響的角度來看，應采用考慮結構變形中受力方向發生變化的非線性大變形結構的分析方法研究其結構特性，并且考慮幾何非線性大變形對結構的影響，對魚骨結構的幾何尺寸進行設計，提出兼顧承載與變形能力的設計條件。

1 變彎度機翼結構介紹及推導

1.1 變彎度機翼結構設計及模型簡化

本文為了探究魚骨柔性結構的幾何非線性特性，基于魚骨柔性結構，提出一種變彎度機翼后緣結構設計方案，如圖1所示。1為剛性前緣段，2為驅動器安裝盒段，3為主動變形柔性，4為剛性后緣。該變彎度機翼設計變形原理為依靠驅動器向后緣段輸出偏心位移載荷，產生轉矩，驅動整體柔性結構段發生彎曲變形。該結構設計方案使用了輸出力重比更高的驅動器氣動肌肉，與同樣電機結構驅動的變彎度魚骨機翼段相比，機翼段整體結構輕量化效果更好。

圖1 基于魚骨結構的變彎度機翼設計

針對變彎度機翼后緣的魚骨結構的大變形問題，首先分析機翼柔性變形段，提取其主要變形柔性魚骨結構，如圖2所示。對該魚骨結構形狀進行受力分析，受力模型如圖3所示。為了方便理論模型的計算，對其受力進行簡化。其魚骨結構主要彎曲變形集中于主梁之上(圖中粗實線部分)，將模型垂直板部分去除，僅保留主要變形部分簡化模型為懸臂梁模型，并且將載荷加載點變換至主梁上，簡化受力模型如圖4所示。

圖2 魚骨柔性肋

圖3 魚骨柔性肋結構簡圖

圖4 魚骨柔性肋模型簡化圖

1.2 非線性理論分析

針對魚骨結構簡化后的懸臂梁的大變形問題，本文基于分段線性化的思想，運用陳貴敏等人提出使用平面大變形梁的鏈式梁約束模型[10]計算理論對其結構進行分析計算。首先將大變形平面梁結構劃分為若干單元梁，對每個單元梁利用梁約束模型進行建模分析，建立單元梁形變方程，然后按照變形幾何關系推導單元梁之間的載荷平衡方程，最后聯立宏觀梁的幾何變形方程得到整體梁的形變支配控制方程組，下面進行該模型的簡單推導。

1)單元梁梁約束模型推導

首先將大變形梁劃分為若干連續的單元梁，將每一段單元梁都獨立使用梁約束模型進行建模，接下來對單元梁進行梁約束模型分析。

對于圖5所示的單元梁Fo、Po和Mo表示梁所受的末端力和彎矩載荷，L表示梁的長度，ΔX、ΔY、θ表示梁的末端位移和轉角。基于歐拉梁理論，根據文獻[10]中梁約束模型推導得單段梁單元的形變表達式為：

圖5 單元梁變形示意圖

(1)

(2)

式(1)式(2)中梁的幾何和材料參數以及載荷進行了歸一化處理，形變對梁長度進行歸一化，變量表示為：

(3)

式(3)中，T表示梁的厚度，E為楊氏模量，I為該段梁關于Z軸的截面慣性矩。

2)宏觀梁鏈式算法推導

根據Howell柔順機構學的求解大變形問題的鏈式算法[11]，進行宏觀梁的變形推導，建立宏觀梁模型，如圖6所示。

圖6 大變形梁離散化計算模型

將梁等分成N個單元梁，對第i(2≤i≤N)個單元梁進行分析，從第i-1個單元的末端，沿節點i-1切線方向建立局部坐標系oixiyi。梁的自由端為節點N。fi、pi和mi則表示在第i段的局部坐標系下

節點i上的歸一化的橫力、軸力和彎矩，同時，用δxi、δyi和αi來表示水平位移、垂直位移和末端轉角，對第i個單元梁分析，并且通過全局坐標系代換，可得其載荷平衡方程如下：

(4)

其中θi為第i個單元繞全局坐標系轉動的角度。將宏觀梁載荷歸一化處理得：

(5)

宏觀變形梁的變形后幾何方程表示為：

(6)

Li為第i個單元的長度，等長劃分后Li=L/N。大變形梁的每個單元梁有6個參數fi，pi，mi，δxi，δyi和αi描述載荷與形變。所以，對于N段等分的大變形梁，總共有6N個未知數。經過上述推導，鏈式算法宏觀梁模型中包含3(N-1)個平衡方程和3個整體變形的幾何方程，每個單元梁的梁約束模型的方程(3N個方程)，總共有6N個方程。這6N個方程構成了鏈式梁約束模型方程組。

3)理論模型計算

根據上文大變形梁的鏈式算法約束方程組，求解該理論大變形模型計算過程如圖7所示。可以將給定的大變形梁的末端載荷Po、Fo和Mo代入，解出其自由端的位移Xo、Yo和θo，以及每個單元梁的載荷與形變參數，描述整個梁的變形情況。

圖7 大變形梁理論計算過程

2 模型算例仿真及試驗驗證

2.1 仿真建模與理論計算

根據本文變彎度機翼柔性魚骨肋設計方案，采用有限元分析軟件ABAQUS建立魚骨柔性肋段有限元模型，如圖8所示，兩魚骨肋前后與安裝板固定，平行布置，兩柔性肋間隔50 mm，具體模型數據如表1。整體模型全部使用殼單元S4R建模，邊界條件為前安裝板固支，載荷加載點布置于后安裝板中部偏上10 mm位置。

圖8 魚骨柔性肋結構及有限元模型

表1 仿真模型參數

建模完成后，于加載點上施加位移載荷F，分別進行基于線性以及非線性的仿真模擬。

建立該模型的幾何非線性鏈式梁約束模型方程組，按照表1模型參數輸入對應函數系數(根據梁的不同幾何與材料參數輸入對應E、I、L等)，輸入載荷驅動力Fo與Mo，按照8單元梁模型計算。利用商用軟件MATLAB進行該方程組的求解，輸出變形參數。

2.2 模型試驗驗證

基于仿真三維數模，制造2 mm厚度中心板試驗模型，如圖9所示。整體試驗樣段分為兩部分，試驗固定部分包括固定安裝板，以及氣動肌肉固定端，柔性翼肋部分包括肋板前后安裝板、牽引鋼索以及柔性魚骨肋。氣動肌肉左端與固定部分鉸接，右端連接牽引鋼索，再與肋板后安裝板相連；柔性魚骨肋與前后安裝板均使用螺栓連接。試驗時，使用調壓閥調節氣動肌肉內部氣壓使其產生變化的收縮力，通過牽引鋼索拉動柔性魚骨肋后安裝板，使其發生彎度變化。

圖9 魚骨結構翼肋試驗裝置

氣動肌肉氣壓加載過程從0 MPa氣壓以0.1 MPa為單位增長，一直加載至0.8 MPa，然后從0.8 MPa以0.1 MPa為單位卸載至0 MPa，經調壓閥讀取氣動肌肉內部氣壓，測量該氣壓氣動肌肉收縮的長度，通過氣動肌肉位移與輸出力的關系曲線讀取收縮力，以毫米刻度網格坐標背景讀取后緣變形點位移。

分別記錄加載與卸載節點的氣動肌肉長度以及后緣形變位移，取平均值，根據對應氣壓氣動肌肉輸出特性數據，讀取對應收縮力，記為一組數據，重復9次，將9組數據平均后記為試驗數據。

3 結果分析

為了研究分析魚骨結構的幾何非線性特性，圖10中將鏈式梁約束模型與非線性、線性有限元仿真結果、試驗結果的魚骨柔性肋后緣中心Y向位移進行比較。結果表明，對于魚骨柔性肋后緣中心Y向位移的四種計算結果變化趨勢基本相同，且在Y向位移變形為10 mm前，此時載荷力約為15 N，四種結果變化趨勢基本為線性，誤差在5 mm(梁長度2%)內。載荷增加后，魚骨結構的幾何非線性特性逐漸表現明顯，線性計算不適用大變形情況，此時鏈式梁約束模型與試驗值、非線性有限元計算誤差均在8 mm以內。圖11中，分別表示出四種計算或試驗值的小變形(15 N載荷)、大變形(30 N載荷)時的中心腹板的形變位置。小變形情況，四種變形結果誤差均小于5 mm；大變形情況，線性計算方法誤差較大，達到48 mm(梁長度20%)，鏈式梁約束模型計算結果與試驗誤差保證在10 mm(梁長度3%)內，反映實際變形情況更加準確。

圖10 魚骨結構彎矩載荷驅動與變形關系圖

圖11 魚骨結構中心腹板形變位移

綜合試驗及有限元仿真分析數據驗證，表明鏈式梁約束模型可以準確反映魚骨結構的真實彎曲變形情況。所以接下來將使用梁約束模型分別對5種不同厚度中心板的魚骨結構的變形情況進行計算，分析其結構的幾何非線性特性對結構設計產生的影響。

如圖12所示，非線性轉折點前，結構載荷與位移可認為處于線性關系，在不同厚度、剛度的條件下，位移隨載荷變化發生小幅變化。進入非線性部分后，隨載荷變化，位移響應會出現較大幅度變化。隨中心板厚度增加，魚骨結構的線性區域增大，線性與非線性區域剛度變化逐漸平滑過渡，到達非線性特性轉折點所需的載荷就更大，這是因為由于主要變形部分厚度增加，結構抗彎系數增大，隨載荷的較大變化，也不會使位移出現大幅變化。

圖12 不同厚度中心板魚骨結構剛度特性

在結構設計使用中，需要考慮結構變形需求，具備一定的穩定性，所以就要求結構必須變形可控且穩定，因此需盡量使變形部分占小部分或非線性區域剛度較高。因為在結構剛度非線性部分，載荷出現輕微變化就會引起結構位移的較大變化，結構變形的穩定性不高，所以需要結構在線性特性區域可以承受更大的驅動載荷以及完成更大的變形。

針對以上分析考慮，對魚骨結構進行設計，以魚骨結構中心板厚度為例，厚度更大的魚骨結構的線性變化區域更大，基于幾何非線性特性的影響下，考慮采用更厚的結構設計為更優。進一步基于結構輕量化的考慮，需要結構在保證變形以及穩定性的情況下輕量化。表2列出各厚度中心板體積，以非線性轉折點載荷力比體積作為對比量，衡量結構的比剛度，比剛度越大表明其在同樣的體積下其表現的線性特性區域越大。在五種厚度下，3 mm厚度中心板比剛度更強，線性特性區域更大，但對驅動載荷力要求也更大，基于驅動器驅動范圍(氣動肌肉范圍是0～50 N)，再從考慮結構非線性影響的魚骨結構設計的角度出發，兼顧輕量化以及驅動器的要求，表明以上五種厚度的魚骨結構中，2.5 mm厚度為更優的設計，該條件下可以在保證大部分變形范圍都屬于線性特性變形區域，非線性特性范圍內結構剛度較高，整體結構有效驅動載荷范圍也符合驅動器要求。

表2 不同厚度的魚骨結構體積及比剛度

本部分綜合鏈式梁約束模型與有限元軟件的計算反映變形的結果對比，鏈式梁約束模型在計算魚骨結構的大變形問題時可保證較高精度，運用鏈式梁約束模型分析了魚骨結構的幾何非線性特性對結構設計的影響，分析發現結構越厚，線性剛度與非線性剛度差距逐漸順滑，結構穩定性越高。提出一種考慮幾何非線性特性以及兼顧輕量化與驅動器范圍的魚骨結構尺寸設計方法。為魚骨結構尺寸設計提供了新的理論方法，具有一定工程意義。

4 結論

本文針對基于柔性魚骨結構的變彎度機翼后緣大變形問題，建立了基于機翼后緣部分魚骨結構的鏈式梁約束模型，進行了魚骨結構模型的大變形算例計算。對比有限元計算與試驗驗證的結果，分析了結構大變形對結構設計的影響，得如下結論：

1)結構小變形時，鏈式梁約束模型與線性計算方法誤差在2%以內，大變形時，鏈式梁約束模型精度更高的反映真實變形且誤差在3%以內，線性計算誤差達20%。

2)魚骨結構大變形時幾何非線性特性對結構的影響，發現其厚度越大，線性剛度與非線性剛度差距逐漸順滑，結構穩定性越高。

3)提出一種考慮幾何非線性特性以及兼顧輕量化與驅動器范圍的魚骨結構尺寸設計方法，具有一定工程指導意義。