功能梯度懸臂輸流微管的自由振動分析

馬 濤, 穆安樂

(1.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院， 陜西 西安 710048；2.河南工程學院 機械工程學院， 河南 鄭州 451191)

隨著材料科學和微電子技術的交叉融合發展，輸流微管正逐漸成為微/納機電系統的核心部件，其在生物醫藥領域、微納米機電領域等得到了廣泛應用[1]。例如，為了避免系統共振，需要知道微管的自振頻率，為了防止微管道出現屈曲及顫振失穩，需要掌握系統的臨界速度等[2,3]。輸流微管的結構尺寸一般在微米甚至納米級，實驗已證明在微尺度下，材料尺度參數對微結構的力學性能有顯著影響[4]。近年來，輸流微管的動力學特性研究已經取得了豐碩的成果。梁峰等[5,6]以修正偶應力理論為基礎，建立了熱彈性耦合輸流微管的運動方程，分析了環境溫度、微尺度參數對系統固有頻率和臨界速度的影響。李明等[7,8]以非局部彈性理論為基礎，應用Hamilton原理建立了單層碳納米管輸流管系統的振動方程，研究流體速度、溫度和材料微尺度參數對碳納米管系統固有頻率和顫振失穩臨界速度的影響。Bahaadini等[9]采用改進的非局部彈性理論對懸臂式碳納米管的顫振和失穩進行了分析。Dehrouyeh-Semnani等[10]建立了輸流微管的非線性動力學方程，研究了諧波載荷作用下輸流微管的共振特性。Guo等[11]將加工缺陷耦合到懸臂輸流微管的三維非線性動力學方程中，分析了周期運動、加工缺陷和微尺度參數對系統特性的影響。李倩等[12]通過對非線性輸流微管系統的共振響應分析，研究了質量比、流速、附加軸向力對共振幅值的影響。Ghayesh等[13]研究了非線性彈性介質中輸流微管的粘彈性耦合動力學特性。以上研究均表明，在微納米尺度下，材料的微尺度參數對輸流微管的特性有顯著影響，但是這些輸流微管的材料都是基于各向同性的單一均質材料。隨著輸流微管的應用環境越來越復雜多變，如在超高溫、超低溫、高磁等物理場作用下，單一均質的輸流微管已經不能滿足使用要求。

從以上數據來看，政府包辦的社會福利機構在縣一級寥寥無幾，床位數與孤兒實際數量之比約為1:9，遠遠無法滿足孤兒的需求，全國80%以上的孤兒散落于民間，由孤兒親屬、民間機構等收養。在公辦福利機構不足、服務設施缺乏的情況下，民間孤兒救助組織的介入，可有效緩解政府壓力，彌補政府在孤兒救助方面的缺位。

為了提高復雜環境下輸流微管的穩定性，一種新型功能梯度材料被提出，并獲得了學者們的廣泛關注。Zhou等[14]研究了管內流體速度和軸向激勵對功能梯度懸臂輸流管非線性動力學特性的影響。Tang等[15]進行了功能梯度輸流管的后屈曲行為分析。Liang等[16]研究了多跨功能梯度輸流管的動力學特性。Baghlani等[17]進行了熱環境下彈性地基包圍的功能梯度材料輸流管的自由振動分析。以上研究表明，功能梯度材料能夠顯著提高輸流管的穩定性和臨界速度，尤其在環境多變的復雜載荷作用下，功能梯度輸流管的性能顯著優于各項同性均質輸流管。但是這些研究是在宏觀大尺度下進行的，對于微納尺度下輸流微管的研究，碳納米管是最先獲得學者們關注的。Deng等[18]運用雜交法研究了微尺度效應對多跨粘彈性功能梯度輸流納米管穩定性的影響。Tong等[19,20]研究了功能梯度碳納米管在熱磁耦合作用下的穩定性。Liu等[21]建立了具有初始缺陷的功能梯度納米管的非線性動力學方程，基于非局部應變梯度理論，研究了初始缺陷、微尺度效應和功能梯度材料冪律指數對系統性能的影響。Wang等[22]研究了表面應力對功能梯度納米輸流微管的非線性動力學特性的影響。這些研究表明，在納米尺度下，功能梯度材料的冪律指數、表面應力分布、材料尺度參數及流體與管壁的作用機理等，都對功能梯度納米輸流微管系統的臨界速度、固有頻率有顯著影響。

以上研究都是基于功能梯度碳納米管展開的，而針對結構尺寸在微米量級的功能梯度輸流微管的研究目前鮮見報道，且由于微納米的尺度量級相差在103，使得微納米輸流管展現出完全不同的力學性能。因此，本文針對輸流微管在微機電系統(MEMS)應用中的振動問題，基于高階連續介質理論中的修正偶應力理論，運用Hamilton原理，首次建立功能梯度懸臂輸流微管的動力學方程，研究功能梯度懸臂輸流微管的自由振動特性，探討通過功能梯度材料來提高微米輸流管系統穩定性的可能性。主要研究管內流體速度、功能梯度材料的冪律指數、微尺度參數和質量比對輸流微管系統穩定性的影響，從而為功能梯度微米管在MEMS中的應用提供理論支持。

1 功能梯度懸臂輸流微管的運動方程

功能梯度懸臂輸流微管的結構如圖1 所示，管道內徑為Ri，外徑為Ro，參考點半徑為r，長度為L，假設流體是定常流，速度為U，管內單位長度流體的質量為M。功能梯度材料的屬性按照冪律指數規律分布[23]，其有效材料性能可表示為：

E(r)=ViEi+VoEo

(1)

G(r)=ViGi+VoGo

(2)

ρ(r)=Viρi+Voρo

(3)

(4)

Vo=1-Vi

(5)

式中：下標i表示管道內層，下標o表示管道外層；n為功能梯度材料的冪律指數；E、G、ρ分別為功能梯度管道的彈性模量、剪切模量和密度；V為組分材料的體積分數。

聽說文學社曾經愿意給她付印，稿子呈到中央宣傳部書報檢查委員會那里去，擱了半年，結果是不許可。人常常會事后才聰明，回想起來，這正是當然的事；對于生的堅強和死的掙扎，恐怕也確是大背“訓政”之道的。今年五月，只為了《略談皇帝》這一篇文章，這一個氣焰萬丈的委員會就忽然煙消火滅，便是“以身作則”的實地大教訓。

(6)

式中：l為材料微尺度參數；w為微管的橫向振動位移。其中：

(7)

(8)

功能梯度懸臂輸流微管的動能為：

(9)

式中：m*為功能梯度懸臂輸流微管的單位長度質量，其表達式為：

(10)

輸流微管內流體的動能為：

(11)

對于本文的懸臂輸流微管系統，采用Benjamin[25]在1961年提出的Hamilton原理，其表達式為：

(12)

其中，L=Tp+Tf-Up是系統的拉格朗日方程，rL、τL分別為微管道端部處的位置矢量和切向單位矢量。將式(6)、(9)和(11)代入式(12)，經過變分計算，并忽略重力、阻尼力、流體壓力的影響，可得功能梯度懸臂輸流微管的線性運動方程：

(13)

則方程(18)化為：

④ 虞美人草(舊女性和現代女性)http:///pakuten.rakuten.co.jp/esuke,2008/2009/2009/

所謂小題，是指在教學過程中發生的具體問題，是語文教師在教學中迫切需要解決并通過努力可以解決的問題。語文教師需要在教學實踐中細致入微地考察疑難問題，不放過任何細枝末節。小題的“小”，是指從細微處著眼，從教學的小處著手，研究的范圍和切入點要小，但對這些“小題”卻必須高度重視，在研究過程中要較真，既要做真研究，也要做實文章，不能輕視和隨意，對這些“小”要另眼相看，相信研究的價值并激發創新能力。所謂大做，就是指要能以小見大，能夠以研究者的姿態出現在實踐舞臺上，把小題做大、做強，做出特色、做出水平來。

(14)

基于Euler-Bernoulli梁和修正偶應力理論，功能梯度懸臂輸流微管的應變能定義為[24]：