考慮維修因素的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性建模方法

趙建忠，許宜賀，張 振，張 磊

(海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001)

1 引言

隨著可靠性理論研究的不斷發(fā)展，描述元件故障由正常狀態(tài)和故障狀態(tài)，向考慮中間劣化狀態(tài)的多狀態(tài)描述方式轉(zhuǎn)變，使可靠性研究從二元狀態(tài)拓展到了多狀態(tài)領(lǐng)域[1-3]。當(dāng)元件的故障失效時(shí)間服從指數(shù)分布時(shí)，可使用Markov過程直觀、全面地描述多狀態(tài)元件各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移過程。然而，隨著系統(tǒng)中元件數(shù)量的增加，Markov過程面臨著組合爆炸問題。李志強(qiáng)等[4]應(yīng)用將Markov過程與貝葉斯網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，研究了復(fù)雜系統(tǒng)在視情維修條件下的可靠性建模問題，但在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型中條件概率值的求取往往需要人為設(shè)定一些參數(shù)值。為了避免上述人為主觀性因素的引入，Bentolhoda等[5]應(yīng)用通用生成函數(shù)(universal generating function,UGF)研究了多狀態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性建模方法，但其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相對簡單且未詳細(xì)考慮元件在不同維修條件下的狀態(tài)概率。對此，本文應(yīng)用Markov過程分析多狀態(tài)元件在不同維修方式下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，以解決復(fù)雜系統(tǒng)在不同性能水平下可靠度函數(shù)的計(jì)算問題。

2 基于Markov過程的多狀態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型構(gòu)建

多狀態(tài)元件包括正常運(yùn)行狀態(tài)、中間退化狀態(tài)和故障失效狀態(tài)。根據(jù)不同的狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)[6]，中間退化狀態(tài)可以分為一級(jí)退化狀態(tài)、二級(jí)退化狀態(tài)等多個(gè)狀態(tài)。假設(shè)某元件具有k個(gè)狀態(tài)，表示為g={g1,g2,…,gk}，對于任意狀態(tài)等級(jí)i，有g(shù)i+1≥gi。元件當(dāng)前狀態(tài)函數(shù)為G(t)，有G(t)∈g，性能水平函數(shù)為W(t)，W(t)∈w={w1,w2,…,wm}，對于滿足使用要求的元件，滿足條件：G(t)≥W(t)。

2.1 無維修條件下元件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程

定義一個(gè)離散狀態(tài)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程{X(t)|t≥0}，X(t)∈{1,2,…,K}，時(shí)間參數(shù)t連續(xù)取值，t∈[0,∞)。對于t0

Pr{X(tn)=xn|X(tn-1)=xn-1,…,X(t1)=

x1,X(t0)=x0}=Pr{X(tn)=

xn|X(tn-1)=xn-1}

(1)

則隨機(jī)過程{X(t)|t≥0}稱為Markov過程。

多狀態(tài)元件發(fā)生漸變劣化和突變劣化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖1所示，以λ表示失效率。在初始時(shí)刻，元件處于完好無損狀態(tài)k，隨著時(shí)間推移可能發(fā)生從狀態(tài)k到k-1的漸變劣化過程，或者發(fā)生從狀態(tài)k到狀態(tài)i(i

圖1 無維修條件下元件狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程示意圖

根據(jù)元件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系，可以建立微分方程組如下：

(2)

式(1)中：λi, j為元件從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的劣化密度函數(shù)；pi(t)為元件處于狀態(tài)i的概率函數(shù)。

微分方程的滿足初始條件：

pk(0)=1,pk-1(0)=pk-2(0)=…=p1(0)=0

(3)

2.2 考慮維修因素的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型

當(dāng)元件為多狀態(tài)可維修元件時(shí)，除了發(fā)生漸變劣化和突變劣化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程外，還包括相應(yīng)的最小維修和較大維修，以μ表示維修率，考慮維修因素的元件狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖2所示。最小維修，使元件從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)i+1；較大維修，使元件從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)k(k>i+1)。在任意時(shí)刻t，元件處于狀態(tài)i，下一時(shí)刻元件可能發(fā)生到狀態(tài)j(j≠i)的轉(zhuǎn)移，或者繼續(xù)停留在狀態(tài)i。

圖2 考慮維修因素的元件狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程示意圖

當(dāng)元件發(fā)生故障失效時(shí)，即處于狀態(tài)1，完全維修可以使元件通過維修從狀態(tài)1回到完好狀態(tài)k，不完好維修可以使元件通過維修從狀態(tài)1回到任一上級(jí)狀態(tài)i(1

(4)

(5)

式(4)～(5)中，μj,i為元件從狀態(tài)j轉(zhuǎn)移到狀態(tài)i的維修密度函數(shù)。

微分方程組的初始條件同式(3)。

對于大多數(shù)元件來說，修復(fù)如新假設(shè)并不完全適用。立足于故障機(jī)理分析進(jìn)行視情維修，通過對性能退化的元件修復(fù)，可以使其從退化狀態(tài)j恢復(fù)到較好的任一狀態(tài)i(j

(6)

3 基于UGF的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性模型構(gòu)建

3.1 向量通用生成函數(shù)定義

假設(shè)G=(G1,G2,…,Gm)為m維離散隨機(jī)向量，其概率分布分別由集合g和q表示：g表示離散隨機(jī)向量G的M個(gè)可能取值，q表示M個(gè)取值對應(yīng)的概率，則有[7]：

g={g1,g2,…,gM}

(7)

式(8)中，gl=(gl,1,gl,2,…,gl,m),l=1,2,…,M。

q={q1,q2,…,qM}

(8)

離散隨機(jī)向量G的向量通用生成函數(shù)為：

(9)

3.2 向量通用生成函數(shù)的運(yùn)算

令H=(H1,H2,…,Hm′)為m′維離散隨機(jī)向量，概率分布可用集合h和p描述，其中，h={h1,h2,…,hM′}表示H所有可能的M′個(gè)取值，hk=(hk,1,hk,2,…,hk,M′)，p={p1,p2,…,pM′}表示每個(gè)取值對應(yīng)的概率。則向量通用生成函數(shù)為：

(10)

令m″維離散隨機(jī)變量D=(D1,D2,…,Dm″)為G和H的函數(shù)，即D=f(G,H)，其中，

Di=fi(Gri(1),…,Gri(ai),Hsi(1),…,Hsi(bi))

(11)

可知，Di為Gri(1),…,Gri(ai),Hsi(1),…,Hsi(bi)的函數(shù)，即Di為離散隨機(jī)向量G的第ri(1),…,ri(ai)個(gè)分量與離散隨機(jī)向量H的第si(1),…,si(bi)個(gè)分量的函數(shù)。其中，1≤ri(1)<…

D的向量通用生成函數(shù)可以通過復(fù)合運(yùn)算確定，即：

(12)

其中：

f(gl,hk)=(f1(gl,r1(1),…,gl,r1(a1),

hk,s1(1),…,hk,s1(b1)),…,fm″(gl,rm″(1),…,

gl,rm″(am″),hk,sm″(1),…,hk,sm″(bm″)))

(13)

當(dāng)m=m′=m″時(shí)，隨機(jī)向量維數(shù)相同，式(11)為Di=fi(Gi,Hi)時(shí)，式(13)可簡化為：

f(gl,hk)=(f1(gl,1,hk,1),…,fm(gl,m,hk,m))

(14)

多個(gè)隨機(jī)向量的通用生成函數(shù)運(yùn)算可參考文獻(xiàn)[8-10]。

3.3 多性能參數(shù)多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析

對于大型復(fù)雜系統(tǒng)，一般可以通過串并聯(lián)邏輯關(guān)系進(jìn)行簡化，多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)如圖3所示。其可靠性分析的基本思路為：首先，根據(jù)元件的技術(shù)狀態(tài)和處于各個(gè)狀態(tài)的概率函數(shù)確定通用生成函數(shù)，然后，根據(jù)元件之間的冗余設(shè)置確定分系統(tǒng)的通用生成函數(shù)，最后，通過系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)確定多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠度指標(biāo)。

圖3 多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)示意圖

3.3.1確定元件向量通用生成函數(shù)

分系統(tǒng)i的元件j有Mij個(gè)狀態(tài)，t時(shí)刻元件的狀態(tài)性能為gij(t)={gij1(t),gij2(t),…,gijMij(t)}，對應(yīng)狀態(tài)概率為qij(t)={qij1(t),qij2(t),…,qijMij(t)}。向量通用生成函數(shù)為：

(15)

3.3.2確定分系統(tǒng)向量通用生成函數(shù)

假設(shè)分系統(tǒng)i由ni個(gè)元件并聯(lián)組成，分系統(tǒng)性能與元件性能之間的關(guān)系表示為：

Xi=f(Gi1,Gi2,…,Gini)

(16)

式(16)中：Xi為分系統(tǒng)i的性能；Gi1,Gi2,…,Gini為元件性能。

分系統(tǒng)i的向量通用生成函數(shù)為：

(17)

式(17)中：Mi為分系統(tǒng)i的狀態(tài)數(shù)；{xi1(t),xi2(t),…,xiMi(t)}為t時(shí)刻分系統(tǒng)i的狀態(tài)性能；{qi1(t),qi2(t),…,qiMi(t)}為對應(yīng)的概率。

3.3.3確定多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠度

假設(shè)系統(tǒng)由N個(gè)分系統(tǒng)串聯(lián)組成，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)為：

Y=f(X1,X2,…,XN)

(18)

式(18)中：Y為系統(tǒng)性能；X1,X2,…,XN為分系統(tǒng)性能。

1) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)已知。系統(tǒng)向量通用生成函數(shù)為：

(19)

式(19)中：Msys為系統(tǒng)狀態(tài)數(shù)；{y1(t),…,yMsys(t)}為t時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)性能；{q1(t),…,qMsys(t)}為對應(yīng)的狀態(tài)概率。

定義如下運(yùn)算符：

(20)

w為系統(tǒng)的最小性能需求，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)性能不小于w時(shí)，系統(tǒng)可靠，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)性能小于w時(shí)，系統(tǒng)不可靠。在時(shí)刻t系統(tǒng)的可靠度為：

(21)

2) 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)未知。對于串并聯(lián)系統(tǒng)，當(dāng)各分系統(tǒng)可靠時(shí)，系統(tǒng)可靠。根據(jù)分系統(tǒng)的最小性能需求分別確定各分系統(tǒng)的可靠度，從而確定系統(tǒng)的可靠度。

令wi分系統(tǒng)i的最小性能需求，則t時(shí)刻分系統(tǒng)i的可靠度為：

(22)

則t時(shí)刻系統(tǒng)的可靠度為：

(23)

3) 系統(tǒng)性能與部分分系統(tǒng)性能有函數(shù)關(guān)系。假設(shè)前d(d

(24)

式(24)中：R1-d(t)為前d(d

4 案例分析

某機(jī)載控制單元由多種電子元器件和機(jī)械部件構(gòu)成，結(jié)構(gòu)復(fù)雜、故障模式多樣，在復(fù)雜運(yùn)行環(huán)境條件下承受多種環(huán)境應(yīng)力的沖擊，性能指標(biāo)隨時(shí)間逐漸退化。現(xiàn)以該控制單元電源出現(xiàn)故障為頂事件建立如圖4所示的故障樹模型。頂事件TE失效由sys1失效、sys2失效和sys3失效等3個(gè)中間事件引起，而sys1由元件C1、元件C2組成，sys2失效由元件C3元件、元件C6、元件C4失效和元件C5組成，sys3由元件C7和元件C8組成，各個(gè)元件的狀態(tài)數(shù)、失效率、維修率、失效率比率和維修率比率如表1所示。

圖4 控制單元結(jié)構(gòu)示意圖

表1 控制單元元件參數(shù)(年)

根據(jù)圖2與式(6)，可以建立3狀態(tài)元件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移Markov過程以及對應(yīng)的微分方程組，現(xiàn)以元件C2為例，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程和微分方程分別如圖5(a)和式(25)所示。同理，可以建立3狀態(tài)元件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移Markov過程以及對應(yīng)的微分方程組，如圖5(b)和式(26)所示。經(jīng)過拉式變換與反拉式變換，確定多狀態(tài)元件的可靠度值，如圖6所示。作為對比，建立3狀態(tài)元件和4狀態(tài)元件在完全維修與不完全維修條件下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程以及對應(yīng)的微分方程，經(jīng)過拉式變換與反拉式變換即可確定元件的可靠度曲線。從圖6可以看出，在有維修情況下，多狀態(tài)元件的可靠度隨著時(shí)間逐漸趨向于平穩(wěn)，但是，視情維修條件下元件可靠度高于完全維修條件下可靠度，而完全維修條件下的可靠度又高于不完全維修條件下可靠度，這與實(shí)際情況相吻合。

圖5 多狀態(tài)元件狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程示意圖

圖6 多狀態(tài)元件可靠度曲線

(25)

(26)

對控制單元中的UGF進(jìn)行兩兩合成，首先將元件C1和元件C2的UGF合并成U1(z)，類似地，將元件C4和元件C5的UGF合并成U2(z)，元件C7和元件C8的UGF合并成U3(z)，對應(yīng)的UGF分別如式(27)、式(28)、式(29)所示。根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)元件UGF合成規(guī)則確定整個(gè)控制單元的UGF，如式(30)所示。

U1(z,t)=Ωfpar(p11z1+p12z2+p13z3+p14z4,

p21z1+p22z2+p23z3)

(27)

U2(z,t)=Ωfpar(p41z1+p42z2,p51z1+p52z2+p53z3)

(28)

U3(z,t)=Ωfpar(p71z1+p72z2+p73z3,

p81z1+p82z2+p83z3)

(29)

U(z,t)=Ω(U1(z,t),u3(z,t),U2(z,t),

u6(z,t),U3(z,t))

(30)

在控制單元的UGF函數(shù)中代入各個(gè)元件的可靠度指標(biāo)與狀態(tài)等級(jí)，即可確定控制單元的可靠度指標(biāo)，如圖7所示。由于視情維修可以根據(jù)控制單元的實(shí)時(shí)檢測數(shù)據(jù)判定單元的運(yùn)行狀態(tài)，一旦控制單元發(fā)生退化或者失效，就可以立即采取維修措施，確保控制單元有很高的使用可靠度。而完全維修是在元件發(fā)生失效之后采取的措施，相比于視情維修存在一定的滯后性，此外，完全維修在理想條件下可以實(shí)現(xiàn)。應(yīng)用文獻(xiàn)[4]中的方法可以得到類似的結(jié)論，這也證明了本文所用方法的有效性與正確性。

圖7 不同維修方式下控制單元的可靠度曲線

5 結(jié)論

相比于不完全維修，完全維修條件下的元件具有更高的可靠度。然而在工程實(shí)踐中，不完全維修更加普遍。本文考慮不同的維修策略條件，建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，研究多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性的建模方法，有利于實(shí)際工程問題的解決。通過求解Markov過程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移微分方程，可以確定元件的通用生成函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)復(fù)雜系統(tǒng)元件之間的串并聯(lián)邏輯關(guān)系確定系統(tǒng)的通用生成函數(shù)，避免狀態(tài)空間組合爆炸問題。相比于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型，通用生成函數(shù)避免了根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)確定條件概率值的繁瑣過程，避免了引入認(rèn)知不確定性。