基于雙橢圓濾波算法的傅里葉變換輪廓術*

徐友洪，童根樹

(1.衢州職業技術學院信息工程學院，浙江 衢州 324000;2. 浙江大學建筑工程學院，杭州 310058)

0 引言

數控機床作為現代制造業的關鍵設備，可生產用于航空航天、汽車及醫療保健等方面的復雜零部件，然而由于傳統的利用機械探針的測試方法具有測量速度慢、易損傷零件表面及難以適應曲面測量的特點，在線檢測和加工過程質量保證技術的發展并不適應加工技術的發展水平，因此就需要一套復雜曲面的三維輪廓測量系統，用于評價成品的加工質量或為數控加工過程提供數據。隨著激光技術[1]、生物技術、寬帶通信和機器視覺[2]的發展，光學測量技術已經成為非常重要的非接觸式3D測量技術。但如何精確獲取被測對象的三維輪廓數據信息還是當前面臨的一個關鍵問題。目前，最常用的三維測量技術包括相移輪廓術(PSP)[3]和傅里葉變換輪廓術(Fourier Transform Profilometry, FTP)[4]。相移測量輪廓術(Phase Shift Profilometry, PSP)是一種新的光學三維輪廓測量技術，這種方法結合正弦光柵投影和數字相移等技術，以及高精度的相移裝置，且至少采集兩幅圖像才能獲取攜帶物體高度的信息；而傅里葉變換輪廓術(FTP)僅需一幅光柵圖就可以以較高的測量速度及精度獲取物體三維輪廓數據。

近幾年，FTP技術從原來的一維傅立葉與單頻條紋到二維傅立葉變換與雙頻條紋已被廣泛研究[5]。FTP技術提取一階譜信息將需要一個適當的帶通濾波器從頻域中將它與背景頻譜、高階譜和噪聲等信息分離出來。為消除背景頻譜，文獻[6]采用小波變換分離的條紋基頻信息；文獻[7]使用漢寧窗旋轉濾波窗使其短軸方向與基頻方向一致來獲得基頻頻譜信息等。但是，這些方法[8]都難以完全消除濾波引起的頻譜信息泄露問題，如邊緣、垂直梯度處和光滑曲面信息等，帶通濾波器的發展不具有有效的解決這些問題，從而影響傅里葉變換輪廓術的精度。綜述所述，為改善帶通濾波器對測量精度的影響，本文提出一種雙橢圓帶通濾波技術，該濾波技術可以有效地濾除背景和高階譜分離基頻頻譜信息。此方法牽涉到的頻譜位置及頻譜寬度等關鍵技術問題[9]，本文進行定量討論，與傳統常用的幾種濾波器相比較取得更好的實驗測量結果。

1 測量原理

1.1 傅里葉變換測量輪廓術(FTP)

傅里葉變換測量輪廓術的光路設計如圖1所示，投影系統中心與相機光心的中心距離為d，投射系統中心或成像系統光心到參考面距離l，被測物體高度h(x,y)。CCD獲取的畸變光柵條紋為：

g(x,y)=α(x,y)+β(x,y)cos(2πf0x+φ(x,y))

(1)

圖1 傳統相位測量輪廓術的測量系統圖

其中，g(x,y)是CCD成像系統接收到的光強值；α(x,y)項表示投射光場中緩慢變化的背景分量；β(x,y)項表示條紋幅度；f0表示投射到參考面的光柵條紋頻率；φ(x,y)是表示由被測物體曲面輪廓引起的相位變化值，φ(x,y)=2πf0|AB|；對式(1)進行一維傅里葉變換：

G(f,y)=α(f,y)+C(f-f0,y)+C(f+f0,y)

(2)

頻譜如圖2所示，由于α(f,y)相對f0變化緩慢，所以在頻譜圖中與f0是分開的，即圖中的背景分量Q0部分，而一階頻譜C(f-f0,y)(Q1)攜帶物體高度信息。用一恰當濾波器分離一階頻譜分量Q1平移至原點C(f,y)，再進行逆傅里葉，獲取相位值如式(3)所示。

(3)

圖2 傅里葉變換頻譜圖

Re[c(x,y)]和lm[c(x,y)]分別表示復數的實部和虛部，φ(x,y)即為物體表面畸變光柵像與參考平面的相差主值，取值[-π,π]，相位經過解包裹(unwrapping)[10]處理可得到連續的相位φ′(x,y)，并由式(4)求得物體的實際高度為：

(4)

1.2 雙橢圓濾波器設計

用濾波的方法濾除其高頻部分就能去掉噪聲[11]，以獲取攜帶高度信息的基頻信號沿著x或y軸延伸。現有最常用的4種濾波函數為Bartlett、Blackman-Harris、Hamming和Hanning濾波器，根據文獻[12]可知，在一般情況下，一階頻譜實際上是沿x軸和y軸的一個橢圓形狀，一般窗函數濾波原理如圖3a及圖3b所示，可以看出傳統帶通濾波器不再能夠完整提取一階頻譜區域或存在較大冗余數據。由于獲得該頻譜本質上攜帶精確的3-D輪廓數據信息，盡可能多地獲得該頻譜信號，需要更精確分離出攜帶有物體高度信息，必須盡可能多的分離出一階頻譜信息且避免冗余的頻譜數據而產生不需要的測量誤差應。因此，為了獲得更準確的三維輪廓，本文設計一種雙橢圓形窗口濾波器更有效分離出一階頻譜如圖4所示。在x方向上，長半軸fa1和短半軸fb1的橢圓形過濾的范圍被定義為：

(5)

在y方向上，長半軸fa2和短半軸fb2的橢圓形過濾的范圍被定義為：

(6)

其中，fa和fb分別為橢圓濾波x，y方向半徑，(fx，fy)為基頻信號區域中心處坐標。Q0代表背景頻譜，Q1代表攜帶高度信息的一階頻譜，Q2、Q3及Qn代表高頻信號。

(a) 小尺寸窗口

(b) 大尺寸窗口圖3 基于傅里葉變換的傳統窗函數濾波原理

(a) 雙橢圓濾波窗口示意圖

(b) 雙橢圓濾波窗口圖4 基于傅里葉變換的雙橢圓濾波原理

為獲得準確的3-D重建信息，確定函數參數fa1、fb1、fa2和fb2，在不發生頻譜混疊的狀態下，盡量取大一些為好；在一般情況下，參數取值為一階譜在整個頻譜范圍內延伸長度。

在FTP中執行過濾過程以獲得頻域中的基頻，進行傅立葉變換，就通過等式定義的橢圓濾波器對所得光譜進行濾波?；诟道锶~變換的三維重建過程如圖5所示，在LabVIEW中，IMAQ通常用于指定圖像中的關注區域(ROI)。使用IMAQ手動選擇傅立葉頻譜中與基頻分量相對應的區域。圖像顯示在外部顯示窗口中，通過計算得到最佳的過濾尺寸和位置。

圖5 基于傅里葉變換輪廓術的三維重建仿真過程

2 雙橢圓帶通濾波器適用范圍

由于傅里葉變換測量方法使用了傅里葉變換和在頻域中的濾波運算，只有頻譜中的基頻分量對于獲取物體高度信息是有效的，但是防止頻譜混疊的要求限制傅里葉變換輪廓術的最大可測范圍，討論該技術測量表面梯度的條件，下面給出定量分析。定義高階譜沿x軸和y軸的局部瞬時空間頻率分別為：

(7)

(8)

(f1)max<(fn)min(n>0)

(9)

(f1)min>fbmax

(10)

從圖2上看，為防止一階頻譜分量與其它各級頻譜混疊，必須滿足：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

l?h(x,y)fx=f0cosθ

(16)

(17)

(18)

(19)

進一步簡化，得：

(20)

通過式(18)和式(20)，約束條件的曲面重構方面的最大可測梯度可以被定義為：

(21)

此結論說明，傅里葉變換輪廓術最大測量范圍受到被測物體高度分布在光柵垂直方向上的變化率的限制，雖然增加l/d也可以增加測量范圍，但是這也同時意味著降低了系統靈敏度。因此，在不改變系統參數的前提下，提高測量范圍更有意義。

在FTP運算中，只有頻譜中的基頻分量對獲取物體的高度信息是有效的，且頻譜混疊限制了FTP的測量范圍，由文獻可知，基于單頻FTP的測量限制條件為：

(22)

式中說明，FTP最大測量范圍受到在光柵垂直方向上相位的梯度以及物體高度的梯度限制。很明顯，在本文中定義的條件限制的最大梯度比傳統單頻FTP測量的梯度有所提高。此外，本文所提出的濾波方法在一階頻譜的提取上有明顯的優勢。分析結果表明，根據物體表面的曲率，投影條紋的傾斜角度可以調整到最大，有利于大表面較大梯度物體的測量，如圓形表面等具有更高的表面梯度物體輪廓三維重建。

3 實驗分析

本實驗使用的設備為DMK 51BU02 CCD 攝像機和EMP-720液晶投影儀。實驗采用的測量光路如圖1所示，傅里葉輪廓術分析過程如圖6所示，基于雙橢圓形濾波器恢復的三維物體重建圖及某垂直截面圖如圖7所示。

(a)被測三維物體模型 (b) 攜帶物體三維信息的畸變光柵

(c) 雙橢圓帶通濾波圖6 傅里葉變換輪廓術分析

(a) 三維輪廓重建圖

(b) 某一位置上的垂直截面圖

任意選取被測物體上的6組點云數據，利用目前應用較為廣泛的4種窗函數濾波算法和本文提出的橢圓濾波算法的結果作比較，參考點是選取的像素點的位置，實際高度由高精度三坐標測量儀(MGH系列)獲??；選取部分數據如表1所示。

表1 傳統濾波和橢圓濾波算法的實驗數據對比分析

為更精確反應本算法的測量精度，故采用均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)來評判，RMSE定義為：

(23)

式中，Hr(x,y)表示實際高度值；Hm(x,y)表示測量高度值；m表示點云數。采集三維物體20行共500個點云數據，詳細分析結果如表2所示，本文所提基于橢圓濾波傅里葉輪廓測量技術的RMSE值總體略小于基于其它濾波窗函數的RMSE值，實驗數據表明該濾波方法可行有效，測量精度較高，具有較強的適用性。

表2 實際值與測量值的均方根誤差(RMSE)

4 結論

傅里葉變換輪廓術的測量精度除依賴于高質量的相位去包裹算法外，很大程度上取決于頻域濾波算法獲取一階譜的完整性。傳統帶通濾波很難精確分離一階頻譜，導致3D輪廓恢復精度不高，因此，本文針對頻域濾波算法進行比較分析，提出一種基于雙橢圓濾波的傅里葉輪廓測量術。實驗結果表明，與傳統帶通濾波算法相比，在測量較大梯度物體輪廓時，本文提出的雙橢圓濾波算法的測量精度與可測梯度都優于傳統濾波器，具有較高分辨率和噪聲魯棒性的優點。