構建“數學模型”，激發學生“模型應用”意識

江蘇省如皋市如城實驗小學 莊小麗

“模型”是人類認識世界的基礎。在小學數學教學中，教師要引導學生建構“數學模型”，通過模型的建構，激發學生的“模型應用”意識。什么是“數學模型”？廣義上來說，一切的數學概念、公式、方程等算法系統都是數學模型。狹義上來說，只有那些能反映具體事物的數學關系結構才是數學模型。建構數學模型，能讓學生有效地掌握建模方法，培育學生的模型思想。教師要引導學生經歷數學模型的建構、完善過程，引導學生進行修正和模型的應用。

一、模型準備：形成學生模型建構內驅

從過程上看，數學模型的建構一般可以分為“模型準備”“模型假設”“模型求解”“模型應用”等。其中，模型準備是模型建構的基礎。在模型準備的過程中，教師要引導學生從問題情境中提煉出相關信息，并進行有意識的簡化，從而為模型猜想、模型假設、模型提出等奠定堅實基礎。模型準備要激發學生的模型興趣，調動學生模型建構的積極性，讓學生產生模型建構的內驅力、向心力，形成模型建構的積極心向。

在模型準備過程中，教師要了解學生的原有模型結構，把握學生原有的模型認知，從而讓模型準備能切入學生數學模型建構的“最近發展區”。教師不僅要探尋學生已有的數學模型結構，更要探尋學生的已有認知，要強化學生的模型意識，激發學生的模型建構興趣。比如，教學《小數的意義》這部分內容，探尋學生的已有模型結構，我們發現，學生已經初步認識了分數的意義，建構了分數的簡單模型。為此，我們在教學中從兩個方面準備：一是從學生的分數模型結構出發，讓學生將新舊知識鏈接起來、嫁接起來；二是從模型建構的外在操作、工具等入手，通過引導學生畫圖、涂色等，引導學生認識到小數的表示方法。通過畫圖、涂色等操作，讓學生形成小數的可視化表象，增強學生對小數意義的直觀認知。在這個過程中，學生會積極主動地調動自身的分數概念模型，并將其與小數的意義聯系起來，從而形象化、邏輯化、層次化地建構小數意義的數學模型。學生只有認識到小數與分數之間的關系，才能深刻感悟到“小數就是不帶分母的十進分數”。

模型準備是學生模型建構的基礎。在小學數學教學中，教師一方面要引導學生準備相關的模型建構素材、資源等，另一方面要激活學生的模型建構已有知識，激發學生的模型建構心向等。只有做好模型建構的充分準備，才能引導學生有效地進行數學建模。在這個過程中，讓學生自主建構數學模型，培養學生的模型建構力。

二、模型猜想：形成學生模型建構力點

數學模型的建構，應當以滲透、融合等方式展開。在小學數學教學中，教師應當引導學生用數學化的眼光來觀察，用模型化的思想來考量，用一般化的思維來概括，用結構化的視角來感知，用系列化的體例來強化，用顯現化的方式來表征等，從而激發學生的模型猜想。在小學數學教學中，教師要引導學生敢于猜想、善于猜想、樂于猜想，要引導學生經歷從“境”到“?！钡倪^程。

比如，教學《乘法分配律》這一部分內容，學生已經掌握了加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律等相關模型，并且經歷了這些模型的建構過程。為此，我們在教學中給學生提供了豐富的素材，引導學生從多個生活原型中進行數學提煉，并進行簡約化處理，從而提出相關的模型猜想。有學生用文字來表達這種猜想，如“（爸+媽）×我=爸×我+媽×我”，有學生用圖形表示，如“（△+☆）×□=△×□+☆×□”；還有學生用符號來表達，如“（a+b）×c=a×c+b×c”，等等。盡管不同的學生基于各自的模型視野提出了不同的模型猜想，但卻都表征了“乘法分配律”的意義。在學生模型猜想的基礎上，教師引導學生進行模型的驗證。學生舉出了很多的例證，從各個層面對模型進行驗證，從而有效地建構了數學模型。這個過程不僅促進了學生的“模型猜想——模型驗證”等數學學習方式的形成，更培養了學生將現實問題抽象成數學模型并有效解決的能力。

學生的數學表達能力反映了學生對數學模型的認識。在小學數學教學中，教師要正視學生的模型猜想差異。在模型建構的過程中，有學生可能處于“悟模”的階段，有學生可能處于“成?！彪A段。引導學生從生活原型中抽象、提煉、概括、建構成數學模型，有助于培養學生的建模能力。

三、模型求解：賦予學生模型建構意義

學生建構數學模型，從最一般的意義來說，有兩個層面的內容：其一是從生活原型過渡到數學模型，其二是對數學模型進行意義賦予，也就是讓學生認識到數學模型的意義和價值，為學生的模型應用奠定基礎。從數學模型過渡到生活原型的過程，就是模型求解的過程。這個過程能深化學生的認知，豐盈學生的經驗，讓學生在生活中形成“數學的眼光”和“數學的大腦”。

模型的求解是一個從數學模型到現實原型的意義賦予、意義建構過程。只有鏈接學生的生活原型，才能讓學生認識到數學模型的意義和價值，才能讓學生理解數學模型的具體應用。從數學模型向生活原型的回溯，從某種意義上說，就是數學模型的求解過程，就是數學模型的現實化、意義化的過程，這個過程是生動的，也必定能促進學生對數學模型更為深刻的理解和把握。

四、模型應用：激發學生模型建構創新

學生建構數學模型的過程是一個比較復雜并且極富挑戰性的過程。在小學數學教學中，教師不僅要引導學生建構數學模型、猜想數學模型、求解數學模型，更要引導學生進行模型的實踐應用，讓學生在實踐中進行模型建構的創新。模型蘊含著相關的、豐富的數學思想、方法，只有通過模型的應用，才能逐步地顯現、敞亮開來。

模型不僅具有數學理論的價值，更具有實踐的價值、工具的價值等。在數學教學中，教師要引導學生將數學模型作為分析、解決問題的工具，讓模型成為學生解決數學問題的載體、媒介。數學模型具有一種功能，能促進學生的自主學習。比如，教學《間隔排列》這一部分內容，在引導學生建構了數學模型之后，我們呈現了學生生活中的諸多事例，如電線桿與間距、鋸木頭中的間隔排列、樓層中的間隔排列，等等。為解決這些實際生活中的問題，我們在教學中有意識地引導學生應用“一一間隔”的數學模型來觀照、解釋現實生活中的問題，讓現實問題原型與數學模型相匹配，從而讓學生應用數學模型解決現實問題。如果說建構數學模型的過程是從“多”到“一”的過程，那么模型的應用就是從“一”到“多”的過程。通過數學模型的應用，培養學生將數學知識生活化的能力。

數學模型具有本質性的思想，能讓學生對數學知識內在的思想方法、本質特點等形成更為全面、深刻的理解。數學模型的建構，應當以滲透、融入等方式為主。建構數學模型的過程，有助于開闊學生的數學視界，讓學生超越素材、資源、情境等的表象，感悟到數學本質。數學模型的建構有助于學生數學學習力的提升，有助于學生數學核心素養的發展。